1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 56
Текст из файла (страница 56)
В самом деле, если помножить (12)векторно на любойвектор а, то после раскрытия двойных произведений видаполучится[P i. Pi]» a ] = P i Pi» a ) —Pi 01» a ) - f Pa (i2, a) - j- p j (i3, a) —илиоткудаI, (P i,a ),I, (p x, a) —i2 (p2, a) — i3 (p8, a) -= 0(П „ a ) — (П, a ) = 0,(П , — П ,а ) = 0и в силу произьольности вектора аП, = П.(13)364ТакимА финныеобразомо рто го н а льн ы етен зо рытензор напряжений П действительно является симмет-0 ‘ИЧНЫМ._____ *4.Рассматривая упругое тело, обозначим через u = MqM вектосмещения некоторой точки М тела, где М0 положение точки до деформации тела, М — положение после деформации. Очевидно, что векторскорости точки М естьи поэтому уравнения ( 11) принимают вид(1 4 )Чтобы получить основные уравнения теории упругости, надо установить связь между П и и, т.
е. между упругими напряжениями и деформациями тела. Эта связь устанавливается на основании обобщения элементарного закона Гука. Нам надо, однако, предварительно несколькоболее осветить вопрос о деформациях.Если мы возьмем две соседних точки упругого тела М0 и Mv положение которых до деформации характеризовалось радиусами-векторамиг и г - j- dx, то после деформации положение этих точек будет характеризоваться радиусами-векторамих' — X-j- и (г)х' -\-dx' = x-\-dx-{-vi(x\-dx) = x-{-dx-\-XLJt-d\xи, следовательно, смещение второй точки после деформации будетu (r + rfr) = u + r f u = u - h ^ - ^ - f r f r jи, применяя формулу (41) § 24,u (г + dx) — u -j- (Ф, dx) - j- у [rot u, dx].Под Ф здесь подразумеваетсят.
е. тензор с компонентамисимметричнаячасть(1 5 )тензораdu~dx ’(1 6Мы будем предполагать деформацию бесконечно малой. Но тогда,Еспоминая из кинематики, что бесконечно малое перемещение здч.кдР асхо ж д ен ие365тен зо ратвердого -тела, вращающегося около неподвижной точкиростью го, естьс угловой скоVdt**[*>dt, г],где вектор a>dt равен по величине углу поворота тела и направлен помгновенной оси вращения, мы заключаем, что последний член в формуле (1 5 ) представляет ту часть перемещения точки Мх относительноточки М0, которая происходит от поворота элемента тела, окружающеготочку Л10, как одного целого на угол — |rot и | вокруг оси, имеющейнаправление rot и.Первый член и формулы (1 5 ) характеризует смещение точки М0)второй (Ф, dr) характеризует деформацию элемента.
Мы можем поэтомувысказать следующий результат.Бесконечно малое перемещение элемента сплошной среды, определяющееся формулой (1 5 ), можно представлять себе состоящим из трехчастей:1) из поступательного перемещения элемента, как одного целого,2 ) из вращательного перемещения элемента, как одного целого,3 ) из деформации элемента.Диагональные элементы симметричного тензора Ф имеют простое зна-------- >чение. А именно, если взять точку Мх так, что вектор dr = М0М1 будет параллелен оси x v так что dx2 — dx$ = О, то после деформациивекторМ0МХ превратитсяdxв вектор1 да' dxdxx dX"dr -f~ dxxди* d xдхх"с проекциямиди * d xЖ ,* 'и следовательно расстояние между точками Л40 ибудет* / ( ,+ №(№Мхпосле деформацииf e ) - 4 '+ & ) 'где мы отбрасываем малые величины второго порядка.
