1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Переходим к выводу некоторых свойств и тождеств, относящихся к символам Крйстоффеля, в полезности которых мы убедимся в дальнейшем. й'>, мы можем получить и другие ассоциированные тензоры. Следует заметить, что операция внутреннего умножения 3ц с любым тензором, например А,"", опускает индекс, по которому производится суммирование. Например,3, А,'!' Л,'!'„, а то время как а ~А,'!к= А™а. Процедура поднятия и опускания индексов, очевидно, обратима. В предыдущих формулах положение, занимавшееся поднятым (или опушенным) индексом, отмечается точкой. Вообще такие системы, как д"Л „= А'. и дыА, = А', различны. Они тождественны в тех случаях, когда Ац = Аи. Все тензоры, ассоциированные с заданным, можно рассматривать как один-единственный тензор, представленный в различных системах отсчета.
Такая интерпретация в особенности проста для ковариантного вектора А; и ассоциированного с ним вектора дыАм = А' во всех случаях, когда пространство евклидова. Мы вернемся к этому вопросу в $ 45. ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 1гл. и 94 НО дя дя джар аа дача дхг дача дх дх и если мы вспомним, что д~ 1г' /й', то предыдущая формула преобразуется в дд а дача в дхг дхг Подставив сюда вместо дйг, /дх' значение из (3!.7), получим — "=уй~а(й„( )+д,.('))=д((" )+('))=2й(" ).
Закончим этот параграф несколькими замечаниями о различных обозначениях символов Кристоффеля, используемых различными авторами. Обозначение (ц, й) для символа первого 1х1 Рода ИРиннто почти УннвеРсально. Символ же 11.1 встРечаетсЯ 11(1 в нескольких вариантах. Многие авторы предпочитают пользоваться обозначением (11, й). Поль Аппель') пользуется обозначением ( ~ для символа первого рода и (л ( — для символа Гц1 1ц! второго рода. Последователи Принстонской школы (США) а 1х! пользуются обычно символом Гц вместо ( .), принятого в этой '! 11)'' книге.
Хотя обозначение Гац обладает некоторыми преимущест. вами, оно вместе с тем внушает представление, что символ вто. рого рода является тензором, Это, однако, не всегда бывает правильно, как мы сможем в этом убедиться нз дальнейших выкладок в $32. Задачи что — — — [гй, й — (ГА А).
дац дам дха дхг 1й! что селил Одля1чь(,то~ г О,если!,(нйраа. 1. Показать 2. Показать личны. ') А рре1! Р., Тгзи1е йе тесапьчие га11опе1!е, т. О. дл га ! Мы вправе поэтому утверждать что — — =( ~ и заклю2л дхГ ! 1а.~ чить отсюда, что дхс и 1 а (1а~' (3!.(О) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СИМВОЛОВ КРИСТОФФЕЛЯ 95 а.
Показать, что если у =О для ! чь (, то где мы отменяем соглашение о суммировании и предполагаем, что ! чь/. 4. Показать. что если 1 у. 1 Ф О, то уса ], ) —. (й, а1 — ] ) ((ВВ а1+ 1а(, В1), дх! (й ) дх! й 5. Если у а х! есть преобрззозанне из системы прямоугольных де. ! кзртовых переменных у! в систему косоугольных декартовых координат х!. введенную в Е, то каковы должны быть метрические коэффициенты у в «хз = у «х! «х!Р Ц 3 32. Преобразование символов Кристоффеля Мы уже заметили, что символы Кристоффеля в общем случае не представляют тензоров.
Выведем в этом параграфе законы преобразования для совокупностей функций ](/, /з] и ( . з (» 1 1 (/1 при преобразованиях координат у' = уг(хг, ..., х"), относимых нами отныне к классу Сз. Функции д(((х), как уже принято, принадлежат классу С', а нх преобразования к координатной системе У обозначаются символами /(с,(у), так что /(! = —.— у,. дх" дха ду! ду« (32.1) Построим символы Кристоффеля Р](/, и], где индекс У указывает на то, что они отнесены к координатной системе у, тогда ( / да!» да!» дас('з ](/, /с] = — ~ — !+ — — — ). (32.2) 2 ду! ду! ду" ) Дифференцируя (32.1), получаем дам / д'х' дха дзха дх" 1 дх" дха дхт ду ду Б ду ду' ду! ду ду' ду' ду ду! ду» дхт Поскольку Е В = да„мы вправе поменять местами индексы суммирования а и й во втором члене внутри скобок и получить таким путем да! ( д х дха дзха дха ~ дха дха дхт ду и ( а(з ду ]~ ду" ду' ду ду ду! ду / ду! ду! ду" дхт Частные производные д/г!»/ду! и д/(!»/дуз, входящие в (32.2), могут быть получены из этой формулы циклической перестановкой ковхуихнтнов диеееввнппговхнив твнзоуов 97 Важные формулы (32.5) и (32.6) были выведены впервые совершенно иным путем Е.
Б. Кристоффелем в мемуаре, посвященном исследованию квадратичных дифференциальных форм '). Мы воспользуемся этими формуламн в определении операций тен. зорного дифференцирования. $ ЗЗ. Ковариантное дифференцирование тензоров В 9 22 мы обратили внимание на то, что комплект частных производньгх д//дх' скалярной функции /(х', ..., х") представд/ д/ дх ляет собой ковариантный вектор, поскольку —,= — —,. Но ду дх дуг д /д/У если мы образуем совокупность частных производных —.( — ) ду) (, дуг ) коварнантного вектора д//дуг, то получим д~/ д ~ д/ дха1 д / дх" дх д/ деха ,+ ду) ду' дуГ 'г дха ду' / дха дх" ду) дуг дх ду д уг ' д/ деха выражение, которое в силу присутствия в нем члена —, дх дуг дуГ дв/ свидетельствует, что комплект вторых производных (, .
