1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 14
Текст из файла (страница 14)
$ 23. Понятие теизора. Контравариантиый и ковариантный тензоры Рассмотрим допустимое преобразование Т: у'=у'(х', хз, ..., х") (»=1, 2, ..., и) и комплект (/»» непрерывных функций в количестве гп /»(х', хз, ..., х") (»'= 1, 2, ..., гп), определенных в некоторой области /с и-мерного пространства, отнесенного к координатной системе Х.
Ассоциируем с заданным преобразованием Т преобразование 6, которое преобразует каждую функцию /»(х», хз, ..., х ) в функцию а'»(у уз ° ° ° у ) Примерами преобразования 6 являются преобразования, индуцнрованные инвариантностью скаляра, а также контравариантные и ковариантные преобразования, введенные в предыдущих параграфах. Но какова бы ни была природа преобразования 6, она всегда будет зависеть от Т, и чтобы подчеркнуть этот факт, мы скажем, что 6 — функция Т. Мы назовем 6 инду»(ированным преобразованием комплекта функций /». Предположим далее, что 6, рассматриваемая как фу»»кция Т, удовлетворяет следующим условннм.
(а) Если Т есть тождественное преобразование, то и 6— также тождественное преобразование. Это значит, что если у»ьч х', то /»(х, ..., х ) — /»(у, у, . у ). (б) Если Т„Тз, Тз — три преобразования хипа Т, а 6Н 6, 6з — соответственные инду»)ированнь»е преобразования 6, и если при этом Т, = Т,Т„то 6з = 6а6».
Иначе говоря, ком.плекты преобразований Т и 6 изоморфны. Если данный комплект функций (/»» удовлетворяет условиям (а) и (б), то скажем, чтО комплект (/»» представляет компоненты /» тензора» в координатной системе Х. Сам же тензор / есть не что иное, как совокупность комплектов функций (/»(х)», (к»(у)» и т.д. 4 м) контрлвлеилнтнын и ковлриантнын тннзоры тз Следует заметить, что термин тензор был применен А.
Эйнштейном ') лишь в связи с комплектами величин, преобразуемых в соответствии с законами контравариаитности и ковариантностн. Формулировкой контравариантного и ковариантного законов, равно как и наброском существенных положений алгебры и анализа контравариантных и ковариантных тензоров, наука обязана Дж. Риччи' ). Значительно более широкое истолкование и определение тензоров на основе изоморфизма преобразований координат и индуцированных преобразований принадлежит Г. Вайлю и О.
Веблену'). Из-за соображений практического удобства и благодаря широкой распространенности ковариантного и контравариантного законов преобразования в применениях анализа к геометрии и физике термин тензор вошел во всеобщее применение в том смысле, в каком его наметил А. Эйнштейн. Тем не менее изоморфизм между законами преобразования координат и индуцированными преобразованиями заложен столь фундаментально в идее тензоров и в инвариантной природе тензорного анализа, что ту степень внимания, которую мы уделили ему в предшествующем изложении, следует признать достаточно оправданной. Обратимся теперь к рассмотрению ковариантных, контравариантных и смешанных тензоров. Будет удобно ввести (следуя Риччи) различные обозначения для каждого отдельного типа этих тензоров так, чтобы их можно было различать с первого взгляда.
Рассмотрим прежде всего комплект из и функций переменных (х',..., х") (А(1; х)) ила А(1; х), А(2; х), ..., А(п; х). Ранее мы помещали идентифицирующий (обозначающий) индекс 1 либо снизу буквы, либо сверху ее, но теперь мы условимся пользоваться верхними индексами для обозначения комплекта функций, которые преобразуются в соответствии с контравариантным законом, и нижние индексы для комплектов, преобразующихся коаарнантно'). В тех случаях, когда закон преобразования не ковариантный и не контравариантный или когда природа его стоит под сомнением, мы пишем (А(1; х)), (В(1; у)) н т. д.
Предложим теперь следующие определения, ') Е)п а 1е г и А., Аппа1еп г(ег РЬузгй 49 (1916). ') й)с с! сс, А(1! Ве!)а геа1е ассабепз(а пахгопа1е г(е) плесе) 6 (!ВВ9). ') ЪЧеу! Н., Ма1ЬегпацвсЬе 2ецзсЬг)ц 23, 24 (1925 — 1926); Агеь)ел О., !пчаг!апм о1 Чнабгацс б!Иеген!!а! 1оггпз, СагпЬг)бяе Тгас! М 24 (1927), стр. !9 — 20, 4 ) Единственным исключением из этого соглашения является применение верхних индексов для обозначения переменных х', у' и т.
д Эти величины не преобразуготся ко ковариантнолгу илн контравариангиому закону, если преобразование Т не является аффииным. ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 1гл. и 74 Определение 1. Ковариантным тензором ранга 1 называется полный класс комплектов величин (А(1; х)), (В(1; у)), (С(1'; г)),, связанных между собой преобразованием вида В(1; у)= — А(а; х) (1', а=1, 2, ..., п), где (А(1; х)) — представление тензора в координатной системе Х, а (В(1; у)) — его представление в некоторой координатной системе У, связанной с системой Х преобразованием Т. Часто мы говорим обобщенно о заданном комплекте (А(1; х)) как о тензоре, но в этом выражении и нельзя скрывать тот факт, что тензор представляет собой совокупность комплектов величин, обозначаемых символом (А(1; х)).
