1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 55
Текст из файла (страница 55)
менными оказалось возможным устранить путем введения однозначного обратимого преобразования в четырехмерном многообразии Я! хп = х (х1, хв, хв, хе) (и = 1, 2, 3, 4)„ ') В томе 41 (!935) журнала Вопеип о1 Ше Агпегкап Ма!кеша!!са1 зос!е1у Эйнштейн дал элемеятариый вывод этого соотношения между массой и энергией, обосновав свои выкладки на принпипах сохранения энергии и количества движения. Окончательную формулировку см. 5 у и хе у.
ь., йе1а. 1!т!1у. Тье эрес!а! щеогу, !956, гл. Н1, 3!6 РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА !Гл. и где координаты х' совершенно аналогичны обобщенным координатам аналитической механики. Положим, что наше пространство 5, метризовано таким образом, что квадратичная форма ЙР= а, с(х" с(хв (102.1) приводит к с(аз = СЯ с((а г(у! с(у! (102.2) где пространственные координаты х' прямоугольные декартовы. Так как коэффициенты В форме (102.2) постоянны, то отсюда следует, что тензор кривизны Римана )г а а мно~ообразия оз обращается в нуль, в связи с чем геодезйческие линии Ям описываемые уравнением (102. 3) превращаются в прямые. Заметим, обратившись к уравнениям (!00.5), что уравнения (102.3) характеризуют движение частицы, не имеющей ускорения (а. Это обстоятельство подсказывает возможность истолкования траекторий частиц, подвергающихся воздействию не обращающихся в нуль сил, как геодезических линий в некотором многообразии переменных х, для которых тензор кривизны ие обращается в нуль').
Физически это соответствует введению обладающих ускорением систем отсчета, движущихся таким образом, что воздействующие на частицы силы обращаготся в нуль (исчезают). С этого момента концепция силы в динамике становится лишней, ибо динамические траектории становится Возможным рассматривать как геодезические линии, определяемые метрическими характеристиками пространства. В дальнейших параграфах этой главы мы рассмотрим задачу двух тел с точки зрения общей теории относительности. Этот раздел общей теории относительности сформировался в начале двадцатых годов ХХ века, и его математическая элегантность и успех в объяснении смещения первгелня Меркурия внушили надежду на то, что время, когда вся математическая физика будет включена в рамки общей теории относительности, не слишком далеко, Однако исследования последующих двух десятилетий обнаружили, что общая теория относительности едва ли сможет оказаться полезной в области микроскопической физики, поскольку ей пришлось потерпеть неудачу в попытке построения ') Сходная ситуация возникала и в классической механике (А 84), где мы вводили риманово многообразие с элементом дуги сго, имеющим вид ыл = $' 2т (» — у) рл) ах!с(лу, в котором траектории суть геодезические линии.
ГРАВитАиионные уРАвнения эннштеинА 3!7 е !02! объединенной теории механики — электродинамики, Весьма вероятно, что в будущем полезность теории смажет проявиться в новых космологнческнх исследованиях. Эти замечания нисколько не умалягот того глубокого воздействия, которое оказала статья Эйнштейна '), заложившая основы обшей теории относительности, на пересмотр понятий пространства, времени и материи. 9 !03.
Гравитационные уравнения Эйнштейна Следуя принятому в литературе по обшей теории относительности способу, обозначим метрические коэффициенты четырехмерного многообразия теории относительности через д22(хг, х', х', х') н запишем фундаментальную квадратичнуго форму как гЬ2 = дг! 2(х' г(х! (г', / = 1, 2, 3, 4).
(103.!) В особом случае специальной теории форма (103.1) может быть приведена надлежащим преобразованием к канонической форме 2122 = с2 (211)2 — г(у г(уг. (103.2) Примем гипотезу, согласно которой коэффипиенты йгь которые мы назовем потенциальными функцияииа), могут быть подобраны таким образом, чтобы траектории частиц удовлетворяли уравнениям геодезических линвй (103.3) Тензор кривизны Римана )Ага!, ассоциированный с многообразием специальной теории относительности, обращается в нуль, и прямолинейные геодезические линии многообразия соответствугот траекториям частиц в отсутствие гравитационного поля.