1 ! ду' дуг ) не преобразуется по закону тепзоров. Из этого примера следует, что комплект частных производных ковариантного вектора вообще не является тензором. В самом деле, если у нас имеется ковариантный вектор А (х), то В,(д)= —,. А. дха дуг дВ дх дх" дА д х ду) ду дуГ дх" ду' ду так что производные вектора не образуют тензора, если только преобразование координат х' = хг(у) не будет аффинным.
Если из формулы Кристоффеля (32.5) ввести производную дех /дугдуг в (33.1), то получим дха Учтя соотношение — А, В и произведя перегруппировку дуг найдем ') С Ь г! ага ! ге! Е. В., Сге)!е Лоигпе! 70 ()869). 4 И, С. Соколоккков ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОЬ (гл. н дА; (а! откуда выясняется, что совокупность и' функций — ' — ! ) А„ дх! «[ Ц) подчиняется закону преобразования для ковариантного тензора второго ранга. И это приводит нас к формулировке: Определение 1, Совокупность и' Функций —,— ! ) А, дА! (а '! дх! (Ц) определяет ковариантную х! производную (относительно ун) от ковариантного тензора Аь Обозначим ковариантную х! производную от А! символом Ася тогда Аь ( = — ',. — (" ) А,.
(33.3) а воспользовавшись формулой (32.6), находим Таким образом, совокупность пх величин А((, !) — = — +) ) А дк! 1 а() образует смешанный тензор второго ранга. В соответствии с этим мы вводим Определение 2. Совокупность и'Функций — +~ ) А дх( 1 а() представляет ковариантную х( производную (относительно д!!) контравариантного тензора А'. Обозначим ковариантную х! производную контравариантного тензора А' символом А,(. тогда А,';— = — +( ) А'. (33.4) Определения (33.3) и (33.4) могут быть распространены, очевидным образом, п на смешанные тензоры. В соответствии с Следует заметить, что для вычисления ковариантной производной необходимо иметь совокупность символов Кристоффеля; иначе говоря, фундаментальный тензор дм должен быть задан заранее.
Подобным же образом, отправляясь от ковариантного вектора А" и дифференцируя отношение В (у) —, А (х), мы приду а дха ходим к формуле дВ дА" дха ду! а д у дх" — = — — — + А' ду( дх" ду( дха дх дка дд( ' 9 зч кОВАРНАнтное лиФФеРе!шиРОВАние тю!ЗОРОВ 99 этим мы определяем ковариантную х' производную (по заданному тензору д!!) смешанного тензора А1, ... 1, формулой !! ' " !з 1, " 1~ дх' +~ !' (А~! ' ! '+ ... +~~'(А!! ! .
(33,5) д(у) = ~(х) —, то = дх! — )Р)( (33.6) Эта совокупность функций представляет собой относительный !! "° !5 вектор веса У. Если А1, „,! — относительный тензор веса )Р', то его ковариантная х! производная будет относительным тензором веса ))Р, определяющимся нз формулы дА ''" Р "!''' Я !"'!г А! .",.' !' ! = — ' "' ' )рА!! "' 1*! дх! -~."~А!!!'-', — ... -~.'~А!""!- +~ !' ~А1,'„, 1,'+ ... +~ !'(А;,' ... 1,, и !5 Проверка того факта, что совокупность функций А!, '„, !', ! (х)образует тензор типа, указанного индексами, не представляет трудности. Если А — тензор нулевого ранга, то мы определяем его ковариантнук! производную как его обыкновенную производную.
Так, например, А,! = дА/дх1, Это определение согласуется с формулой (33.5). Заметим также, что если д!! — константы, то символы Кристоффеля тождественно исчезают, и потому ковариантные производные приводятся к обычным производным. Это очевидно, если е!! являются метрическими коэффициентами евклидового пространства, отнесенного к декартовой системе координат. Заметим в заключение, что ковариаптные х' производные относительных тензоров определяются следующим образом: если )(х) — относительный скаляр веса !р, в силу чего теоРич тег!ЗОРОЕ юо (Гл. и Задачи !.
Доказать, что нижеследуюпгне выражения являются тензорами: дА' (г) А~! „1 ' — ( ~ А'!ь — ( ~ А';да — ( ~ А~!!а+ ( ~ А~! „. 2. Доказать, что ) . ! — ) .. ( — компоненты тензора третьего ранга, где а 1! ь !! 1-~ И .. ! н ) „! являются символами Кристоффеля, образованными нз сима!1Ь!! метричных тензоров а, (х) и а! (х).
а. Использовать формулу ~ ~ ! ~ ! и закон дх! ~ дх! ~ дх! дха ду ~ дх! преобразования относительных скаляров веса аг для вывода формулы (Зз.б). 3 34. Формулы ковариантного дифференцирования Из структуры формулы (33.5) легко заключить, что правила ковариантного дифференцирования сумм и произведений тензоров тождественны с применяемыми в обычном диффереициро!! ° ° ! !1 " !Я ванин. В самом деле, если А 1, „, ! (х) и ,М1, ! (х) — два тензора, то формула ( 1, " !з !! " !з~ 1, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