Последний относится к представлению тензора в частной системе отсчета и может быть понят как компонент тензора в координатной системе Х. Тем не менее мы будем применять термин компонент тензора, имея в виду индивидуальные элементы А(1; х) в комплекте (А(1; х)). Мы обозначаем компоненты ковариантных тензоров нижними индексами и часто опускаем переменные х и у, входящие в качестве аргументов А и В. Таким образом, В1 = — А, (ковариантный закон). дха ду1 О и р е д ел е н и е 2. Контравариантным тензором ранга ! называется полный класс комплектов величин типа (А(1; х)), (В(1; у)), ...
связанных между собой преобразованием вида ду В (1; у) —, А (а; х), где (А(1; х)) представляет тензор в координатной системе Х и [В(1; у)) — в координатной системе У. Мы обозначаем компоненты контравариантных тензоров верхними индексами. Так, например, ду' В'= У А (контравариантиый закон). дх Определения контравариантного и ковариантного тензоров первого ранга тождественны с определениями контравариантного и ковариантного векторов, данными в $22.
Мы говорим о скалярах, определенных в $ 21, как о тензорах нулевого ранга. Мы можем обобщить определения тензоров первого ранга, включив сюда теизоры любого ранга, следующим образом. $23] КОНТРАВАРИАНТНЫЙ И КОВАРИАНТНЫН ТЕНЗОРЫ тд Определение 3. Комплект и' величин Л1,1, .1 (х), ас. социированных с координатной системой Х, представляет ком- поненты ковариантного тензора ранга г, если соответствующий комплект и' величин В1 1, „1 (у), ассоциированный с коорди- натной системой У, задан выражением а а а дх ' дх 2 дх ! В11 ...1 = ° ° ° 1 Лаа ...а ° д ' д ! д у у у Сам тензор представляет собой совокупность комплектов ве- личин (Л1,! ...
1,(х)) ° Определение 4. Комплект и" величин А'!'2"' '!(х) пред. ставляет компоненты контравариантного тензора ранга г в ко- ординатной системе Х всякий раз, когда соответствующий ком- плект В '1'" ° (у), составленный из и" величин в системе У, 11 ...1 задан законом ! В !1"' — —... — А ! 1 " 11 ...1 ду1 ду! ду! аа ...а дх' дха дх' В качестве иллюстрации отметим, что компоненты ковариапт- ного тензора второго ранга преобразуются по закону дх дхь В,! (у) = — — А (х), ду1 ду! тогда как компоненты контравариантного тензора заданы выражением При этом в каждом комплекте — п2 компонентов. Определим теперь смешанный тензор.
О п р ел ел е н и е 5. Совокупность комплектов из пхы величин, обозначаемых в координатной системе Х выражениями А]1]2"' ! (х), представляет собой смешанный тензор, ковариант- 13'" а ный ранга г и контравариантный ранга з, если соответствующие величины В ! 2'" '(у) в координатной системе У за- 1! . ° ! 1312" 1/ даются законом а а а, ], ! ],! ...! дх' дх' дх' ду' ду' ду! Ьа „. о11 ...1 1 1 ''' 1 Ь а ''' аа ...а ° ду' дуа ду! дх' дха дх! Заметим, что этот закон для преобразования компонентов А! смешанного тензора лает В](у) дха ~У' АР(,) !гл, и ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ $ 24.
Свойства ковариантного и контравариантиого законов преобразования тензоров Проверим, что индуцированные преобразования, определенные в предшествующем параграфе, удовлетворяют условиям изоморфизма, сформулированным в 5 21. Тот факт, что преобразование, индуцированное инвариантностью скаляра (приводящее к тензорам нулевого ранга), удовлетворяет этим условиям был отмечен в $ 21. Доказательства для контравариантного и ковариантного тензоров — частные случаи доказательства для смешанного тензора.
Рассмотрим поэтому смешанный тензор, обозначенный комплектом функций А!и "'! (х). 1! ".! Закон б для преобразования смешанных тензоров имеет вид а ! ! В, ";(у) = —, ... —, ° — ... — А„' '"„'(х) (24.1) дх' дх' ду' дух З ...а ду ' ду ' дх ' дх а и мы должны показать, что: (а) если Т=1, то 0 =1, (б) если Т = Т,Т„то б = бзб!. Итак, если Т 1, то Ха, „а, Ха, аа, и, следовательно, а — б а ду а а дх' а д Кроме того, Т =1, так что уа, Ха, оз — хае В качестве простого примера смешанного тензора, с которым мы уже встречались в нашем изложении, укажем дельту Кропекера б!, именно —, — 6, = —, = б!.
Подтверждение того ! ду дха ду факта, что определения ковариантного и смешанного тензоров удовлетворяют условиям (а) и (б), указанным в начале этого параграфа, приводится в $24. Для того чтобы отличить тензоры, определенные для некоторой области пространства, от тензоров, область определения которых сводится к единственной точке, о первых говорят иногда как о тензорах, составляющих тензорное поле.
коВАРилнтнын и контРАВАРилнтныи злконы откуда /, !з — '=б — '=б . ду' ! дуз дх' ' дхз Подставляя эти значения частных производных в (24.1), получаем В/! ... ! (у) ба, ба, б!! б/ Ав, ." в, (х) А!, " !з (х) з,-.з, !,''' !, В, Вз а" а откуда 6 =1, если Т=1. Предположим теперь, что преобразованием Т! переменные х! преобразуются в у', а прсобразование Тв переводит последние в г'. Соответствующие индуцированные преобразования 6, и Ох дают а а ! / О: В ' "' '(у)= — .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
