1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Умножая (17.6) на (?, получаем А(? (?А, (! 7.7) т. е, систему линейных однородных уравнений для определения векторов и®; (ииь иам ..., иаа), входящих в столбцы К Необходимое и достаточное условие того, чтобы система, представленная в (1?.7), имела решение, сводится к требованию ! А — и? ! = О. (!7.8) Возможность построения унитарной матрицы (?, удовлетворяющей уравнению (17.6), связана с тем, что корни уравнения (17,8) здесь также вещественны. Тот факт, что характеристические корни дг должны быть непременно вещественны, следует из замечания, что !?-'А(? — эрмитова матрица, если только А— эрмитова, а Ь вЂ” унитарная '). Таким образом, Л в (!7.6) является эрмитовой матрицей и, следовательно, ее диагональные элементы вещественны, Задачи !. Привести матрипу А=(ан)=( ) к диагональной форме 5 преобразованием подобия С-'АС. Показать, что Исследовать значение А как оператора, характеризующего деформапию пространства.
2. Привести к диагональной форме матрииы '1 Действительно,(У АУ)'=У'А (У ) и (У АУ) =У'А'(У ')'. Так как А — зрмнтова, то А' А, а так как У вЂ” унитарная, та Уи У ' и (У )' У. Н результате находим (У ~АУ)'=У АУ. ГЛАВА И ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ й 18. Задача и содержание тензорного анализа. Инвариантность Тензорный анализ имеет дело с изучением абстрактных объектов, называемых гензорами, свойства которых ие зависят от координатных систем, используемых для описания этих объектов. В частной координатной системе тензор определяют совокупностью функций, называемых его компонентами, точно так же, как совокупностью компонентов определяют в заданной координатной системе и вектор. Определяет ли заданная система функций тензор, зависит от закона преобразования этих функций при переходе от одной координатной системы к другой.
Положение здесь тождественное с тем, которое мы встретили еще в главе 1. В заданной координатной системе вектор А определяется однозначно совокупностью компонентов Аь Если мы введем новую систему координат, то этот же вектор А будет определяться совокупностью компонентов Вь причем эти новые компоненты могут быть однозначным образом вычислены из первых. Именно закон преобразования компонентов вектора и составляет сущность понятия вектора. Это относится также и к тензорам, Поскольку тензорный' анализ имеет дело с объектами н свойствами, не зависящими от выбора координатной системы, он является идеальным инструментом для изучения законов природы.
В самом деле, если логическая дедукция, основанная на комплексе случайной совокупности наблюденных фактов, и заслуживает наименования закона природы, то это лишь потому, что она определяется часто общностью подобной дедукции и ее применимостью в достаточно широком классе систем отсчета. Это обстоятельство тесно связано с возможностью формулировки дедукции в тензорном уравнении, так как тензорные уравнения инвариантны относительно принятого в том или ином случае типа преобразований координат. Идея инвариантности математических объектов при преобразовании координат пронизывает всю структуру тензорного анализа до такой степени, что ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ (гл.
и весьма важно с самого начала составить ясное представление об одном частном виде инвариантностн, который мы имеем в виду. Положим, что некоторая точка является инвариантом. В заданной системе координат точка Р определяется совокупностью координат х'. Если координатная система меняется, точка Р будет описана новой совокупностью координат у', но это преобразование координат ничего не изменит в самой точке. С другой стороны, пара точек (Р,, Рз) определяет вектор Р,Р,.
Этот вектор в частной координатной системе однозначно определяется совокупностью компонентов Аь Преобразование координат ничего не изменяет в самом векторе Р|Р,, но определится он в новой координатной системе Р,Р, иной совокупностью компонентов Вь Совокупность точек, образующих, например, кривую илн поверхность, является, таким образом, инвариантом.
Эту кривую можно описать в заданной координатной системе уравнением, которое обычно меняет свою форму с изменением координат, хотя сама кривая остается неизменной. Скажем поэтому вообще, что математический объект, какова бы ни была его природа, является инвариантом, если только он остается неизменным при преобразовании координат. 9 19. Преобразование координат В главе 1 мы познакомились достаточно подробно с линейными преобразованиями координат.
Здесь мы будем иметь дело с вещественными однозначными, обратимыми функциональными преобразованиями вида Т: у'=у'(х', х', ..., х") (/= 1, 2, ..., и). (19.1) Любую заданную совокупность и вещественных чисел (х', ха~,... ..., х,") мы представляем себе как точку Ро в и-мерном метрическом многообразии с координатной системой Х.
Систему уравнений (19.1) мы рассматриваем как преобразование координатных систем, в котором подстановка в (19.1) и чисел (у,', у'„ ..., у,",) взамен координат (х,', х-„', ..., х,") представит координаты точки Рв в координатной системе У. Так как преобразование Т в (19.1) предполагается обратимым и взаимнооднозначным, то мы можем записать Т: х (у~, у, ..., у") (/= 1, 2, ..., и), (19,2) где функции ') хч(у) однозначные.
