1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Одно такое уравнение — это уравнение неразрывности (123. 4) (123.5) Работ тй Лей Ы(Р' = 71т, Р (123.6) производимая внутренними напряжениями тй на элементе массы дл! = рот, может быть представлена (см. (119.2)) выражением (123.7) если учесть уравнения (123.1). Положим, что компоненты ей тензора деформации в жидкости столь малы, что их допустимо представить с достаточно высокой точностью линеаризованными формулами (1!3.9) или (1!3.10), совпадающими в инфинитезимальной теории. На этом основании получаем 2е;! = ееь ! + юь ! лей — — — (га!, !+ га!, !), где ей — линеаризованные компоненты ей.
Так как компоненты скоростей о! = А(ю!/е(1, заключаем нз только что написанного уравнения, что ЗЕ,7 ! = — (оь ! + о!, !). ~й Е (123.8) Подстановка значения е(е!!!!(! из (123.8) в (123.?) приводит за- тем к г%' = — р о' . !й Ыт, р а поскольку о', =- — (1/р)(ор/!1!) в силу (!23.3), находим "~'= —.— ЙИт = — рг!( — ) 7(т. Р Ыр ~й р ! лр (123.3) выведенное в 5 122.
И последнее уравнение, известное как у)7авнснне сопояния, дается термодинамическими уравнениями (118,7) и (1! 8.8), приводимыми нами здесь для обратимых процессов в жидкости в такой форме; 7 -ЮБ (т, Е(У = Е(Ж'+ й„>. МЕХАНИКА СПЛОШНЫХ СРЕД )ГЛ. Ч! Внося этот результат в (123.5), определяем количество теплоты Й~, приобретаемое элементом массы с!тп: гй",) = с((т' + рс! ( — ) С(лз. С другой стороны, формула (123.4) констатирует, что й„) = Т с(5 с(т. (123.10) Если изменение количества теплоты на единицу массы обозначить через с(д так, что с(д = дЯ/з(т, а изменение внутренней энергии (У на единицу массы — через с!и, то формулы (123.9) и (123.10) примут вид (123.11) В ряде проблем абсолютная температура Т, плотность внутренней энергии и и энтропия 5 зависят, по-видимому, лишь от давления р и плотности р, так что') Т = Т(р, р), 5 = 5 (р, р), У = (У(р, р).
(123.12) В таком случае из (123.11) следует, что Т, 5 и (У не являются независимыми величинами, поскольку уравнения (123.11) требуют, чтобы Тг!5 = Ыи+ рс1( — ). (123.13) Если Т, 5 и и в (123.12) определены (либо экспериментально, либо теоретически), то дифференциальное уравнение (123.13), если оно пнтегрируемо, определяет р как некоторую функцию р; р=Пр) (123.14) Уравнение (123.14) является искомым Уравнением состояния, необходимым для замыкания системы четырех уравнений (123.2), (123.4) и определения таким путем пяти функций оз, ОЗ ОЗ О, $124.
Вязкие жидкости. Уравнения Навье Если вязкая жидкость находится в состоянии движения, то компоненты т;, теизора напряжений принимают вид и ц ! ти (124. 1) ') Эти функции могут зависеть (и обычно фактически зависят) от физических или химических констант, характеризующих свойства той или иной ххидкостн. Э Ви/ Вязкие жидкости. ЯРВВнения навьи 369 где величины !ц, как это отмечено в 5 122, связаны с вязкими напряжениями. Как и в $123, ограничимся исследованием малых перемещений и запишем формулу (!23.8) в виде ! дц = — (Оь ! + О/, !), где ец = //е!//т/! — компоненты тензора скорости деформироааная. Построение моделей вязких жидкостей и формулировка полных систем уравнений требуют теперь введении дополнительных допущений, относящихся к природе вязких напряжений.
Последние должны, очевидно, зависеть от скорости деформирования е!/, и в приближении первого порядка естественно предположить, что !!/ цы ° Коэффициенты са/м являются коэффициентами вязкости, зависящими от свойств той или иной исследуемой жидкости. Линейный закон (124.3) совершенно аналогичен обобщенному закону Гука (!19.14).
Если жидкость одновременно и однородна и изотропна, число независимых коэффициентов вязкости сокращается до двух, и отношение (124.3) принимает вид [см. (121.1)1 йц = ~л'ай!/+ 2ре!/, где Х и р — константы, а о" — дивергенция поля скоростей. В соответствии с этим полный тензор напряжений, включающий влияние вязкости и гидростатического давления, может быть записан формулой тц — рй'!/ + Ып!/ + 21тд!/, где / о !=й/д!/, А ! ц Вспомним теперь уравнения движения (116.8) и запишем их в ковариантной форме д"тц,,=р(а,- р!), (124.6) а затем произведем подстановку в (124.6) значения тц, заим. ствованного из (!24.5).
Результатом' ) этого будут уравнения ') Заметим, что Ье! де! ! / и = — — +е/о, 6! д! до так что и - — + о. е!. д! !! 1гл щ Зта х!еххн!!кх сплош!!ых сРед течения жидкости Навье (Л+ р) 6, !+ !хй!ео!, ы — р, ! = р(а; — г"!) (124.7! или в векторной форме (Л+ 1х) ЧО+ 1хЧев — Чр = р(а — Р). В систему трех уравнений Навье (!24.7) входит пять неизвестных: о (х, !) (! = 1, 2, 3), р(х, 1) и р(х, !).
