1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Иначе говоря, корни полинома )ац — хьц! — инварианты. 7. Доказать, что тензор с кососимметричными компонентами в одной координатной системе имеет кососимметричные компоненты во всех координатных системах. 3. Показать, что каждый тензор может быть выражен суммой дву» теизоров — одного симметричного н другого кососимметричиого. 9. Показать, что тензорное уравнение а,дг аХ1, где а — инвариант, а Хз — произвольный вектор, требует, чтобы а1 — — Ь а.
1О. Доказать непосредственно нз закона преобразования коъгпонеитов, что симметрия тензора представляет собой инвариантное свойство. 11. Квадрат элемента дуги дз задан в виде дзз и 1 дх1 дх1 Пусть Т вЂ” допустимое преобразование координат х' хг(у~, , у"), тогда дзэ Лцдргдрт. Доказать, что )йы) — относительный скалЯР веса 2. Указание. дх' дхр й?1(р) — — Ыор(х). Вспомнить правило ул1ноження детерминантов. дуг ду1 13. Сколько независимых компонентов имеется в кососимметрнчном тензоре второго ранга? 13. Показать, что если ац — кососимметричный тензар и А' — контрава.
риантиый вектор, то ацА'Аг = О. 14. Доказать, что если А(1,),й)А'В?Сь — скаляр для произвольных векторов А', В' и Сы то А(й1, й) — тензор. й 29. Метрический теизор В $5 мы ввели понятие и-мерного пространства Е„путем расширения представлений, знакомых нам из обычной геометрии Евклида. Так, например, определяя длину )х) вектора х, мы воспользовались обобщенной формулой Пифагора )х) = = ')? х'х', где х' — компоненты вектора х, отнесенные к декартовой прямоугольной системе осей (см.
9 5). Если мы теперь рассмотрим вектор перемещения с1х' (1 = (, ..., и), определяемый парой точек Р(х) и Р'(х + п1х), где хг — декартовы прямоугольные координаты, то формула Пифагора даст для квадрата расстояния между Р и Р' выражение Нэз = г(х' г(х1 (! = 1, 2, ..., и). (29.!) Щы назовем с(х элементом дуги в Е„. ТЕОРИЯ ТЕИЗОРОВ Изменение координатной системы, определяемое преобразованием (29.2) х'= х1(у', ..., у"), позволит нам привести формулу (29.1) к виду дх1 дх1 дзз Дуа Дуа ана даз (29.3) поскольку дх' =(дх1/ду')0у'.
Мы вправе, таким образом, задать формулу для квадрата элемента дуги в системе отсчета У как квадратичную форму дз' = д ду" Ыув (29.4) где коэффициенты у„в(у) определяются из (29.5) ду дуа эти коэффициенты — функции переменных (у1) и, очевидно, симметричны относительно индексов и и р. Так как квадрат элемента дуги дз — инвариант, заключаем (см. задачу 3), что комплект функций у„а(у) является симметричль1м тензором. Этот тензор называется метрическим гензором, поскольку, как это мы увидим в главе П!, все существенные метрические свойства евклидова пространства полностью определятся этим тензором.
Мы пришли к формуле (29.4), исходя из выражения (29 !), характеризующего евклидово пространство. Преобразование координат (29.2), очевидно, не изменяет его метрических свойств, формула же (29.4) легко позволяет нам вычислять расстояния в евклидовом пространстве, как только мы ввели в него координатную систему У. Начав с формы (29.1) и преобразования (29,2), мы показали, что комплект и функций (29.2) удовлетворяет системе, состоящей из 1/ел(а+ 1) частных дифференциальных уравнений (29.5), в которых у„в(у) — известные функции переменных у, Однако если функций д„в выбраны произвольно, то система 1/зл(л + 1) дифференциальных уравнений в частных производных (29.5) для л неизвестных функций х1(у) вообще не имеет решения. В случае же, если у„в таковы, что система (29.5) имеет решение, существование преобразования координат, приводящего квадратичную форму (29.4) к сумме квадратов (29.1), гарантировано.
В этом случае метрический тензор д„в определяет евклидово пространство. Если, наоборот, функции у„в(у) таковы, что система (29.5) не имеет решения, то это значит, что никакого допустимого преобразования координат, приводящего выражение (29.4) для квадрата элемента дуги к пифагоровой форме, не существует.
Совокуп- й Зо! ФУНДАМЕНТАЛЪНЫН ТЕНЗОР И АССОШН!РОВАННЫЕ С НИЫ ТЕНЗОРЫ 99 ность необходимых и достаточных условий интегрируемости уравнений (29.3) выводится в $39. В остальной части этой главы мы будем предполагать, что наши тснзоры определены в метрических пространствах и что элемент дуги !(з задан квадратичной формой с(55 = д1)(х)д«1!(х', где д1! — функции, принадлежащие классу С'.
