1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Ж • ч ж ж, — В« 1ггоряо»1( Фц + Фаа + Ф »)* —ФззФц — Ф ^ а ; — Ф«Ф*; — Ф?зФ»« } • (8®)А финныео рто го н альн ы етен зо рыУкажем, что энергия деформации очень просто выражается, если еевыражать частью через тензор напряжений, частью через тензор деформаций; а именно легко проверить на основании формул (3 6 ) и (3 7 ),чтоА—у( з х« 1 + °аез + V e ) -( 40)Сравнивая это выражение с (1 9 ) § 2 7 , видим, чтоЛ = у ( ф , П),(41 )и так как последнее выражение есть инвариант, то мы можем им воспользоваться для вычисления энергии деформации в любой координат*ной системе; по той же формуле (1 9 ) § 2 7ГЛАВА IV.ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВ.§ 30. Общее определение вектора и тензора.1.В настоящей главе мы займемся изложением основ общей теориитензорного исчисления.
Тензорное исчисление, являясь необходимым орудием исследования в таких дисциплинах, как диференциальная геометрия и теория относительности, крайне полезно и само по себе, таккак оно дает возможность более глубоко проникнуть в сущность техпонятий и связей, с которыми мы ознакомились в предыдущих главахпри изучении гфинных ортогональных векторов и тензоров.Основную идею тензорного исчисления можно охарактеризовать следующим образом.В аналитической геометрии в основание рассуждений всегда кладетсяо п р е д е л е н н а я к о о р д и н а т н а я с и с т е м а . При построении векторного исчисления Стараются ТОйрдинатнуюТистему уничтожить совсем,сопоставляя каждому вектору направленный отрезок в пространстве, чтодает возможность определить различные операции с векторами чистогеометрическим образом; точно также симметричному тензору можносопоставить центральную поверхность второго порядка; однако, приизучении более сложных объектов мы уже теряем возможность простогонаглядного представления их; так например, у нас нет простого наглядного представления для несимметричного афинного ортогонального тензора.
Поэтому мы опять вводим в рассмотрение координатные системы;так например, в § 22 нами было дано определение афинного ортогонального тензора второгоранга как таблицы девяти величии, преобразующихся по определенным формулам преобразования при переходеот одной прямолинейной прямоугольной системы координат Ох}х2хгк другой Oxtx2xa. При этом новые координаты xi ,x'2,x 3 связаны состарыми xlf х2, х3 формулами:Х1а 11Х 1 ~ Ь а 12Х 2 ~ \ ~ Л13Х 3 »( 1)хз ~ 9sixi "f" aaaxt “1” а»зхш•Преобразование координат, выражаемое формулами (1 ), является линейным — такие преобразования называются еще а ф и н н ы м и ; болеетого, так как это преобразование соответствует переходу от однойпрямолинейной прямоугольной системы координат к другой такой жесистеме координат, оно называется о р т о г о н а л ь н ы м п р е о б р а з о *'24*Э372лем ен тыо бщ ейтео риитен зо ро вв а н и е м .
В соответствии с тем, что нами рассматривались до сих портолько афинные ортогональные преобразования координат, мы и называли вектора и тензора афинными ортогональными векторами и тензорами. Однако между только что указанным подходом к определениютензора и методом аналитической геометрии имеется коренная разница,состоящая в том, что при определении тензора ни о д н о й и з к о о рд и н а т н ы х с и с т е м не оказывается ни малейшего предпочтения; со ставляющие тензора определяются сразу для всех систем координат,при чем эти составляющие при переходе от одной системы координатк другой преобразуются по определенным формулам преобразования.Эта же самая идея является основной идеей общего тензорного исчисления с тем лишь весьма существенным дополнением, что в последнемне ограничиваются линейными преобразованиями координат вида (1 ),а рассматривают самые общие преобразования координат видаXjХ4—f , (х,, Ху х^),f2 (*1>*3 = Л (*1 >Ху^ 3),(Ю*2» * з ) -Мы остановимся на этом вопросе несколько подробнее.2.В § 18 мы вйдели, что положение точки в пространстве можнопределять вместо декартовых координат тремя криволинейными координатами q lt q2, q3,.
