1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 15
Текст из файла (страница 15)
— —... — А ''" '(х) (24.2) дх' дхз ду' дуз В ...В ! '! " 'з ду'! ду!l дхб! дхаз а! ""з а а / ! 6: С.! "' (г) = —... — —... — В ' "' '(у). (24.3) / .„ ! ду ' ду ' дх ' дг ' В з„, В д'! д!з да! даз Далее произведением преобразований Т, = ТвТ! переменные х! переводятся в у', а у' — в г', так что Тб преобразует х' в г'. Вводя значения В из (24.2) в (24.3), находим Совершая суммирование по а и )), находим ...
! дх ' дх з дх ' дх з б „, б т У ! Оз С!!...!з(г) '' ! ' б '' л А !... (х) дх' дхз дх' дх' Результирующий закон Ов и представляет собой закон преобразования компонентов смешанного тензора, когда переменные х' преобразуются в г! преобразованием Тв. Таким образом, закон преобразования О является транзитивным, и этим завершается наше доказательство. Результаты для ковариантного и контравариантного тензо. ров получаются как специальные случаи путем отбрасывания верхних нлн нижних индексов. В этой книге будут рассматриваться лишь следующие типы тензоров: скаляры, ковариантные, контраварнантные, смешанные и относительные тензоры, Последним дается определение в $28.
[гл. и ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 78 Установим теперь одно полезное свойство закона преобразования теизоров, с которгям нам часто придется встречаться в дальнейшем, Обозначим компоненты смешанного теизора в координатной системе Х через Лй"'~ (х), а их компоненты в системе У= 83 "сг через В ' '" '(у). Тогда на основании закона преобразования и" 'т смешанных тензоров мы сможем записать а в ! с Вл "' .'(у) = —... —. ° — ... — Л ~ "' '(х). (24.4) ~ ...! Зх ах ау' ву' а ...В ду ' ду т вх ' дк * С другой стороны, если нам даны компоненты В,й'";(у), то компоненты Л~~ "'а*(х) того же тензора в системе отсчета Х "яг определяются формулой Заметим, что мы можем получить (24.5) из (24.4) формально, обращаясь с частными производными и суммами в (244), как если бы они были дробями и произведениями, входящими в простые алгебраические выражения.
Из структуры формул (24.4) и (24.5) выводим важную теорему. Те о р ем а. Если все компоненты тензора обращаются в нуль в одной координатной системе, то они необходимо обращаются в нуль и во всех других допустимых координатных системах. Эта теорема имеет глубокое значение в формулировке физических законов.
Она констатирует, по существу, что если какой-либо закон выводится из исчезновения компонентов тензора в одной частной координатной системе, то это значит, что правила преобразования компонентов тензора гарантируют их исчезновение во всех допустимых координатных системах. Физик мало заинтересован в формулировке закона, который мог бы иметь силу лишь в какой-либо одной частной системе отсчета. И действительно, понятие инвариантности и универсальности физических законов — краеугольный камень, на котором строится математическая физика. й 25. Алгебра тензоров В атом параграфе мы устанавливаем несколько правил оперирования с тензорами, являющихся алгебраическими по своему характеру.
АЛГЕБРА ТЕНЗОРОВ Теорем а 1. Сумма (или разность) двух тензоров, имею- и(их одно и то же число ковариантных и одно и то же число контравариантных индексов, представляет собой тензор того же типа и ранга, что и заданные тензоры. Доказательство. Рассмотрим два тензора А(х) и А(х) одного и того же типа и ранга, определенных в одной и той же точке Р, и соответственные законы преобразования а, ь, / ! 8 (у) ! ''' ! з ''' ь Аа а (х)~ ...у дх' дх' ду' ду Ь ...Ь ду ' ду ' дх ' дх ' ь~ а / ~5 В,'~ "'; (у) = —, ... —, —...
—, Л,~ "' „* (х). дх ' дх х ду ' ду х — Ь ... Ь ду' ду" дхз дхь' Тогда В' "'~ В( "'~= с,...ю,—;,...ю, Отсюда следует, что А + А — тензор того же типа и ранга, что н слагаемые, что записывается тождеством Аь|"'*(х) ~Ав .'(х)иы.ать~" з.(х). а ...а а ...а а ...а Из законов преобразования тензоров явствует, что если каждый компонент тензора умножается на константу, то результативный комплект функций будет тензором. Этот вывод в сочетании с теоремой 1 позволяет нам сформулировать С л е д с т в и е. Любая линейная комбинация тензоров одного типа и ранга является точно также тензором того же типа и ранга. Теорема 11.
Уравнение АЗ~"'Ь*(х)=АЬ' "','(х) есть тень "ь зорное уравнение; зто значит, что если это уравнение удовлетворяется в какой-то определенной координатной системе, то оно удовлетворяется и во всех допустимых системах. Доказательство. Из теоремы 1 следует, что разность двух тензоров есть тензор. Отсюда Ль~" ьз Аь~" ьч О Но в 5 24 мы доказали, что если все компоненты тензора обращаются в нуль в одной координатной системе, то они обращаются в нуль и во всех допустимых координатных системах. Тензор, все компоненты которого обращаются в нуль, мы будем называть нулевым тензором, ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ !гл. и Теорема И1.
Комплект величин, состоящих из произведения каждого элемента комплекта А~! "' !!д(х), представляющего тензор А, на каждый элемент комплекта А!' "' " (х), 1''' Г представляющего тензор А, определяет тензор мд, называемый внешним произведением. Этот тензор контравариантен ранга д + э и ковариантен ранга р + г. Из определения внешнего произведения компоненты тензора .Ф в системе отсчета Х даются формулой зу!! "' !а !! "' ~г ~ $(! "' (аА~! '" ~а г! " !Р а! " Фг 6! " !Р Ф! " дг' Тот факт, что комплект функций М!! '" ! определяет тензор, следует непосредственно из закона преобразования компонентов А!'"'га и Л" '"". х! "' дт Мы будем обозначать внешнее произведение лг тензоров А и А последовательной записью их — одного за другим в одном ряду — и именно таким образом: эт' = АА.