Если, следовательно, многообразие, характеризуемое квадратичной формой (!03.!), сопряжено с непрямолинейными траекториями, то тензор кривизны Римана не должен обращаться в нуль. Вместе с Эйнштейном мы принимаем, что поле большой гравитационной массы (Солнце) таково, что потенциальные функции йг! удовлетворяют в вакууме уравнениям аг= Р1- 2 б/й= О, ! ') Е ! п 2 2е ! п А., Аппа!еп бег Рнуз!!г 49 (!9!6!, 769. 2! Зта терминология может быть оправдана формой коэффициентов и >равнении 184.9) для аналогичной задачи ньютоновой механики. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА знз 1гл. 7 где 6! — тензор Эйнштейна, определенный в 9 38.
Если мы произведем над ним операцию свертки (контракции), то получим уравнение )с — — 4ттд = О, откуда )т = О. Соответственно 1 2 йдг! ~ )С";), = О, (103.4) где )тс! — тензор Риччи. Эти уравнения описывают плоское многообразие специальной теории относительности и в то же время допускают случай, в котором компоненты тензора кривизны не обращаются в нуль. Уравнения (103.4) аналогичны уравнению Лапласа дсЖ д = 0 теории потенциала Ньютона, справедливому во всех точках пространства вне тяготеющей массы '). Вспомним' ), что тензор тсс! Риччи, появляющийся в левой части уравнения (103.4), принимает в развернутой форме нижеследующий вид: д'ь дсд д ( )1( )(д) (д)дьсс)! где мы вводим обозначение )у), поскольку детерминант типа (103.1) может оказаться отрицательным.
Из вышензлохсенного очевидно, что система десяти нелинейных дифференциальных уравнений (см. $38) )тс! =О для десяти неизвестных функций пс! чрезвычайно сложна'). Общее решение этой системы неизвестно, и приходится искать частные решения по необходимости путем проб, руководствуясь средствами ньютоновой механики в подборе подходящих форм коэффициентов йдсдь После того как мы подберем ') Это уравнение выводится пенью рассуждений, опирающихся на уран.
нения движения типа С! О, где Осс — рсссссс, а а с)лс/с)А Превосходное с! с освещение этого вопроса приводится в книге; и а ! и ! сь О. у., Ма!Ьеша!!сз о! ге!а1счиу, !950. См также задачу 2 в 5 33. д) Эти уравнения не являются независимыми, и можно показать, что существуют четыре связывающих их соотношения.
См., например, Е б б с и К1оп А, 3, Тйе ша!Ьепсанса! Йеогу о! ге!антпу. 2-е изд., !924, стр. 1!5. Это обстоятельство не оказывает, однако, влияния на приводимые в дальнейшем выкладки. ') Интересно отметить, что в качестве аргус:сита в пользу принятия этой системы уравнений для гравнтапнонного закона часто указывается, что закон (103 4) представляет собой простое соотношение с входящим в него тензором кривизны )1~,,! и потому будто бы иан.тучшим образом отвечает задаче опи.
)д санни реального мира. Скептик, пожалуй, признал бы, что Творен не особенно тщательно позаботился о том, чтобы законы математической физики оказа. лись достаточно простыми. % !04! СФЕРИЧЕСКИ.СИММЕТРИЧНОЕ СТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ 3!9 комплект коэффциентов гггп удовлетворягощих уравнениял! (!03.4), мы сможем построить уравнения геодезических линий (!03.3), и если решение этих уравнений согласуется с точностью до малых величин первого порядка с соответствующими выводами ньютоновой теории, то все будет в порядке. Мы проиллюстрируем эту процедуру в 9 104, где и получим решение Шварцшильда ') для гравитационных уравнений (103.4). Прежде чем перейти к этой теме, отметим, что уравнения (103.3) могут быть представлены в краткой четкой форме (!03.5) где х' = с(х'/с(з. Если вектор г(хг/г(з = Аг рассматривать как касательный вектор, то уравнения (103.5) или А,'и А = 0 окажутся как раз уравнениями параллельного переноса касательного вектора Лг вдоль геодезической линии.
