1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 59

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 59)

Согласно определениюафинного ортогонального вектора, данного в § 2 2 , составляющ ие этоговектора преобразуются при ортогональном преобразовании координат (1 )^ Vi + Vj+ V(1 6 )s .* 8 = = « 3 1 *3 ~1“ tt32Xa ~ Ь *83^8по формуламах =“j" а12Да®18®8 ’®2®21^1 ~~1~ * 2 2 ^ 2 ""Ь" *2 3аВ~« зАгде flj, flj, fltg, составляющ ие~ f" * 8 2 ^ 2*83*8 »Охгх2хй,Ох.х2х'8.вектора по осямсоставляющ ие того ж е вектора по осям(1 7 )*аа\,аЛ,а \—Чтобы обобщ ить это определение, заметим, что коэффициенты ort пре­образования (1 6 ) можно представить следующим образом;(1 8 )и поэтому формулы (1 7 ) можно записать в следующей форме(19)Обобщая эти равенства, можно дать следующее определение:Если для каждой системы координат х 1, х2, .

. . , хп опре­делена совокупность п функций А1, А2, . . . , Ап, так что для си­стемы координат х 1, х 2, .хп мы имеем свою совокупностьфункций А1, А \ . . . , А п, и если при преобразовании координат(10) эти функции преобразуются по следующим формулам пре­образования:(20)то мы будем говорить, что совокупность величин А1, . . . ,{А*определяет контравариантный вектор, и будем называть вели­чины А1 составляющими или компонентами контравариантноговектора А*.Т ак как в дальнейшем постоянно придется употреблять суммы, по­добные тем, которые стоят в правой части равенства ( 2 0 ), то условимсякак это принято в литературе, опускать в этих случаях знак суммы, м ы ­сленно его подразумевая.

Таким образом мы условимся, всякий раз,цал ниц встретится одночлен, в выражении которого фигури­О б щ ее оп ределен и е век то раит ен зо ра379рует два р а за один и тот ж е индекс , производить по этомуиндексу суммирование по всем значениям этого индекса от 1до п (если только не сделано специальной оговорки).При этом условии формула (2 0 ) может быть записана в следующейформе;* - ё ‘-I<■»причем здесь, как и в дальнейшем, мы уже не указываем, что мы имеемв сущности п формул, соответствующих значениям индекса i = 1 , 2 , . . .

, п.Наиболее важным примером контравариантного вектора являетсявектор dx\ составляющими которого являются диференциалы координат.В самом деле, из формул (1 2 ) по правилу составления диференциаласложной функции сразу следует, чтоdx =дх* . , . dx* , „ .- дх*„дх1 . «dxi A-------- d x * - \ - . . . A --------n dx — — - d x ,dx »dx*^ dxdx*—/п_.(22)1так что dx 1 подчиняются формулам преобразования (2 1 ), а следовательноявляются составляющими контравариантного вектора.Может быть полезно отметить, что в силу чрезвычайной общностиприведенного выше определения контравариантного вектора, несколькоускользает физическая сущность этого понятия. Так например, рассма­тривая движение точки в нашем трехмерном Эвклидовом пространстве,возьмем за х 1, х2, дс3 прямолинейные прямоугольные координаты, а за-1 - г - а,Л, _dx1 dx а dx3х , х , х — хотя бы сферические координаты г, 6, ф.

Тогдабудут, очевидно, составляющими по декартовым осям координат вектораскорости; согласно вышесказанному составляющими этого вектора в ков 1 dr db Щ „ординатах г, 0, $ будут — , ——тг. Но эти три величины носятCLL(ии»'существенно различный характер, хотя бы по одному тому, чтоdQdtyлинейная скорость, в то время как —истями.контравариантного вектора—jТаким образомсоставляющиеестьявляются угловыми скоро»dQ,не могут быть проекциями, в обычном смысле этого слова, вектораскорости.Определенные нами выше вектора были названы контравариантнымп;дело в том, что в общей теории тензоров оказывается необходимымразличать два вида векторов, одному из которых присвоено наименова­ние контраеариантных, а другому— ковариантных.Прежде чем давать определение ковариантного вектора, рассмотримодин пример.

В векторном анализе нами был введен вектор gradcp, со*дрставляющими которого с л у ж а т ^ - ,дудо— ■381Э лем енты о бщ ей теории те н зо ро вОпределим теперь для каждойсо во ку п н о сть п величинсистемыд'-р dtpfix'* дх*’координатх1, х*,. . . , х*дуI x nt*’где 9 есть скалярная функция, и посмотрим, как п реобразую тся этивеличины при преобразовании координат ( 1 0 ) . П о правилам диферен­цирования сложных функций мы имеемЕсли мы положимто мы получим, что(2 4 )дхЭ тот вакон преобразования отличен от закона преобразования•го мы и положим в основу определения ковариантного вектора.( 2 1 );Если для каждой системы координат х* определена совокуп­ность п функций Аа и если при преобразовании координат (10)эти функции преобразуются по формулам (24), то величины Ааопределяют ковариантный вектор, составляющими или компо­нентами которого они являются.Изявляетсявыш есказанногоясно,чтопримеромковариантноговекторад?—- .дх ■Является интересным выяснить, почему в обычной теории тензоровнам не пришлось различать ковариантные и контравариантные вектора.Составим формулы преобразования ( 2 4 ) для случая афинных ор того­нальных векторов.