Относительноеудлинение рассматриваемого отрезка после деформации будет очевидноравноi*Ci ( i) §Йdxx" Ь - ф ,,.дхх( ,7 )Итак диагональные элементы тензора Ф определяют о т н о с и т е л ь ные у д л и н е н и я п о с л ^ д е ф о р м а ц и и л и н е й н ы х э л е м е н т о в ,параллельных осям координат.Исходя из этого, легко выяснить значение первого инварианта тензора Ф:*366А финныео рто го н альн ы етен зо рыЕсли взять параллелепипед с ребрами dxv dx2, dx3% параллельнымиосям координат, то после деформации его ребра удлинятся и сделаютсяравными (с точностью до бесконечно малых второго порядка)dx\ (1 -j~ Фп ),dx%(1-f- Фаг),dx 3 (1-(- Ф ^ .Грани параллелепипеда несколько скосятся, но все-таки с точностьюдо бесконечно малых второго порядка его можно опять считать прямоугольным параллелепипедом.
Поэтому объем его будет равенdVx - * dx,dx2dx3 (1 - j- Фи ) (1=*= dx,dx2dxs (1 -J- Ф1Х- f Ф22)“f~ ^ а з )з вФаа -{- Ф88).Сравнивая это выражение с первоначальным объемом параллелепипедаdV — dxxdx2dx 3,мы заключаем, чтоФ 11 4 “ Ф 28 +=------- ----------------( 18)дает о б ъ е м н о е р а с ш и р е н и е э л е м е н т а .К симметричному тензору Ф применимы все результаты §§ 26 и 27.Мы отметим только, что этот тензор во всяком случае имеет три главных взаимно перпендикулярных направления.
Соответствующие главныекначения тензора Ф обозначим через е1э е.2 и е3.5.Тензор упругих напряжений П, как мы видели, тоже являетсясимметричным, его главные значения обозначим через ог, а3 и а3.Вспомним теперь закон Гука в элементарной форме: при растяжениистержня продольными силами, величина которых, рассчитанная на единицу площади поперечного сечения, равна Р, происходит относительноеудлинение стержня, определяющееся по формуле* = £о?)и относительное сжатие поперечных размеров стержня, определяющеесяпо формулеПостоянные Е и т для разных материалов имеют разное значение;называется модулем Юнга, т — коэффициентом Пуассона.Рассматривая однородную изотропную среду, обобщим закон Гукаследующим образом.
Допустим, что главные значения тензора деформации и упругих напряжений связаны элементарным законом Гука.А именно, рассмотрим главное линейное удлинение в1. Это удлинениепроисходит от ot, о2 и о8. При этом напряжение аг даст удлинение,определяющееся по формуле (1 9 ), а о2 и о8 дадут укорочение, определяющееся по формуле (20). Мы примем еще, что все эти деформацииЕ267Р асхо ж д ен ие т е н з о р анезависимы друг от друга и могут быть поэтому складываемы по принципу линейной суперпозиции. В результате получаем_°1_ з _ЕтЕтЕЕтЕтЕтЕтЕ°з°з°зЕВведем первые инварианты тензоров П и Ф°1 + 02 + ° з гж=5» « i - f ea + «j = 6 = div и;(22)тогда формулы (2 1 ) можно закисать в видат -f - 1Е fmk■sтЕ,(£ = 1 , 2 , 3 )(23)но.