Очевидно, что внешнее произведение дистрибутивно в отношении сложения, т. е. (А + В) С = АС + ВС. Введем теперь операцию свертки, которая приводит к появлению тензоров. Т е о р е и а 1Ч. Если в смешанном гензоре, контравариантном ранга з и ковариантном ранга г, мы приравняем ковариантный и контравариантный индексы и просуммируем по этому индексу, то получающийся при этом комплект и"ы-д сумм будет смешанным тензором, ковариантным ранга г — 1 и контра- вариантным ранга э — 1. Во избежание усложнений в записи прои.плюстрируем процедуру, используемую в доказательстве, для чего рассмотрим смешанный тензор А!и.
Имеем ! ду дхд дх" дх а В!а! = —, — — —, Адтд. дх ду! ду~ ду! Приравняв индексы ! и й и просуммировав, получим комплект и' величин ! ду дх дхт дх а дха дх т а дха ду! ду' ду' ду' ду' дхз дх а дха дх = — —,Адд= — — Л ду! ду ду! ду Таким образом, придем к ковариантному тензору второго ранга: Вгп Вг!. ПРАВИЛО ЧАОТНОГО В рассмотренном случае мы можем получить три различных ковариантных тензора второго ранга, выполнив операцию свертки на других ковариантных индексах.
Заметим, что когда в результате свертки одной или большего числа пар индексов, свободных индексов уже не остается, получающаяся величина окажется скаляром. Если операцию свертки представляется возможным применить к внешнему произведению двух тензоров А и Л, результатом ее будет тензор, именуемый внутренним произведением А и А. Обозначим внутреннее произведение тепзоров символом А А. Доказательство того, что А ° А является тензором, следует непосредственно из того, что внешнее произведение двух тензоров есть тензор, операция же свертки также дает тензор. П р и м е р.
Рассмотрим тснзоры; Ац(х), АА(х) и А" (х). Если мы образуем внешнее произведение АПАА = Лцзь то получим ковариантный тснзор третьего ранга, в связи с чем операция свертки станет невозможной. С другой стороны, внешнее произведение Ац и А" дает смешанный тензор АцА"=А;, и здесь мы сможем произвести операциЮ свертки, получив в результате ее ковариантный тецзор Лы илн Л"р Как уже было отмечено, тензор А,ц может быть свернут тремя различными способами в А,"м, А";м и А А„. Тензор АА) допускает двукратную свертку несколькими способами.
Свертка А'; приводит к скаляру. $26. Правило частного В этом параграфе мы приводим две полезные теоремы, которые позволят нам установить тензорный характер комплектов функций, не загружая себя трудностями непосредственного определения закона преобразования.
Мы пользуемся термином внутреннее произведение для сумм типа А(сь, ~ь ..., ~,)А„или А(сь, (ь ..., („)А", не различая того, представляет собой комплект функций А(ГН ..., ~„) тснзор или не представляет. Кроме того, тензоры первого ранга мы называем векторами. Теорема 1 (правило частного). Положил, что (А((ь(м ..., Е,)) — комплект функций переменных х', а внутреннее произведение А(ьс, Еь ..., ц)З'" с произвольным вектором З вЂ” тензор типа А" '" 'ч(х); тогда комплект А(ц, ..., ь) представляет собой тензор типа А„' "'А'(х) Для того чтобы избежать выписывания длинных формул преобразования тензоров с большим числом ковзриантных и контравариантных индексов, установим эту теорему для комплекта п' функций Л(~, ), й), наделенного всеми особенностями 1ГЛ.
11 ТЕОРИЯ ТЕИЗОРОВ более сложных случаев. Положим, что внутреннее произведение А(а, ), й)$а произвольного вектора $а(х) дает тензор типа Аь1(х). Докажем, что комплект А(1', ), й) представляет собой тензор типа Ам. Если предположить, что А(а, ), й)йа — тензор ! типа А11, то его преобразование В(и, /, й)т(а осуществляется по правилу В(а, /, й)Т)а= —" а (А(Х, Р, У)В ), дуь дха где Введя это выражение для Вх в правую часть вышеприведенной формулы и перенеся все ее члены в одну сторону уравнения, получим с дх~ дхт ду1 В(а, )', Ф) — —,„—,— А(Л, р, у) т)а= О.
ду" ду дх" Но па(у) — произвольный вектор; скобки по этой причине здесь можно устранить, и тогда В (а, (, й) — „— — А (Х, р, у), дх дут ду1 ду" ду" дха Таков закон преобразования тензора типа Ам. Можно сформулировать и аналогичную теорему, где вектор $ будет ковариантным вектором. Если, например, А(1, ), й, и)$а является тензором типа А';х для произвольного вектора $а, то А(1, ), й, а) = Ар". С другой стороны, если А(й 1', й, и)йа = А1я то А(1,), й, а) =Аоаа. Эти выражения подсказывают, что правило частного может быть использовано при установлении тензорного характера величин. Пусть, например, А (1, ), й, а)З'= = А11ы Эту формулу можно представить символически: А(1,!, й, и) = — 'х . $а Если бы теперь нам потребовалось рассматривать ковариантные величины, входящие в формулу ниже черты деления, в качестве контравариантиых, мы поместили бы их над чертой деления А(1, ), й, а) =А14', пРАВилО чАстнОРО зз где $" — символическое представление дроби, обратной ~„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
