1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Мы сохраняем определение линейной зависимости для совокупности и векторов относительно поля вещественных чисел яь ..., а, и принимаем в качестве нашей аксиомы размерности допущение, согласно которому Г. В и-мерном пространстве существует и-линейно независимых векторов, но любая совокупность п + 1 векторов линейно зависима. Эта аксиома предполагает, что каждый вектор х может быть представлен в виде (5.1) х=аа,+аа,+ ... +а„а„, где аь а,, ..., а„ вЂ” совокупность п линейно независимых векторов. Мы говорим, что все векторы, определяемые формулой (5.1), где а; — произвольные вещественные числа, составляют вещественное линейное векторное пространство и измерений, Чтобы сообщить смысл понятиям длины и ортогональиости векторов, нам следует ввести постулат Д, С каждой парой векторов а и Ь мы можел! ассоциировать число а Ь, назвав его скалярным произведением векторов, подчиняющимся законам ЧП, Л11, 1Х, Х ($ 2).

На этом этапе мы не останавливаемся на природе формулы, использованной для вычисления числа а Ь. Достаточно заметить, что свойства, воплощенные в законах скалярного умножения, приводят к определенному правилу вычисления а Ь, как только мы введем координатную систему для определения координат точек, определяющих векторы. 24 линвиныв вгктогныв пгостглнствл. млтгицы ~гл.

1 О векторе, удовлетворяющем постулатам А — Д, можно сказать, что он определен в п-мерном евклндовом пространстве Е„. Воспользуемся языком евклидовой геометрии и назовем длиной вектора а положительное значение квадратного корня из скалярного произведения вектора а на самого себя. Эта длина запишется формулой ~ а1= у'а а. Если )а) = 1, вектор а называется единичным вектором.

Два вектора а и Ь назывшотся оргогональными, если а Ь = О. Докажем, что любая совокупность т линейно независимых векторов в Е„(т (п) может быть ортогонализована. Это означает, что из всякой заданной нам совокупности т линейно независимых векторов хь хм ..., х мы можем построить совокупность векторов а„ам ..., а, удовлетворяющих условию а; а; = О, если 1~1. Сверх того, при этом возможно выбрать векторы а; так, чтобы они имели единичную длину. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Допустим, что совокупность векторов (х) (1 = 1, ..., т) линейно независима. В таком случае уравнение с,х, + с,хе + ... + с х,„ = О (5.2) будет удовлетворяться лишь при условии с, = с, =... = = с = О. Отсюда следует, что х~ ФО, ибо если бь| эта величина была равна нулю, то числа с,=!, се=с,= ... =Сщ —— О удовлетворяли бы уравнению (5.2) и тогда эти векторы были бы линейно зависимыми, что противоречит нашему предположению. Обозначим через а~ произведение х~ на величину, обратную его длине, т. е. Так как а, а, = 1, то а, — единичный вектор. Совокупность векторов хм хы представляет собой, очевидно, линейно независимую совокуп.

ность. Рассмотрим теперь вектор а', = х, — (х„а,) аи Произведение этого вектора на а1 равно нулю, поскольку х, а,— (х, а)а, а,=О. Отсюда следует, что вектор а' ортогонален по отношению ь вектору а„а а.,'/)а,,'~ = а, является единичным вектором, эй линвиныа ввктогныв пространства в измврянии вэ Совокупность векторов а„а,,хз .,х линейно независима, и мы можем определить вектор а,' формулой а' = х„— (х, а,) а, — (х„а,) а.; этот вектор ортогонален как по отношению к аь так и по отношению к аь Вектор аз==а„'/~а'~ — единичный вектор, а совокупность а„а„а,, хо ..., х„ представляет собой линейно независимую совокупность векторов, Повторное выполнение этой процедуры дает совокупность, состоящую из сп линейно независимых единичных векторов а„а„..., а, (5.3) каждый из которых выражается через хь Совокупность ортогональных единичных векторов (5,3) называется оргонормальной совокупностью.

Если сп = и, совокупность ортонормальных векторов а„ аз, ..., а„называется полной, поскольку каждый вектор х в Е„может быть представлен в виде х п~а1 + оеаз + °, + овал (5.4) По аналогии с трехмерным случаем полная совокупность ортонормальных векторов может быть принята как совокупность базисных векторов, ориентированных по осям и-мерной ортогональной декартовой системы отсчета. Конечные точки этих векторов будут, таким образом, иметь следующие координаты: 1, О, ..., О, О, 1, ..., О, О, О, 1, ..., О, О, О, О, ..., 1.

