1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 54
Текст из файла (страница 54)
п. понятиях, которые могут быть введены совершенно так же,как в обычном анализе, мы сразу дадим определение производной отпеременного тензора П (t) по скалярному аргументу t.Производной т ензора П по скалярному аргументу t назы вается предел отношения изменения тензора к приращениюнезависимой переменной, когда это последнее стремится к нулю:4"dtiim п « 4 - л о - п (<)Af-^obtКонечно, мы всегда будем предполагать, что те производные, с ко*торыми нам надо будет иметь дело, существуют и непрерывны.ДИФЁРЕНЦЙРОВАНЙЕ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ349Ясно, что если тензор П задан в форме (1 ), то, в силу правил вычитания тензоров и деления на скалярный множитель, мы легко получимследующее представление производной от тензора (точка обозначает длякраткости диференцирование по /):f Р и (t) Р п (0 А з (*) )= |Рп(0Ръг ( 0 РпIРп( 0 Psa ( 0 Рзз ( 0 1№(О |Таким образом составляющие производной от тензора по скалярномуаргументу равны производным от соответствующих составляющих этоготензора.Если же тензор П представлен в форме (2 ) или (3), то в результате диференцирования его соответственно получим~= 11р1(0 + 1аРг(0-ИзР8(*)»(6)4i ( 0 r i ( 0 + 4i ( 0 r i ( 0 + q2 СО Г2 ( 0 + Яз ( 0 г, ( 0 +4 " Яз (О г* (О -Ь Яз ( 0 гз (О*(?)Доказательство этих формул, основанное на элементарных правилахдействий с диадами, не представляет ни малейших затруднений.Легко далее видеть, что все основные свойства производных сохраняются и для производных от тензоров.Мы выпишем в качестве примера несколько формул.
Так напримерясно, чтоа?(п14 -гт2)_й?П1 . с?паdtd t ' d t ’d (отП) dm „ ,d\I- щ - = Ц п + ,п 1 й 'rn — скалярная функция от t.Если Г1— тензор, а а — вектор,вывестиd ( П ,а )/ dnУ}(9 )гдезависящиеотt,то,как нетрудноdtАналогичная формула имеет место и для производной от [П, а].Если Пг и Па два переменных тензора, то{/СЩПа)__dW.1 п I „ ЛТа- rg i ---------' Л П ! + П ‘ ‘ Л --пп(и )Выведем еще формулу для диференцирования обратного тензора.Пусть 11(f) есть полный переменный тензор, так что определитель этого360А ф инны ео рто го н а л ьн ы етен зо рытензора £)(П) отличен от нуля и пусть П 1 есть обратный ему тензор,так что'ПП_1 = 1.(12)Продиференцируем предыдущее равенство поt:— П—14-П — — = 0dtdt^так как / — постоянный тензор.
Отсюдап Д РГ1dt ~_ d [Idt_iУмножим теперь обе части этого равенства слева на П- 1 ; замечаяеще, что П—1П = 1, получим требуемую формулу^ в г = - п ~ ' ж 11~'-<13>2.Некоторые задачи приводят к необходимости решать диференциальные уравнения, в которых неизвестными являются тензора. Мырассмотрим простейший пример таких уравнений, а именно уравнение1 S = {JX '(14)где X(t) есть искомый тензор, зависящий от t, aстоянный тензор.Если бы нам было дано обыкновенное уравнениеU—заданный поdxTt = ax'гдеа—постоянное число, то решением его была бы функция<дЗ/)x = eat= l++...(15)Попробуем поэтому проверить, не будет ли сумма ряда тензоров[ /2/27/8/8(16)которую, по аналогии с суммой ряда (15), обозначают просто черезXSt) = emрешением уравнениячто^-U+ ^(17)(14).
Диференцируя ряд (16) по^+. . .=и(/■+^ +■~ +t,мы получим,...) =UXM).ДИФЕРЕНЦИРОВАНИВ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ351откуда видно, что действительно функция (1 7 ) удовлетворяет уравнению (14). При этом рассуждении мы молчаливо предполагали, чторяд (16) сходится и что его можно диференцировать по /; все это безтруда можно доказать, но мы не хотим на этом останавливаться.
