1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Чаще всего мы будем иметь дело с квадратными матрицами, т. е. матрицами, содержащими равное число строк н столбцов. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется ну. левой матрицей. Она обозначается символом О. Отметим две особенности матричного умножения. Из определения (8.3) следует, что если А и  — две п Х п-матрицы, 2 И. С. Сокольников Имея т Х п-матрицу А н и Х р-матрицу В, мы можем определить произведение АВ матриц А н В, записываемое формулой АВ = (ацЬ;А). (8.3) 34 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦЫ ~ГЛ. ! то АВ не обязательно получается равным ВА. Например, если в=[, 1 в=~ та 0 11 ГО -11 АВ = о ~, между тем как ВА = ~ Таким образом, произведение матриц, вообще, ие коммутативно, Если, однако, мы имеем дело с двумя матрицами порядка п, содержащими нулевые элементы повсюду, за исключением, может быть, диагонали, в таком случае онн коммутативны и следуют простому закону умножения о ...
о о н, ... о х,и, о ... о О Авив ... 0 ... О О Ц...О 0 0 ... Х„ 0 0 ... нв 0 0 ... Х„И„ Такого рода матрицы называются диагональными. Диагональные матрицы в дальнейшем будут играть особенно важную роль. Диагональная матрица частного типа 1 0 ... 0 0 1 ... 0 0 О ... 1 Обратим также внимание на то обстоятельство, что произведение двух матриц может обратиться в нуль, хотя при этом ни один нз множителей-матриц и не равен нулю. Так, например, если то АВ= 0 0 0 О 0 0 0 0 О.
Однако детерминант 1АВ~ произведения двух квадратных матриц равен произведению детерминантов ~А~ и 1В~ матриц А и называется единичной матрицей. Заметим, что если А — какаялиба матрица, то А1=1А = А. ЛИНЕИНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И МАТРИЦЫ 35 В. Это следует непосредственно из того, что закон образования элемента в 1»й строке н в Ьм столбце произведения двух детерминаитов совпадает с соответствующим правилом для произведения двух матриц. Мы назовем п Х п-матрицу, детерминант который обращается в нуль, особенной матрицей. Наконец, определим умножение матрицы А = (а») па число й, записывая это произведение как ЙА, матрицей, каждый элемент которой умножается на й. Таким образом, ЙА = (йа»).
В качестве упражнения читателю предлагается подтвердить правильность теорем, вытекаюших непосредственно из вышеприведенных определений; (1) А + В = В + А. (11) (А+ В)+С= А+(В+С). (111) (А + В) С = АС + ВС. (1Ъ') С(А+ В)= СА+СВ. Только что введенное обозначение позволяет написать нашу систему уравнений (8.1) в виде одного векторного уравнения х'= Ах, (8.4) х, х, 0 0...0' либо как квадратную матрицу х„ 0 0 ...
0 Обратное преобразование (8.2) может быть записано в виде к=А х, (8.5) где А„ АИ (л( (л( Ам Ам (А~ (л( Аю ~А( А„р 1А! (8.6) А|„АР Аав 1А( (А~ ''' (А! а А» — алгебраические дополнения элементов а» в детерминанте (А1 Матрица А ' называется обратной по отношению к матрице А и может быть определена для любой неособенной матрицы $4 где А = (а») и где мы рассматриваем х либо как матрицу в адин столбец 36 ЛИНЕЙНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. МАТРИЦЫ !ГЛ. 1 А.
Из определения (8.6) следует, что матрицы А и А ' связаны формулами АА '=1, А А=1, где ! — единичная матрица. Так как АА-' =(а!АА,А/(А!), то аыА„А = бо!А ~. ЕднничнаЯ матРица ! соответствУет тождественному преобразованию х,' = х!; зто преобразование, будучи записано в матричной форме (8А), принимает вид х' = !х или х' = х. Мы называем матрицу 'ан ам ...а„, а„а„... а„, А'= ам ае„... а„„ полученную путем перестановки строк н столбцов в матрице ан а„...