Константы аьам ..., а в (5.4) называются компонентама вектора х. Умножая (5,4) скалярно соответственно на а„а„... ..., а„и вспоминая, что ') а; а; = бсь получим а, х=а„а, х а„..., а„х=а„. ') Самвол ао — дельта Кронекера — означает ац 1, если Г й ВО О, еелв 26 вшстогныв пгоствАпствА. мАтяипы [гл. 1 Это значит, что вектор х можно представить в форме х=(а! х)а!+(а, х)а,+ ... +(а„. х)а„. (5.5) Если ввести обозначение а! х = хь уравнение (5,5) примет вид х = х!а! + хз!![з + ... + х„а„. Пользуясь дистрибутивным свойством скалярного умноже. ния, получаем х х = х', + хз+ ... + х' (5.6) откуда [х( ~!'х'-[-ху-~- ... Ч-х'. Это формула Пифагора для пространства Е„.

Если у = д!а! + Узаз + .. +У„а, то х. д =х,д, + хзд,+ ... + х„у„. Эта формула имеет ту же самую структуру, что и выражение для скалярного произведения двух векторов в обычном трехмерном пространстве евклидовой геометрии. Заметим, что в прямоугольной декартовой системе координат вектор х определяется однозначно совокупностью н чисел (хь х,, ..., х„), Это свойство принимается некоторыми авторами как определение вектора в Е„.

Для суммы двух векторов х и д с компонентами х: (х„х„..., х„), у' (у! у2 ' ' '1 ус!) имеем формулу х+у! (х!+у!! хз+ум '''> ха+уп)ю а для произведения х на скаляр а ах! (ах„ ахм ..., ах„). Формула х д=х,д,+х,у,+ ... +х„у„ служит для определения метрических свойств векторов в Е„. Переход от ортонормальной совокупности векторов а! к любой иной совокупности базисных векторов совершается, если элементы а-кратной совокупности подвергнуты соответствующему линейному преобразованию. По существу подход к идее векторов путем представления последних а-кратными совокупностями чисел приводит изучение векторов к изучению алге- э е1 комплексные линейныв ВектОРные пРОстРлнстВК 2Т браических свойств линейных преобразований. В этой книге мы предпочитаем акцентировать геометрическое существо, лежащее в основе идеи вектора, а не обезличивать ее в чисто алгебраическом формализме.

$6. Комплексные линейные векторные пространства Соображения $ 5 легко можно распространить на поле комплексных чисел. В комплексном и-мерном линейном пространстве вектор х определяется упорядоченным множеством и комплексных чисел (х„хь ..., х„), элементы х1 которого являются компонентами х. Определим сумму х + у двух векторов х: (хи х„..., х„), У' (У1 У1 ' ' Ул) правилом Х + У: (Х1 + У1, «л + УТ, ..., Хл + Ул), а произведение ах другим правилом ах: (ахн ахы ..., ах„).

Скалярное произведение х у определяют обычно формулой х. у ~ хгу„ 1 1 (6.1) где х1 обозначает комплексное число, сопряженное с ком- ПЛЕКСНЫМ ЧИСЛОМ Х1. Заметим, что у.х= ~ухь 1-1 (6. 2) откуда х.у у х, (6.3) х х ~ х,х, 1 1 получилось вещественным числом. Оно принимает вид (5.6), если числа хг вещественны. поскольку сопряженное к сумме есть сумма сопряженных, а сопряженное к произведению равно произведению сопряженных. Формулой (6.1) обычно пользуются для вычисления скалярного произведения, с тем чтобы произведение 28 лп1!кг!ныв ввкторныв прострлнствл матрицы !гл 1 Задачи 1. Определим вектор х как набор и вещественных илн комплексных чисел (хь хт, , х ) н воспользуемся для определения суммы и произведения формулами х+ у: (х, + уо..., хи+у«), уж (йх,, ..., йх„), н х У ~~~~ хгУГ Показать, что (х+у) в=х ° я+у ° и, (йх) ° у = й (х у), х ° (у+я) х у+ х ° ж х ° (йу) = Ф(х.

у). 2. доказать, что если апг, а<'>... иг > — совокупность и линейно незавнсимыл векторов в комплексном л-мерном векторном пространстве, то единственным вектором х, ортогональным к каждому из вектороа иой будет нулевой вектор. 3 доказать, что совокупность взаимно ортогональных ненулевых векторов всегда линейно независима. 4. Лопустим, что совокупность векторов иго в Е,: (аг! 1, а~~1,..., а~~~), 1, 2, ..., и, линейно зависима, и предположим, что г из них а~", л(т!. ..., а!'!, г «, и, линейно независимы.

Характеристики

Список файлов книги