Нетрудно теперь найти общее решение уравнения (1 4 ). В самом деле, положим, чтоX(t) = X1(i)Y(f),гдеY(t)новая неизвестная функция. По формуле ( 11) имеемdX _ dXx . „ dYdtdt Y ’j r A l d t'HOследовательно получаемu x .r - u x j+ x ^илиx <£L ~ оВообще из равенства нулю произведения двух тензоров нельзя заключать, что один из них должен равняться нулю; но если один изтензоров полный, то другой непременно должен равняться нулю. Нодля тензора X x{t) = е * существует обратный тензор ё~ т , следовательнопо теореме § 25 Хх является полным тензором, а следовательнооткуда следует, что Y есть постоянный тензор С ,И гак общим решением уравнения (1 4 ) являетсяX(t) — е т СС постоянный тензор, aПолагая в формуле (18)найдем, чтогдеe ut определено рядом (16).t —= 0 и замечая, что в силу*(0 ) = С(18)(1 6 )(1 9 )так что тензор С представляет начальное значение тензора X.3.Дадим несколько примеров для того, чтобы иллюстрировать сказанное в предыдущем пункте.В качестве первого примера установим выражение для тензора поворота.Рассмотрим вращение твердого тела около неподвижной точки, которую мы примем за начало координат О.
Пусть это вращение про-352А финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыи сходи т о к о л о неподвижной в п ростр ан стве оси с у гл овой с к о р о ст ь ю о>,так что век то р угл овой ск ор о сти есть ш. Т о гд а с к о р о с т ь к ако й -л и б оточки М, р ад и ус-век тор которой е сть г , вы рази тся по формулеV = [ю, г]или% =Кг].(2 0 )П роведем в теле три взаим но перпендикулярных о си , к отор ы е в н ачальный момент t — 0 совп ад аю т с неподвижными осями коор ди н ат иимеют орты i lf i 2> i3 , а затем вр ащ аю тся вм есте с телом и к м оменту tимеют ортыр 2(^), р 3(/). Т о гд а тен зор ом п овор ота мы долж н ын азвать т ен зо рП = jPiCOfi + РаШ Ь + Р зШ зВ самом деле если мы рассм отрим в телел и бо точки М , вращ аю щ ейся вм есте с телом ,мент t = 0 , мы имелиГо =т о в моментиметьt,к о гд аортыГ=Ц р е тр ад и у с-век то р г к ако й и если в начальный м о* 1 4 + *2*2 4 " *3*3'i j, ia, i| переш ли в рх, р2, р3, мы долж ны*1 Р 1 +* 2Р2 +так как координаты x ltx 2,x3 точкидолжны о ст ав аться неизменными.Но из ( 2 1 ) очевидно, чтоЯ(2 1 )Ш| =М*З Р З ,отн оси тельн о п одвиж н ы х осейft),РаШ3=(22)р 3( 0и сл ед о вател ьн о , к ак л егко уясн и ть себ е,Пг 0 = г.(2 3 )И так всякийр ад и у с-век тор г 0 после п овор о та,тен зором П , п ереходи т в р ад и у с-век то р г .Запиш ем теперь уравнение ( 2 0 ) в следую щ ем виде- - А гdtгде, согласн о формуламричный тен зорА1осу щ ествляем о го(2 4 )’(3 7 ) и ( 3 8 ) § 2 4 ,А0Wgш2О)ооО),0),й),0об о зн ач аетантисиммет(2 5 )ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ353Уравнение (24) применимо к любому вращающемуся вместе с теломвектору, в частности применимо к векторам р ^ ) , ра(0> Р а (0 :—ж' =Лр*dtiАо—P l’~di = A f‘ ‘Из этих равенств легко вывести следующее—JjT*з = (APi)ii + (A p2)'i|^g(4i Р з^ з^= (А P i* i-f Р21з+Ра*8) = л пили, в силу формулы, аналогичной формуле (6 )§f= АП.(2 6 )Итак тензор поворота П удовлетворяет диференциальному уравнению (26), где А есть постоянный антисимметричный тензор (25).Применяя к решению уравнения (2 6 ) теорию предыду щего пункта, получим, чтоП { t ) = e AtC,(27)где С есть начальное значение тензора поворота, т.
