1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 11
Текст из файла (страница 11)
+$Р— $',„, — К;+з — ... — Ц, (15.?) Таким образом, каждая вещественная квадратичная форма (е может быть приведена вещественным линейным преобразованием Ц сих, к канонической форме (15.?). Матрица (сы), конечно, не обязательно должна быть при этом ортогональной. йз ЛИНЕИНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.
МАТРИЦЫ !ГЛ. 2 Форма (15.7) предлагает критерий для классификации квад- ратичных форм. Рассмотрим следующие случаи. !. Индекс р в (15.7) равен и, так что уравнение (15.5) имеет и положительных корней. В этом случае мы говорим, что форма (!5.1) положительно определенная. 2, Если индекс р = О, так что все корни уравнения (15.5) отрицательны и ранг Я равен и, форма (15.1) отрицательно определенная. 3.
Если индекс р равен рангу г, причем г < 22, форма назы- вается положительной. С другой стороны, если индекс — нуль, а ранг г < и, форма Я отрицательна. 4. Формы, для которых каноническое представление (15,3) содержит как положительные, так и отрицательные А, назы- ваются неопределенными, Отметим, что положительные и отрицательные определенные формы никогда не обращаются в нуль для вещественных нену- левых значений переменных хь Они обращаются в нуль в том, и единственно лишь в том случае, когда обращаются в нуль все хь В противоположность этому, положительные и отрицатель- ные формы могут обращаться в нуль для ненулевых значений аргументов хь Лля того чтобы в этом убедиться, заметим, что приг<п Я ) 222 !.
й 222.! 1 7 Е22 Мы можем обратить форму (15.!) в нуль, выбрав х; в (15.2) таким образом, чтобы ",~ = В2 = ... — — $„= О. Значения хь при которых форма О не обращается в нуль, конечно, существуют, так как система г однородных уравнений знхт=О (2=1, ..., г) с п неизвестными х; имеет нетривиальные решения, если г < и. Из матричного уравнения (15.4) и из того факта, что в по- ложительно определенной форме все Х; в А положительны, сле- дует непосредственно, что детерминант ~ац! положительно апре- деленной формы непременно положителен.
Обратное утвержде- ние, конечно, неверно. В этом легко убедиться, заметив, что 1А( = !Л), а положительное значение 1Л~ допускает как не- определенные, так и определенные формы. 6 16. Одновременное приведение двух квадратичных форм и сумме квадратов Завершим наше изучение квадратичных форм исследованием возможности одновременного приведения двух вещественных квадратичных форм к сумме квадратов одним-единственным линейным преобразованием. Такая задача возникает в различных пг»»ведение двтх квлде»тич»»ых фогм З пв 59 областях физико-математических наук, в частности, например, в изучении колебаний механических систем относительно состояния равновесия.
Рассмотрим две вещественные квадратичные формы »ч» = а»»х»х» и ф = Ьцх»хц (РВА) каждая ранга а, одна из них, например Я», положительно определенная. Положим, что нам требуется найти линейное преобразование, не обязательно ортогональное, но такое, которое приводит обе формы к сумме квадратов. Если »г» вЂ” положительно определенная и имеет ранг и, то существует линейное преобразование х; = с»Д»з не обязательно ортогональное, которое приводит »г» к виду (16.2) В результате того же преобразования Ят примет вид 1~2 циаме (16.3) Далее надлежа»цим оРтогональнь»м пРеобРазованием ~» = »(»»»1л произведенным над переменными $», мы можем привести форму 1,»д к виду Я, = )»»1,, (16.4) а поскольку ортогоиальные преобразования оставляют скалярное произведение »ѻ ннвариантом, форма Я» остается неизменной, и мы получим »ч» = т)»т1 (16.5) Поскольку теперь Я» и Щ оказались преобразованными к искомым формам, и так как произведение последовательных линейных преобразований от х» к пц есть линейное преобразование х» = з»»»1», то отсюда следует, что одновременное приведение выполнимо.
Числа Х» в (16.4) называются характеристическими числал»и 4юрмы Ям отнесенной к Я». Переходим теперь к выводу уравнения для характеристических чисел Х». Напомним, что если переменные х; в квадратичной форме Я = ацх;х,: с матрицей А подвергнуть линейному преобразованию х» = з»»»1» с матрицей 5, то матрицей результирующей квадратичной формы будет 5'АЯ.