Для этого постараемся из формул ( 1 6 ) выразить с т а ­рые координатыxv хг, х3через новыех., хг, х3.Н о,вспоминая та ­блицу косинусов из п. 5 § 2 2 , мы сразу можем написать, что*1— ®11*1 +*21*2 ~Ь а31*3'*8 = *12*1 + «22*8 + «32*^ •* . =« 1 .* 1 + « 2 3 Х2 + * 8 3 ^вткуда следует, чтодх%(2 5 )Общ ее281о п р ед ел ен и е в е к т о р а и те н зо р аПоэтому формулы (17) могу г быть записаны в формеа'‘ -к2 - 1а‘Ц '(27)не отличающейся от формул (24).Это показывает, что в случае афинных ортогональных векторов формулы преобразования (21) и (24) являются тожественными и следова­тельно понятия контравариантного и ковариантного векторов являютсясовпадающими.Скажем еще несколько слов относительно обозначений.

Мы будемотличать контравариантные векторы от ковариантных тем, что будем ста­вить индексы у контравариантного вектора наверху, а у ковариантноговнизу. Так как dx* есть контравариантный вектор, то принято у коор­динат х1 ставить индексы наверху.8.Переходим к определению тензора второго ранга Принимая вовнимание формулы преобразования компонентов афинного ортогональ­ного тензора [§ 22, формулы (14)] и формулы (18) и (26), и обобщая этиформулы надлежащим образом, мы приходим к следующим определе­ниям:Если для каждой системы координат х определена сово­купность л 2 функций Аа?, которые при преобразовании коорди­нат (10) испытывают преобразованиеГт^ § € -<2в>то эти функции определяют контравариантный тензор вто­рого ранга, составляющими которого они являются.Точно также л2 составляющих Ав? ковариантного тензора вто­рого ранга преобразуются по формуламт*Наконец составляющиеобразуются по формулам~л дх “ дх*"Чу ! ? 'Аа смешанного.( )тензора второго ранга пре­А ^ А ’^ Щ.*“ дх* дх9'<30)Очевидно мы можем дать совершенно аналогичные определения тенворов третьего ранга, четвертого и т.

д. Так например, составляющиетензора А]^, два раза ковариантного и один раз контравариантного,преобразуются по формуламА1 дх * дх* дх1382Э лем ен тыо бщ ейтео ри итен зо ро вПриведем в качестве примера один очень важный смешанный тензорвторого ранга. Составляющ ими это го тен зора в лю бой системе коорди­нат являю тся числаs">_(•1.1(32)0 , еслиЧтобы д о к азать, что 8^ действительно являю тся составляю щ ими см е­ш анного тен зора, необходимо проверить, что выполняю тся формулы (3 0 ) ,т . е. нужно п оказать, чтоВ озврати м ся на минуту к обычаю писать знак суммы.дем иметь*дх1А0= 1Тогда мы бу­'дх*но в этой сумме все члены, которы е отвечаю т значениям аа=даю т в силу ( 3 2 ) , а при-ф.

8,пропа-дх*р мы получаем —= т . И такдх%У8Р д х * .“дх*_ дJдх'1и, следовательно,Пп>дх' дх* . у1дх* дх*.дхк(3 4 )дх*хг есть функция 'от х 1, л:2, . . х п,х , х 2, . . . , х п; следовательно х *рассматриватькак слож ную функцию о т л ; , х2,, х п, з а ­через посредство вспом огательны х функций х 1, х 2, . . . , х п, при­Н о согласн о формулам ( 1 2 ) и ( 1 0 )которы е в своюочередьзави сятотможноданнуючем конечнохк(х1(х1, . . . , х п) , . .

. , хп(х \ ..., хп)) = х к.Диференцируявидно, чтообечасти это гоVдхк дх9равен ства по дс,мы получим оче«дхк/35ччто в связи с ( 3 4 ) и д ок азы вает справедливость формул (3 2 ).Отметим попутно формулу, аналогичную формуле ( 3 5 ) ;- ^ - ^ 4 «=8*дх'дх*4'(3 6 )iТ ензорная383алгебраПолученный тензор обладает тем замечательным свойством, что лю­бая его составляющая имеет то же самое значение во всех системахкоординат. Заметим еще, что с точки зрения общего определения можновектора называть тензорами первого ранга, а скаляры — тензорами нуле*вого ранга.\§ 31. Тензорная алгебра.1.

Перейдем теперь к установлению основных операций с тензорами.Основное, на что нужно обратить внимание, заключается в том, чтоопределения действий с тензорами должны быть таковы, чтобы в резуль­тате производства этих действий вновь получился тензор.Так например, умножая все составляющие какого-либо тензора, на­примерна скаляр X, мы получаем, очевидно, составляющие ХЛ*,нового тензора. В этом состоит операция у м н о ж е н и я т е н з о р ана с к а л я р .Операция с л о ж е н и я д в у х т е н з о р о в одного и того же вида(т.

Характеристики

Список файлов книги