а,„ ае! ае! ... ае„ а„, а„,...а„„ трансиоэицией А. Используя определение транспоэиции и законы сложения и умножения матриц, легко показать, что: (Ъ') (А + В)' = А'+ В'. (Ч1) (йА)'= йА'. (!!11) (АВ)'= В'А'. (Обратите внимание на порядок.) Если А — неособенная, то матричные уравнения АХ=! и ХА=! имеют единственные решения Х = А ', что может быть немедленно установлено умножением их па А-' с обеих сторон, учи тывая, что А 'А=АА =!. Если мы примем А-'А = АА-' и образуем транспозицию, то пол чим у А'(А ')' = (А ')' А'. Умножая на (А') ' слева, получим (А') А'(А ') =(А ) (А ') А', (А ') = (А ) (АА !) = (А ) еаклидавО тРехмеРнОе пРОстглнства зт Таким образом, (А ') (А) Легко также показать, что (АВ) '= В 'А '.
(Обратите внимание на порядок.) Если мы имеем два следующих одна за другим линейных преобразования х~-внх, и х,"=Ь х' (( )=( ... и) это преобразование называется произведением преобразований. В матричных обозначениях эти преобразования записываются в виде х'= Ах и х" = Вх', х" = ВАх. так чта Поскольку произведение ВА вообще не равно АВ, мы убеждаемся, что последовательность, в которой производятся преобразования, не безразлична. Следует заметить, что матрица А в уравнении х' = Ах может быть использована как оператор, преобразуащий вектор ео в другой вектор х'. В силу свойств А(йх) = йАх и А(х+ у) = Ах+ Ау, где й — некоторый скаляр, А часта называют линейным векторным оператором или линейной векторной 4ункцией.
Ее можно рассматривать как аппарат для получения нового вектора из заданного вектора. Мы осветим эти операции с ббльшими подробностями, рассмотрев ряд примеров применения матриц в задачах, знакомых нам из аналитической геометрии н элементарного векторного анализа. $ 9. Линейные преобразования в евклидовам трехмерном пространстве Отнесем наше евклидова трехмерное пространство (Ел) к системе координат с базисными векторами а<о, ап>, ао>, линейно независимыми, но не обязательно ортогональныыи.
та прямое преобразование от переменных х; к переменным х," примет вид х," = Ьна х, ((, (, й = 1, ..., и); 88 ЛИНЕИНЫЕ ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА, ЛААТРИЦЫ !Гл. ! В таком случае произвольный вектор х можно будет представить в форме х=х;аш (1=1,2,3), (9.1) Если ввести где х, — соответствующие вещественные числа. вещественное линейное преобразование х, '= а,,х, ) а, ( чь О (1, 1 = 1, 2, 3) (9.2) или (9,3) х'= Ах, (9.7) Заметим, что матрица В в преобразовании (9.4) базисных векторов ан1 отличается от матрицы В' в преобразовании (9.7) компонентов вектора х В том отношении, что строки и столбцы в этих матрицах меняются местамп.
Иначе говоря, матрица В' представляет здесь собой транспозицию матрицы В. Запишем (9.7) в виде х = В'ч. (9,8) то мы сможем интерпретировать получающийся вектор х' как деформированный вектор, полученный деформацией пространства, характеризуемой оператором А. Вообще длина вектора х' будет отличаться от длины вектора х, а его ориентация относительно нашей фиксированной системы отсчета будет отличаться от ориентации вектора х. Имеется, очевидно, бесконечное множество координатных систем, которые мы можем построить в нашем пространстве, и в каждой такой координатной системе вектор х будет описываться всегда лишь совокупностью трех чисеч. Поставим вопрос: какую форму имеет преобразование, сообщающее пространству ту же самую деформацию, что и та, которая характеризуется матрицей А, когда вектор х отнесен к новой системе координат, в которой базисные векторы ан>, аа1, акв выражаются через базисные векторы а1о, аа1, асч формулами ап> Ь на1лу (9.4) Допустим, что матрица (Ьи) = В невырожденная, компоненты же х в новой системе обозначим через 81, ят, $з, так что х = $,а1'Ц (9.5) Если мы внесем в (9.5) выражения (9.4) для базисных векторов ан1 в зависимости от а1о, то получим х =$1йна"ц (9.6) Сравнение этого уравнения с (9.1) позволяет установить связь между компонентами с, и хь а именно хт — — й, Д,.
