1625913103-8c92163845497631b4530a4772c24d43 (532423), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Показать, что любой вектор х, ортогональный н этой совокупности г линейно независимых векторов, ортогонзлеи также н к остальным и — г векторам в данной совокупности. $7. Соглашение о суммировании '). Детерминанты Из изложенного в предыдущих параграфах ясно, что линейные формы и ассоциируемые с ними матрицы играют существенную роль в изучении векторов в п-мернъгх пространствах. Поскольку этн формы будут часто встречаться и в остающейся части этой главы, представляется желательным ввести для них сокрагценные компактные обозначения и переписать заново с их помощью некоторые известные результаты вз теории детерминантов.
Теперь мы перейдем к нижеследуюн!ему общепринятому соглашению относительно обозначения суммирования. Если в некотором выражении определенный индекс повторяется дважды, то мы будем подразумевать, что это выражение суммируется по этому индексу для всех допускаемых значений 4 этого индекса. Так, например, линейная форма ~ а,хг содержит г=| ') Соглашение о суммировании, называемое «Правилом Эйнштейна», впервые было применена нм в работе «Основы обшей теории относительности» (Аппа!еп бег Рьун!с, 49 (!9!6)]. (Прим. ред). О векторах х, у говорят, что они ортогоналоны если х у = О. Что касается понятия линейной независимости, то мы сохраняем здесь определение, приведенное в 5 3, полагая, что, коэффициенты ат принадлежат теперь полю комплексяых чисел.
$7! согллшщщв о стммиговлнпи. двтсгм~пипты 29 индекс 1, повторяющийся в ней дважды; мы будем опускать символ суммирования ~~'., и писать а;хь понимая это выражение в развернутом виде как сумму азх, + азхз + азхз + азхв Конечно, диапазон допускаемых значений индекса, в данном случае значений от 1 до 4, должен быть указан. Если символ ! пробегает диапазон значений 1 — 3, а / пробегает диапазон 1 — 4, то выражение апхзз (! = 1, 2, 3), (! = 1, 2, 3„4) представляет три линейных формы: а!Р! + а!2хз + а~зхз + аих4 алх~ + аыхз + аззхз + амх4 аз,х, + аззхз+ аззхз+ амхс (7.1) (7.2) В выражении (7.1) индекс ! является свободным обозначаю- а(им нидексом. Он обозначает одну из форм (7.2), зависящую от избранного значения й Индекс же 1, поскольку он повторяется дважды, является индексом суммирования.
Индекс суммирования можно менять произвольно. Так, например, (7.1) можно написать в виде агкхм если А имеет тот же диапазон значений, что и !. Индекс суммирования аналогичен переменной интегрирования в определенном интеграле, также допускающем произвольные обозначения. В дальнейшем, если по этому поводу не сделано специальной оговорки, мы предполагаем, что индекс суммирования и свободные индексы пробегают значения от 1 до и. Выражение а;х; представляет собой линейную форму а,х, +азх,+ ... +а„х„. а,х, + азхз+ .. + аы!хыи Квадратичная форма ~ ~ а„.х,х! запишется сокращенно в виз 1/ 1 де апхзхь Выражение апхзу, представляет собой билинейную форму, содержащую пз членов, выражение же а;;агя представляет собой пз суъгм типа апаы+а„азз+ ...
+а,„а„, Хотя в последнем члене этого выражения буква и повторяется дважды, он не представляет суммы, так как п здесь имеет фиксированное значение. Для того чтобы избежать неясности или в тех случаях, когда повторение индекса не должно обозначать суммирования, мы можем заключить индекс в скобки.
Например, только что приведенную линейную форму мы можем записать несколько иначе: зо лшшинын ввктогныв пгостглнствх. мхтг!!цы !гл. ! поскольку каждый из свободных индексов !' и А может принять значения от 1 до п. Мы не будем усложнять вырансение введением индексов в скобки, если из контекста ясно (как в вышеприведенном выражении), что эти индексы имеют здесь фиксированные значения.
Если, однако, мы хотим рассмотреть определенный член в этой сумме, то мы должны записать его выражением а,!Ьа!;!м Часто представляется более удобным обозначить различные выражения индексами, помещенными не снизу буквы, а сверху ее. Мы можем, например, записать последовательнссть членов х', х', ..., х", где верхние индексы следует понимать не в качестве показателей степеней, в которые возводится член, а в качестве свободных индексов. Типовым членом такой последовательности является х' (! = 1, 2, ..., п). Линейная форма членов х! с коэффициентами а! передается выражением а!х!.
Билинейная форма с коэффициентами а!! в переменных х, и у! примет вид а!зх;уь Детерминант аи ам...а,„ пэ! пм ° <йы ппэ ° ° ° состоящий из элементов а!ь записывается, как обычно, в ком. пактном виде 1а!!). Если элементы детерминанта обозначены через а', где верхний индекс ! указывает номер строки, а нижний ) — номер столбца, занимаемого этим элементом, то детерминант записывается символом ~а!!~. Таким образом, а! а, ... а„ ! ! ! п~ и ...
п~ ! 2 ''' и )а') = а" а,",... а" Умножение двух детермннантав (а,'.! и 1Ь!!~ производится по известному правилу: 1а! / ° ) Ь' ) = ~ с' !, где с',=а!Ь'. Если мы имеем дело с детерминантами )а! ) и 1Ь!;!, то элемент сгь занима!ощнй место в !-й строке н в )чк! столбце произведения элементов )а!!~ и !Ь!!~, будет представлен как с„. = агвЬ|!. 4 71 согллщвпиа о сгммиговлпии. двтвгминхнты 31 Обозначим алгебраическое дополнение элемента и,'. в ~ а'! через А/, Если дельту Кронекера представить символом 6!, где 6/=1, если с=/, б/ = О„если (Ф/, В силу (7.4) это приводится к виду аб/х =Ь А(, / ( ь или с ( 4 ах =Ь А(, откуда с с Ь(л' х = —.