Для того чтобы система получилась полной, присоединяем (как в случае идеальных жидкостей) уравнение состояния и уравнение неразрывности. Соответственно для несжимаемых жидкостей уравнение (124.7) дает На"оь и — р, =Р(а! — Р!). (124.8 г!! = та + Рь!0 откуда й г!м = й! т ! + рй!гд!! = — Зр+ Зр = О, если применить формулу (122.2). Но так как !о определяется через (124.4), то, умножив эти уравнения на д», получим Лй!ндц!Ь + !х2д~!е!! = 0 (ЗЛ+ 2и) Ь = О.
ЗЛ+ 2р =- О. или Таким образом, (124.9) В силу этого соотношения уравнения (124.7) оказываются зависящими лишь от одного коэффициента вязкости р, а подстановка (124.9) в (124.7) дает систему гидродинамических уравнений Навье — Стокса мд о! !х + — —. — — = (а, — Р!), ы !! дб др з вх! М (124.10) Если жидкость идеальна, получаем, положив р = 0 и ее! а!= в! +"'Ез Далее, если жидкость идеальна, 1г = 0 и уравнения (124.8) приводятся к уравнениям Эйлера (123.2). Стоке упростил уравнения (!24.7) путем введения гипотезы, согласно которой среднее давление р в вязкой жидкости выражается той же самой формулой (122.2), что и в случае жидкостей, находящихся в покое. Это допущение приводит к заключению, что постоянные Л и р не зависимы. В самом деле, из (124.1) устанавливаем Вязкие мгидкости тняВип1ия илвье 5 !2а, вт) гидродинажические уравнения Эйлера до, 1 др д! р дх! ([24.! !) для идеальных сжимаемых .жидкостна!.
Если движение медленно, членом ос;о! можно пренебречь, н тогда а' = до!)д1. Задачи 1. Показать, что уравнение, характеризующее несжимаемую жидкость, может быть выражено следующим образам: 1 д(Уе о!) ",! О, где е [еа)1. Уе дх' 2. Показать, что уравненняи Навье — Стокса можно придать вид где т ам р/р — кинематическая вязкость.
3. Показать, что уравнесве неразрывности допускает формулировку др д[ро'), д[оа УЯ вЂ” + — + ро' О. д! дх! дх! Указание. Использовать выражение для о ! в задаче 1. 4. Показать, что уравнение неразрывности в ннлнндрнческнх координатах [Е!! 1 Ем [Х ) Еаа = 1) формулируется следуюнгим образом: др д [ро!) о' — .1. +р — -о, дг дх! х' др д [ро!) /2о! — + — + р[ — + охс12 ха) О. д! дх! [, х' авсфеРнческнх полЯРных кооРдинатах [Е!! 1, Еаа [х')а, Еаа [х')'з)п'х'! Таким образам, МБХАНИКА СПЛОШНЫХ СРБД 1гл.
ч\ 372 б. Ротация поля скоростей т равна удвоенной угловой скорости ротации. Вектор е такой, что то1 ч 2е, называется вектором вихря. Показать, что е с О. Указание. ш — — е о1 е. г ни 2 6. Если вектор вихря м О, движение называется безвихревым. Пока! зать, что если движение безвнхревое, то вектор скорости ч является градиентом потенциала скоростей Ф. 7. Выписать приближенные уравнения медленного движения вязкой жидкости.
В 125. Замечания о турбулентных течениях и диссипативных средах Закончим наш краткий обзор основ механики сплошных сред несколькими замечаниями, относящимися к турбулентным течениям жидкостей и к построению моделей для сред, в которых процессы необратимы. Течения жидкостей, в которых компоненты о' скорости испытывают сложные пульсирующие изменения, называются турбулентными. Имея дело с турбулентными течениями жидкостей и газов, естественно представлять компоненты скорости в форме ог = и' + п'*, где В' — среднее значение ог за определенный период времени, а бн — пульсационный компонент и'. Подобные же разложения на средние и пульсационные компоненты могут быть выполнены для давления р и для плотности р, так что р = р + р' и р = р + р'.
Развитие теории турбулентного течения решающим образом зависит от характера усредняющих процессов, используемых в вычислении от, р и р и от формулировки отношений между этими средними величинами. Если, например, предположить, что пульсационные компоненты и', р' и р' подчиняются уравнениям Навье — Стокса для несжимаемой жидкости, то некоторый процесс усреднения, примененный к уравнению Навье, приводит к системе уравнений, полученных Рейнольдсом '). Эти уравнения содержат не только В', но также и средние значения пульсационных компонентов скорости.
В связи с присутствием этих последних система уравнений Рейнольдса получается неполной, и для того чтобы ее сделать полной, необходимо ввести новые гипотезы, основанные на экспериментальных результатах. Представляется маловероятным, чтобы в рамках классической механики и термодинамики можно было построить модель, одинаково пригодную для описания как турбулентных течений сжимаемых вязких жидкостей, так и течений вязко-упругих и г) См., например, Бс)г!1сЬ11п и Н., Воппбату 1ауег Шеогу, Мечг уота (имеется русский перевод: Ш л и х т и и г Г., Теория пограничного слоя, «Наука», 1969) и Седов Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