ввклидово тгвхмегное пгостяхнство Решение уравнения (9.8) для $ дается выражением (9.9) $ = (В') х. Для упрощения записи обозначим (В')-' через С, так что (9.9) преобразуется в (9.10): $=Сх, (9.10) где С =— (В') (9.11) Формула (9.!О) позволяет иам вычислить компоненты вектора х, если отнести его к новой системе базисных векторов а<'), определяемых формулами (9.4). Тогда компоненты вектора х', отнесенного к системе координат с базис- ными векторами а®, будут представлены формулой (9.12) и вопрос о выражении (в новой координатной системе) деформации пространства, характеризуемой преобразованием (9,3), приводится к отысканию связи между компонентами ~ь йз, ел и $н $', Ц.
Подстановка из (9.3) в (9.12) дает $' = САх, и, так как в силу (9.10) к=С $, мы получаем искомое отношение ч' САС '$. (9.13) Преобразование, определяемое матрицей 5 = САС-', называется подобным преобразованию, отвечающему матрице А, поскольку формулы (9.13) и (9.3) характеризуют одну и ту тсе деформацию пространства, описываемую в двух различных координатных системах. Вспомнив определение (9Л1), мы можем записать (9.13) в виде $' (В') ' АВ'$, (9.!4) из которого с непосредственной очевидностью явствует значение матриц А и В, характеризующих соответственно деформирование пространства и преобразование базисных векторов. Заметим, 40 Л[!НЕЛНЫВ ВВКТОРНЫВ ПРОСТРАНСТВА МАТРИЦЫ [ГЛ. 1 что детерминанты всех подобных преобразований равны.
Важный особый случай преобразования (9.2), соответству[ощий повороту вектора х в новое положение, обсуждается в следующем параграфе. 5 10. Ортогональное преобразование в Е, Предположим, что базисные векторы а['[, а[В[, а[з[ в $9 являются ортогональными единичными векторами, так что числа х; в (9.1) являются физическими компонентами х. При этом квадрат длины вектора х дается формулой )х(з=х[х[ ((=1, 2, 3).
Возникает вопрос, какие ограничения следует наложить иа матрицу А в (9.3), для того чтобы длина х не изменялась преобразованием (9.2). Такое ограничение требует, чтобы х,'х,'. х[х[ (10.1) Подставляя в (10.1) выражение (9.2), находим (а,[х[) (а,зхз) = х,х, ([, [, [г = 1, 2, 3), или (10.2) анагзх[хз = Ь[зх[хз, поскольку Ь[зх[хз = хзхз = х,тн Приравнивая коэффициенты сходных произведений в (10.2), получаем шесть уравнений а' +а' + а'. =1 и и а'„+ а', + а,', = 1, а„а[з + атзазз + амазз = 0 а,зан + аззам + аман = О, ана„+ а„а„+ аз[а[а — — О, или а,[а[А = Ь;з.
(10.3) Эти уравнения представляют собой выводы из гипотезы, согласно которой длина х остается инвариантом. Детерминант матрицы в (!0.3) имеет значение )анаы)=! . (10.4) Поскольку значение детерминанта )а[,) остается неизменным при перестановке строк и столбцов, то нз правила умножения детерминантов (3 7) находим, что )а„а[,1=)ам) !а[[1=! А 1з. л-МЕРНЫЕ ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВА 41п 41 х'= Ах, то х= А 'х', а в силу (10.6) х= А'х' или л хг = а!1х!. (10.7) й 11, Линейные преобразования в л-мерных евклидовых пространствах Наше исследование линейных преобразований в евклидовом 3-мерном пространстве можно распространить непосредственно на и-мерные многообразия Е„, отнесенные к координатной си- стеме, обладающей тем свойством, что длина вектора х опре- деляется из формулы (5.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