При этом в случае, если эти криволинейные координаты являются ортогональными, расстояние ds между двумя бесконечноблизкими точками определяется формулойds 2 =qv qv qs) dq\ -f - H?(qv q2, q 3)dq\+^( 2)При различном выборе криволинейных координат qv qit q 3 функцииЯ ! ( g g q2, q3),q2, q3) и H 3 (qlt q2, qs) будут иметь различноезначение, но правая часть формулы (2 ) будет сохранять постоянное значение, так как оно равно квадрату расстояния между двумя бесконечноблизкими точками.В том же § 18 мы видели, что положение точки на поверхности,расположенной в пространстве, можно определять двумя координатамиq x и q^ и что в этом случае расстояние ds между двумя бесконечноблизкими точками, у одной из которых координатами являются q , и q2,а у другой qx- ) - dqx и q 2 -\-dqv определяется формулой^ = g n (qv q2) dq\ -f- 2gu (qv q2) dq 1 dq 2 + g 22 Щ q2) dq * .(3 )Так как положение точки в пространстве определяется тремя координатами q v q2, q3, то говорят, что пространство есть многообразиетрех измерений; поверхность же есть многообразие двух измерений, так какположение точки на ней определяется двумя координатами qx и q2.
Еслимы рассмотрим какую - нибудь линию в пространстве, то она будетмногообразием первого измерения, так как положение точки на заданнойлинии может быть определено одним параметром. Однако во многихслучаях оказывается невозможным ограничиваться рассмотрением много*О бщ еео п ред елен и евекто раи тен зора373образий трех измерений; так например, в теории относительности приходится рассматривать пространство четырех измерений. В связи с этимнеобходимо обобщить введенные нами понятия.В нашем трехмерном пространстве, вводя прямолинейную прямоугольную систему координат Охххгх 3, мы можем определить положениекаждой точки М ее декартовыми координатами х х, х2, хл. Если другаяточка N имеет декартовы координаты у х, у 2, у 3, то расстояние междуэтими двумя точками М и N определяется по теореме Пифагора:MN1= {ух— * i ) 2+( у2 — * 2)2 - f (у 3 — х 8)3.Совершенно аналогично этому можно определить w -мерное Эвклидово пространство Ет, в котором положение каждой точки М задаетсяее декартовыми координатами xv х 2, .
. . , х„, относительно прямолинейной прямоугольной системы координат Оххх 2 . . . хт, причем,если другая точка N имеет декартовы координаты у х, у 2, . . у т, торасстояние между точками М и N определяется по формуле(у 2— * 2)а+М№ = {ух—ххУ +ЕслиN. . .есть точка, бесконечно близкая кМ,+ (y m—x j i.и ее координаты сутьХхА-dxv xq-\-dx2, . . . , xn-\-dxmt то расстояние ds между точкамиМиNдается формулойds2= dx2 -J- dx* -f—. . . —{—dxm.(4)Но положение точки M может быть определено в m -мерном Эвклидовом пространстве Ет и криволинейными координатами qx, q2, . . . ,qm, тогда, аналогично фэрмуле (2 ), для расстояния между двумя бесконечно близкими точками получим формулу видат*• “ 2т2<=1 А=1gi* (л »в которой можно считать, чтоft* • • •9т) dqt dqk,*(5 )g tli—g hг3.Подобно тому как в пространстве трех измерений мы рассматриваем поверхности и линии, так в пространстве т измерений мы можемрассматривать подпространства меньшего числа измерений.
Допустим,что мы рассматриваем подпространство R n, имеющее п измерений. Дляопределения точек этого подпространства можно воспользоваться какими-то криволинейными координатами, которые мы опять обозначимчерез q x, f t , . . . qn, аналогично тому, как в формуле (3 ), параметры,определяющие точку на поверхности, были обозначены через qx и <72.Ясно, что декартовы координаты точек подпространства Rn будут определенными функциями от qx, q2, . .
. , qn:•%i=(ft> ft» • • • qn),|*m = * « (ft.ft. . . . qn).JРасстояние между двумя бесконечно близкими точками подпространства Rn будет определяться по фэрмуле (4 ), в которой вместо х% нужно374Э л ем ен тыо бщ ейтео ри итен зо ро вподставить их выражения через криволинейные координатыq n.
Но очевидно, мы имеемдхдхтdx’ — 5 b d t ‘ + -. 3• = y i-r ^-dqi,м . дЯ<дх2,* ! - 5 г в г * '<=1дх•. *дх^п дхq u q*‘+• ‘ •+ W .d t' ~(<*=» 1, 2, . . . ,,т)дх дх,.2 -я Н г « ы ь *fc=1 ™/=1 ft=i ‘'v iпоэтомуtnWПП-V«=1 <=l k= l«=1V V (V ***«,'*\dqidq„.Введем теперь обозначение2 u T n~ i)nt £ dVi дЯх=& * f a » f t . ■• ■. f t ) .(*, £ =1 ,2 ,, rt),i'Jпричем, очевидно,А » "-Г м ,(8 )тогда окажется, чтоП П2<=i fc=i( f t . № • • •»f t )dqi dqk .(9 )При п = т отсюда, как частный случай, получается формула (5 ),в этом частном случае пространство Rm совпадает с Ет, и только положение точки в этом пространстве определяется не декартовыми координатами x v х2, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