Мы принимаем также, что симметричный теизор д!)(Х) таков, что (д);( Ч=О в любой точке рассматриваемой области, но воздерживаемся от допущения, что наше пространство обязательно евклидово. Задачи !. Пусть в Ез введена декартова ортогональная система координат х' и дано преобразование этой системы х' у' Мп у' соз у', хе = у! Ып ут 5!и уз, х у со5у, где у' — сферические полярные координаты (у' = г, у'= О, у'= ф). Найти значения метрических коэффнпиентов уо(у), 2.
Пусть в Ез введена декартова ортогональная система координат х', и пусть х' = у' соа у', хе=у 5!Пу. «3 — уз выражают преобразование к цилиндрическим координатам у'. Найти выражение для 055 в цилиндрических координатах. 3 В Еь введена система декартовых ортогоналы!ых координат х1, и пусть х = а!1уг,)а1)(чьо (1, /= 1, 2, 3) — линейное преобразование координат, Определить метрические координаты до(у). Исследовать случай ортогонального преобразования. 3 30. Фундаментальный тензор и ассоциированные с ним тензоры (30.1) Пусть д11(х) представляет собой симметричный тензор, принадлежащий к классу С', причем д = ~д1!) ФО в каждой из точек области.
Построим с помощью комплекта функций д!)(Х) новый комплект функций д1!(х), представляющих контравариантный тензор, обладающий тем свойством, что д1)да =б'. а! 5 Тензоры д!!(Х) и гт!!(х) будут играть существенную роль в наших дальнейших исследованиях и по этой причине будут называться фундаментальными тензорами. Составим комплект нз функций пгт д(1, ))= — ! ТЕОРИЯ ТЕНЗОРОВ 1гл. и где 60 — алгебраическое дополнение элемента пп в детерминанте д. Обозначение, введенное в определении (30.!), наводит на мысль, что я(1, 1) образуют контравариантный тензор, и мы действительно докажем, что они определяют симметричный контравариантный тензор д'~. Симметрия комплекта функций д(1, /) следует непосредственно из того наблюдения, что детерминант, получаемый путем изъятия 1-й строки и /-го столбца в симметричном детерминанте пп, имеет то же самое значение, что и детерминант, получаемый путем изъятия /-й строки и 1-го столбца.
Докажем теперь, пользуясь правилом частного, что д(1, 1) преобразуются согласно контравариантному закону. Отметим сначала, что если з' — произвольный контравариантный вектор, то я Ью= — ааД (30.2) — произвольный ковариантный вектор, поскольку /йп( Ф О. Если теперь Обе части формулы (30.2) умножить на й(Д, 1) = ба*/д и суммировать по 1, то мы получим ам ~ ((), 1) ~, = †,' ~.,~.. (30.3) Но в силу (7Л) И'у„,=дбв, и потому формула (30.3) примет упрощенный вид а((), 1)~ =~з.
Поскольку $; произвольная, заключаем из теоремы (, $ 26, что й(р, 1) — контравариантный тензор второго ранга. Поэтому формула (30.!) принимает вид Сс1 йы К Соотношение взаимности йнд = б' следует непосредственно из того факта, что 6'1д,.=б'д, В данном случае мы вправе заключить, что комплект алгебраических дополнений 011 представляет контравариантный тензор веса 2. Это следует нз задачи !! 5 28, где указано, что детерминант )дм! есть относительный скаляр веса 2, Тензор, получаемый процессом внутреннего перемножения ! произвольного тензора Лп „, 1, с одним из фундаментальных теизоров дп нлн д11, назйвается тензором, ассоциированнася с заданным тензором. В качестве иллюстрации такого определения рассмотрим тензор Амь и образуем следующие внутренние произведения: а у~~А;;~=А~И, й"~ЛО,=— Ач.м д"А;1~— = Ан..
Все эти тензоры ас. социированы с тензором Лпь. Действуя на эти тензоры тензором 1ЗП символы кгистОФФаля 9! $31. Символы Кристоффеля Введем в этом параграфе некоторые комбинации частных производных от фундаментального тензора дц(х), которые в дальнейшем окажутся полезными в развитии тензорного исчисления.
Построим совокупность функций, обозначаемых сим- волом ГУу, Уг)= — !1 + — — у! (У, у, Уг=1, ..., и), (31.1) ! ! дам дум двц'! 2 1 дкУ дкк дк" ) и назовем их 3-индексными символами Кристоффеля первого рода. Совокупности функций ~ — дйа (уу а) (31.2) где ~"ч — контравариантный тензор, построенный с помощью Юц по способу, излохсенному в предыдущем параграфе, представляют собой 3-индексные символы Кристоффеля второго Рода. Существует, очевидно, и различных символов Кристоффеля каждого рода для каждого независимого дц, а поскольку число ! независимых уц равно — п(а+1), число йУ независимых симво. ! лов Кристоффеля определится как у)у= — и'(и+1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