Наша задача оказалась, таким образом, приведенной к решению .системы, имеющей столь обманчиво простой вид: гг)=О, х,г,х-О, .! которой мы займемся в Я 104 — 105. В 104. Сферически-симметричное статическое поле Переходим к выводу решения уравнений Эйнштейна Лг1= 0 (!04.1) для гравитационного поля, вызванного сферически-симметричной массой частицы, соответствующего гравитационному полю Солнца, помещенного в начале нашей системы отсчета. При получении этого решения мы будем руководствоваться свойствами ньютонова гравитационного поля и формой соответствующего решения в классической механике.
Исследование задачи двух тел в 9 97 подсказывает нам принять в качестве системы отсчета систему координат, которая на большом расстоянии от притягивающей массы превращается в обычную сферическую координатную систему. Кроме того, поскольку поле сферически-симметрично н поскольку метрика ') 8 с Ь ш а г я а с Ь ! 1 г! К., Вег!!п Я!1тппивьег!сЫе, !9!6, стр. !89. См, также некоторые важные специальные решения: В ! г й Ь о 11 С. В., йе!а!!Тну апд шойегп рЬуиса, стр. 2!9 — 227. Имеется также решение Г.
Вайля — Т. Ве. вн-Чините !Феу! Н., ЬечЬС!яца Т.), отвечающее вращательной симметрии. См. В е г и гп а п и р, О,, 1п!гойпспоп !о ьне !Ьеогу о1 ге!ацчну, !942, стр 206 — 2!О. Исчерпывающее исследование сферически-симметричнык полей см, в трактате: Буяне Л. 1, йе!абш1у. ТЬе кепега! Гйеогу, !960, гл, УИ.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА ззо !Гл. у многообразия определяется полем, постольку метрический тензор дм должен быть сферпчески-симметричным. Выберем по этим соображениям координаты таким образом, чтобы на большом расстоянии от центра притяжения имели место равенства; х'=г, хг=9 хг=ф х'=Г, У где г, О, ф — обычные сферические координаты. Траектории частиц, находящихся достаточно далеко от притягивающей материи, должны быть прямыми линиями, так что )с,'„г = О. Запишем выражение для пространственно-временнбго интервала в его предельной форме Дзг (г(1)г — (г(г)г — гг (ЩО)г г' 3! пг О («)ф)г, (104.2) где мы приняли новую единицу для скорости света с таким образом, что она равна единице.
Это побуждает нас принять, что в присутствии сферическн-симметричного стационарного гравитационного поля г(эг = (~ (г) (г(1)г — ~г (г) (г(г)г — гг (г(9)г — ггз(пг 9 (г(ф)г (104. 3) где )г и )г — неизвестные функции г, каждая из которых при- водится к единице, когда с неограниченно возрастает. Члены, образуемые перекрестными произведениями с(гг(9, г(фг(9 н т. п., опускаются в форме (104.3), поскольку г(зг долж- ны быть независимы от знаков г(9 и Иф в силу их сферической симметрии.
Равным образом мы отбрасываем результаты пе- ремножений членов, в которые входят Ж, поскольку мы приня- маем, что поле статическое и обратимое во времени и потому должно быть независимым от знака Ж. Наш способ определения функций ~, и )г будет заключагься во введении выражений для метрических коэффициентов дп из (104.3) в гравитационных уравнениях (104.1) и использовайня уравнения (104.2) в качестве граничного условия в бесконечности. В процессе вычисления ~, и гг удобно положить ), = еР, 1, = еА, где )„ и р — функции г. Поскольку воздействия гравитационного поля падают по мере того, как г - оо, функции ), и р должны стремиться к нулю при неограниченном возрастании г. Форму (!04.3) мы можем переписать в новом обозначении гЬг = — ег (с(г)г — «г (г(9)г — г' з1 и' 9 (ггф)г + еР (ггг)г (104 А) так, что метрические коэффициенты дм примут значения: ди = — е", дгг — — — гг, дгг= — ггз(пг О, ям = ея, ггп = О, г =~ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