Для того чтобы обеспечить выполнение только что наложенных нами ограничений на преобразование координат, будет достаточно предположить, что ') Мы будем часто яользоваться обозаачеаияма х'(у) и /(«) вместо «'(у'... у") и соответственно /(х', х', ..., х"). $ нй ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ функции у'(х) в (19.1) непрерывны вмесзе со своими первыми частными производными в некоторой области !с множества )/„ и что якобиан — детерминант Х вЂ” = ~ †. ~ — не обращается в нуль ! ду1 ~ дх' ни в одной точке области /с'.
В этом случае гарантируется ') не только существование однозначного обратимого преобразо- вания (19.2), но и принадлежность функций х/(у) в (19.2) к классу С' в некоторой окрестности рассматриваемой точки. Заметим, что если функции у'(х) в (19.1) принадлежит клас- су С', то по формуле Тейлора у' а' + а'х/ 0 / где а' — значение ду'/дх/, вычисленное для некоторой точки Р' области /с.
Точка Р' зависит, конечно, от выбора значений (х', х', ..., х"). Поэтому преобразование (19.1), обладающее указанными свойствами, является локально-линейным. Суще- ствование не обращающегося в нуль якобиана гарантирует, что эта система линейных уравнений имеет единственное решение. Повсюду в дальнейшем в этой книге мы будем предполагать, что все встречающиеся типы преобразования координат имеют внд (19.!), в котором функции у/(х) входят по крайней мере др в класс С' в некоторой области )с и что ~ —.! Ф О в любой дх/ точке /с.
Ради краткости будем называть класс преобразований координат, характеризуемый описанными свойствами, допусти- мыми преобразованиями. В качестве допустимого преобразования рассмотрим систе- му уравнений, определяющих связь между сферическими по- лярными координатами х' и прямоугольными декартовыми ко- ординатами у'. у'= х' в!пха сов х', Т: у'=х'в!Пх'в(пхз у' = х' сов Если положить х' > О, О < хз < и и О < хз < 2п, то /' Ф О, н об- ратное преобразование выразится уравнениями х/ + )/ (у! )з + (уе)а ! (уз)е 3 Ц уе ха = агс!д —,, е~ ') См., например, фойо!п1й о 11 1. 8., Адвапсед са1001из, стр.
433 — 438. ййы пользуемся символом С лля обозначения класса функций, непрерыв. иых вместе со своими первыми л частными производными. 3 и. С. Соколмыков ТЕОРИЯ ТЕИЗОРОВ (гл. и Задана Исследовать преобразовапяя, в которых координаты у' — пряыоуголь. яые декартовы: 1 к'+ =х', "т' 6 51 1 з 1 — — хе. 1' 2 1 у> 1' 6 1 уз 1> 2 к +— 2 )>'е 1 к' -= р'з (е) 1 (з )> 2 у> хз соз х, (б) у' х' 51п х', $20. Свойства допустимых преобразований координат Из содержащейся в этом параграфе сводки некоторых важных свойств допустимых координатных преобразовании мы увидим, что совершенно несущественно, какая именно частная система отсчета избирается для описания инвариантных объектов. Будет показано, что все допустимые преобразования координат образуют группу и что вследствие этого каждая координатная система в семействе может быть получена из какой-либо другой частной системы путем допустимого преобразования.
Этот факт является важным пунктом в построении теории, которая претендует на независимость от случайного выбора систем отсчета. Теорема 1. Если преобразование координат Т обратимо, т. е. существует обратное преобразование Т ', и если з' и К означают соответственно их якобианы, то з' К = 1. Доказательство просто: подставляем значения х' из (19.2) в (19.1) и получаем ряд тождеств для у': у'=у [х'(у... „у"), ..., х" (у', ..., у")). Дифференцирование по у! дает — =61 = —,— (а 1, 2, ..., и). ду' 1 дуз дк ду! дхо ду! Но Поскольку [61~[=1, мы убеждаемся, что У К = 1.
Попутно из етого результата следует, что з' чь 0 в Р. Рассмотрим теперь два допустимых преобразования т,. Уз = Уз (х! ..., хл) и Тя'х в (У>' ° > У) (1 1> 2» и) $2п пРБОБРАзОВАния, индуциРОВАнные инВАРиАнтностью В7 Преобразование Тз: х' хз(ууз(х', ..., х"), ..., у" (х'... хз)] называется произведением Тз и Ть Записывается оио формулой Тз — — Т2ТБ Если якобиан Тз обозначить через Уз, то Уз- -Йа 'у! — '2'! бу! У2УО где Уз и У1 — соответственно якобианы Тз и Ть Сформулируем этот результат как теорему, Теорема П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