а (7.6) Часто алгебраическое дополнение элемента ао в <а(/( обоз- на(ается через А(с, и тогда разложения Лапласа (7.3) и (7.4) принимают вид аи„А' =а, щ/ а/ н/А о = а. /<с> то для разложения детерминанта ~а/(~ на алгебраические дополнения мы получим следующие формулы; а,'Аь/ = абь( (7.3) а/А( = аб/, ( 4 а (7.4) где а=)а! ~. В эти формулы входят знакомые простые разложения 1а!~ Лапласа. Первое из них представляет разложение 1 по элементам с'-й строки; второе — по элементам /'-го столбца детерминанта 1а/( ~ Если элементы детерминанта а обозначить через аи, то алгебраическое дополнение для аи будет АО, Простые разложения Лапласа, отвечающие формулам (7.3) и (7,4), принимают вид аи//А<и/-— а и а(<ыА(<,1= а.
Здесь мы можем вывести правило Крамера для решения системы л линейных уравнений а'х/=Ьс (с, 1=1, ..., и) (7.5) с и неизвестными х', где 1а'/ФО, следующим образом; умножим обе стороны уравнений (7.5) па А~ и суммируем их по с. Получаем Зй лпнвнныи виктош<ыв простпхнствл. ь<атгиць«гл, < Чтобы свыкнуться с этими обозначениями, читателю следует посоветовать вывести правило Крамера для системы линейных уравнений, сформулированных в виде апх( = Ьь Он сумеет при этом доказать также, что при а(де=6; имеет место ( ( Равенство ) а1~ = 1Д Ь' ~, К теме детермннантов мы вернемся еще в $ 41, где иной способ обозначения позволит нам избегнуть указаний на номера строк и столбцов детерминанта и записывать их элементами без ссылок на алгебраические дополнения.
Задачи <. Выписать иижеследуюшие выражекии в полной разве~иутой форме: (а] 6~(а(. (6) 6((х х(. (в) а((Ь(ь 6(ь. (с) п((ах . (д) — '((х(. (е) 6(. дх (ж) а = — Ь!. (з) а х у< (. (и) у — —.. (к) а< х (. (л) 6( 6( . ( а ду ду <( дуз '( <" ( '( дх( дху Символы 6(, 6(( и 6(( — все обозиачают дельты Кроиекера. й. Доказать, что (7.6) представляет собой решеике (7.5). $ 8.
Линейные преобразования и матрицы Совокупность и соотношений, имеющих вид х',=а,х ((,) 1, ..., п), (8.1) где аи — постоянные величины, называется линейным однородно(м преобразованием множества переменных х( в множество хп Будем предполагать, что преобразование (8.1) не особенное, так что совокупность и линейных уравнений (8.1) может быть решена для х( в функциях от х',. Это предполагает, что детерминант <а((~ коэффициентов при х, отличен от нуля. Решение (8.1) для значений х дает Ау( х;= — х', (8.2) где А(( — алгебраическое дополнение элемента ан в )а(;) — = а.
Совокупность уравнений (8.!) может быть интерпретирована двумя существенно различными способами. а) Величины х( можно рассматривать как компоненты вектора х: (хь хз, ..., х„), числа же х,'— как компоненты другого вектора х'. (хо х'„..., х„'), где как х, так и х' отнесены к координатной системе с системой базисных векторов а,; уравнения (8.1) при этом преобразуют вектор х в другой вектор 'х'.
б) Две совокупности чисел (хь хз,, х„) и (х'„хз', ..., х„') могут рассматриваться как компоненты одиого-единственного ЛИНЕИПЪ|Е ПРЕОБРАЗОВАНР!Я И МАТРИЦЫ и 81 вектора х, если х отнесен к двум различным системам декартавых координат, определяемых базисными векторами ап а, ..., а„и аи а,', ..., а„'; в этом случае уравнения (8,1) дают преобразование координатных осей. Прежде чем переходить к специальному обсуждению этих двух интерпретаций совокупности уравнений (8А), мы должны остановиться иа операциях с матрицами. Размещенная в прямоугольной таблице система ти чисел в т строках и п столбцах называется |п Х и-матрицей. Заключим матрицы, составленные из элементов ац (илн а,'.), в квадратные скобки а, а ... а„ 1 1 а' а' ... а' 1 2 ''' о ап а„...
а|в 21 Ю '' 2 Г (ац) —= или (а,|) = а'" а,'" ... а" 1 2 ''' о аьп а,... а„ и обозначим их сокращенно символом А. Мы будем говорить, что матрица А = (ац) равна матрице В = (Ьц), в том и только в том случае, если ац = Ьц для каждого 1 и 1. Иначе говоря, если А = В, то элемеитй в соответствующих строках н столбцах матриц должны быть одинаковыми, Под суммой А + В двух матриц А (ац) и В = (Ь;,) одного типа, т. е. содержащих одинаковое число строк и столбцов, мы разумеем матрицу А + В = (ац + Ьц). Таким образом, произведением АВ является т Х р-матрица: мы можем умножить две матрицы лишь в том случае, если число столбцов в первом множителе равно числу строк во втором.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