Детерминант этой матрицы имеет значение )5~'1А!. Построим теперь квадратичную форму чс — = Я~ — Щ = (Ьц — Хац) х,хц (16.6) 60 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ [ГЛ. 1 где Л вЂ” произвольный параметр. В результате последовательных линейных преобразований переменных х! в Ч, квадратичные формы 92 и Я! принимают вид (16.4) и (16.5), а (16.6) приводится к (16.7) и а Л Ч + Л2Ч2 + + ЛРЧ ЛЧ1 ЛЧ2 ЛЧ Х (Л! Л) Ч (16.7) Детерминант б в (16.7) равен произведению й=(Л, — Л)(Л,— Л) ...
(˄— Л), а детерминант Я в (16.6) Р =! ܄— Лаи !. (16.9) Из только что сделанных замечаний, относящихся к значению детерминанта в преобразовании квадратичной формы, следует, что детерминанты Р н Л могут различаться лишь постоянным множителем, равным квадрату детерминанта (5( преобразования начальных переменных х! в окончательные переменные ЧР Так как этот детерминант не равен нулю и не содерисит параметра Л, то корни полиномов (16.8) и (16.9) должны быть тождественны, Учтя структуру выражения (16.8), заключаем, что коэффициенты Л! в (!6.4) являются корнями уравнения Ьп — Лан ܄— Лам ...
Ь,„— Ла,„ ܄— Ла„܄— Ла„... Ь,„— Ла,„ Ь„, — Ла„, Ь„, — Ла„, ... Ь,„— Ла„„ В приложении этих результатов к изучению малых колебаний механических систем относительно точки равновесия формы Я! и Я2 соответствуют кинетической и потенциальной энергиям системы.
Окончательные координаты Ч! называются нормальными координатами, а характеристические числа Л, связаны с нормальными л2одами колебаний (см. Э 89), й 17. Унитарные преобразования и эрмитова матрица В ряде вопросов, возникающих в прикладной математике, приходится расширять понятие ортогональных преобразований на векторы, определяемые в комплексной области. Если мы рассмотрим неособенное преобразование х,'.= аих, (!', 1=1, ..., п), в котором коэффициенты а„— комплексные числа, а совокупность чисел (хь ..., х,) представляет собой компоненты вектора х, то при этом естественно возникает вопрос относительно 9 в1 УНИТАРНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ЭРМНТОВА МАТРИЦА 61 ограничений, которые следует наложить на матрицу (аи), если длина 1х[ вектора должна сохранить постоянное значение.
Наложение условия ннвариантности длины, а именно -Р У Х,Х1 = Х1ХВ приводит непосредственно к заключению, что [см, (11.5)) аиам — — бль (17.2) где черта над буквой, как обычно, обозначает сопряженные комплексные значения. Из (17.2) выводим, что абсолютное значение квадрата детерминанта [ап[ равно единице. Матрицы А = (аи), элементы которых удовлетворяют условиям (17.2), называются унитарными, а соответствующие преобразования (17.1) — унитарными преобраэованиялш. Мы можем поэтому записать (17.2) формулой А'А = 7, (17.3) где А — соаряженная матрица, получаемая путем замены каждого элемента а„в А элементом ао.
Из (17,3) заключаем непосредственно, что Л' = А-'. Билинейиая форма Н=а11х1хг (1', 1=1, ..., и), (17.4) где ам= ан называется эрмитовой формой, а соответствующая ей матрица (ап) = А эрмитовой магрицеи. из определения эрмитовой матрицы следует, что элементы диагонали в ней вещественны и что А'= А или А'=А, Заметим что эрмитовы формы могут принимать для произвольного х1 лишь вещественные значения, ибо Н = аах;хг — — анх;х1 аих,хг — — Н. Очевидно, что эрмитовы формы представляют собой обобщение вещественных квадратичных форм.
Можно поднять вопрос о возможности приведения формы (17.4) к канонической форме Н = АЛ1с1 + Айэбз + ° ° ° + А«$«$« (17.5) с помощью преобразования х1 = и1Д1 или х = 0$, где (7 = (ии) — унитарная матрица. Вычисление, сходное с выполненным в 5 13, приводит к решению матричного уравнения и-'Аи =Л, (17.6) 62 лннниныв ввктопныв пространства, матрицы !гл. ~ где Л вЂ” диагональная матрица. Процедура в этом случае во всех отношениях сходна с описанной для вещественных симметричных матриц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