е. C — I (так какв начальный момент вектора S{(£), р3(£) и р3(£) совпадают с векторами l lf i2> ig, а г = г0).Итак для тензора поворота мы получаем выражениеП(£) =Представим егобудем иметьШeAt.в другой форме.J,AtАЧ*(28)Прежде всего по формуле (16)АЧ*АЧ'ЩМЗаметим далее, что, как нетрудно вычислить, инвариантами тензораявляются/1 = о, /а = о>2, /8 = = о,и поэтому, согласно задаче 191Л 3 -f- юЗД = 0.Н. Е . К о 1 1 я . — Векторное исчисление23А354А фкнныво рто го н а л ьн ы етен зо рыВпрочем это последнее равенство нетрудно проверить и непосредственно. Из него легко вывести, чтоЛ8 = — оЩ= — to M ,.
. .Л4И В (оМ 2,1} =Л б == toM ,юМ а,|Л 7 =Поэтому ряд (2 9 ) получает следующую формуТГТ I л( tП - / + Л (т^Ю2^3 .—Юв^ЗГ + -В Г —\ 2!4!^I\ f7Г + - ) +6!**7'Принимая теперь во внимание известные из анализа ряды, ,оit«о8/3 . to5/6*>■>(«*) = - т — з г - ч - д —, л,ыЧ0- .cos (to/) = 1 ------ 21 I(о7/7 .7 Р + -.ыЧ*ъ>4* .4l--------- б Г + * : ’легко преобразовать предыдущее равенство к следующему виду:1В целяхчерез ср, ачерез п , такЕсли мыто получим+ ^to1( 30)to2дальнейших преобразований обозначим угол поворота tatединичный вектор, имеющий направление оси вращениячто to = e>n.согласно правилу пункта 5 § 2 4 будем составлять [/, to],[/, to] = [ Iji, - j- i81a -{- |gJ8, to] = i j i , , to ]-f-i2[l2, to] —{—I= |0— to3tOgI — toa0w ]33toa ]— to, | = Л ;to,0(3 1 )jчтобы вычислить Ла заметим, чтоA r — [to, г](3 2 )и поетомуЛэг — (Л, Ат) = (Л,[to,г]) «= [to,[to, г ]] = to(to,г) — »2г,откуда следует, чтоЛ а = row — го2/ = го2(п п -г- Г).II(3 3 )Принимая все это во внимание, получимППП -f- sinf[I ,п]cos у (/ —nn).(3 4 )Дифферен ци рован и етен зо рапоскал ярн о м у355а ргу м ен туФ ормула ( 3 4 ) и д а е т о к о н ч ател ь н о е вы р аж ен и е тен зо р а п о в о р о та Пч ер ез у го л п о в о р о та 9 и ч ер ез единичный в е к т о р Ц дающ ий направление оси п о в о р о та .К ак ой -ли бо в е к то р г 0 п осл е п о в о р о т а принимает полож ен и е г , оп р еделяю щ ееся ф ормулойг =* ГГг0= п(п, г 0)*=»n(n, r0) +- f - sins in©([/, n], r0) + cos? {r 0— n(n, r0)} »[n, r 0])-j-co s® {r 0— n(n, r0)}9(/,илиr = n(n, r0) - { - sin 9 [n, r0] -J-cos9 {Го —п (п , Го)}.(3 5 )Э ту п о сл еа н ю ю ф орм улу м о ж н о б ы л о быконечно получить и н еп о ср ед ст вен н о и з п росты хгеом етри ческих со об р аж ен и й .В сам ом д ел е,п у сть— о с ь п о в о р о та (ч е р т .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