отнесенные к главным осям тензора Ф, П и /, имеют видв! О 0(|f Oj 0 0О ва 0 } ,О 0 е, Jпоэтому формулы (23)и П:jП = { 0 с9 О I ,/=I 0 0 аа )приводят к соотношению между тензорами ФЧ -- ( Й - .ЩтЕ____ £ _ /тЕ 'которое и представляет обобщенный закон Гука.Решим уравнение (2 4 ) относительно П. Беря предварительно от обеихчастей равенства (24) первые инварианты, найдем соотношениеft**тЕ•гкуи«(pi тЕ— 2) s1т Е*S-ттЕ■«.Воспользовавшись этим соотношением, мы без трудаотносительно П:тЕ. .тЕ(36)решим (2 4 )368Афинныео рто го н а л ьн ы етВведем вм есто постоянныхиЕтен зо рыкоэффициенты Л ам э, положивтЕ(т -\ - 1) [т — 2)тЕ= 2м.,1 -J—т“r>(27)тогда получим2*хФ - } - Х6/.П=(2 8 )П олучив соотнош ение ( 2 8 ) между тензорами П и Ф, мы сможемтеперь найти компоненты тензора напряжений в лю бой систем е координат:ди2дх ,Рп —одих2^-дх хА 3=2 1А- ^ - + Х6»диPsa —3Р 2 Э = Р з2 = \1 ( дхI I дизщщ, ди3/?18= > 81 = ^ ( дх9дх j\ЦЦ- { - X 8,дихдххdu2дх п,(2 9 )дщдх9 ‘6.
Теперь нам нетрудно буд ет состави ть осн овны е уравнения теорииупругости; из ( 1 4 ) видно, что достаточно для этого вычислить div П .Н о из ( 2 8 ) ясн о, чтоdiv П =и по формуле ( 6)2[х div Ф - j - X div (0/)div ( 6/) = grad 0.(3 0 )Д алее по формуле ( 4 0 ) § 2 42 div Ф =dudr'div —;— I- div ( V u );но из формул ( 2 2 ) и ( 2 4 ) то го ж е параграфа ясно, чтоdu—Idrgrad и , - f i 2gradV u = iju2 - f i 8g Mdududxxdx,мз»duT'3| E ’П оэтом у по формуле ( 3 ) будем иметьdiv-dudrd g ra d ttjdxx,<?gradH 2dx оd grad u3дх я(31)Р а схо ж д ен и етен зораСобирая все полученные результаты, приходим к выводу, чтоdiv П = [a A u - j-~ tO gf^d 0,(33)и поэтому уравнение (1 4 ) может быть записано в видеРd*и=p F —f~ Н-Ди 4 ~ (X - f - р-) g rad d ivи,(3 4 )7.
Разберем еще вопрос об энергии деформации упругого тела.Возьмем в какой-либо точке тела малый объем в форме параллелепи*педа с ребрами а, Ь, с, параллельными главным направлениям тензоровдеформаций и напряжений в рассматриваемой точке. Мы предполагаем,что энергия А деформации, приходящаяся на единицу объема, зависиттолько от элементов тензора деформации, в данном случае от elf е2и е3.
Если мы хотим увеличить удлинение а, на величину 8зх, оставляябез изменения в2 и е3, то действующие на грани параллелепипеда силыпроизведут некоторую работу, и так как перемещение происходит тольков направлении оси х и то работу произведет только сила <зхЬс на перемещении aSз,; величина этой работы будет аЬсо^ЬгЦ Относя эту работук единице объема и производя аналогичное вычисление для удлиненийвз и е3, мы приходим к выводу, что функция А (ех, в2, е3) обладает темсвойством, что8Л = ахоех -|- о28з2 - j - а38з3.(3 5 )Но из уравнений (2 8 ) ясно, что°* =2 ^ * -f- X (si -f-е24 “ ез)!(Л ** 1 , 2 , 3 )(3 6 )подставляя это в предыдущее выражение и интегрируя, мы получим искомое выражение для работы деформации, приходящейся на единицуобъема:А=|>( .
; ++ е’ ) +1(«, + « ,-) -.,)• .(3 7 )Выражение, стоящее справа, должно являться инвариантом тензора Ф;и действительно, сравнивая его с формулами (14) и (1 5 ) § 27, мылегко найдем, чтоА“-Ц г ~Ii (ф)а ~2!А/а(ф)'(38)Из формулы же (38) по тем же формулам ( 14) § 27 мы в состояниивычислить анергию деформации в любой системе координат:А—2ft | ФцФда - f - ФааФюX . Я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
