1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 55
Текст из файла (страница 55)
9 3 ) и п у стьГо =ОАОМ.МО п устим и з то чк иперпендикулярна направление о сии п у сть— осн ование э т о го перпендикуляра. П о сл е п о в о р о таМАна у го лОА9 в ек тор г0 зай м етАп ол ож ен и ег = ON,л AMп овер н ется в п л о ск о ст и , п ерп ен д и куляро си , и зай м ет п ол ож ен и е AN, причем/_MAN = 9. О п устим и з то чки N перпендикуляр NB на нап равлен ие AM и п у сть В —осн ован и е э т о го п ерп ендикуляра.М ы имеемто гд а, чтонойr = O N ==O A +A B + BN.ОАВектори м еет н ап равлен ие п и п о величине равен п роекции в е к то р а г 0 на направление о с и , т .
е. р авен ( п , г 0) , п оэто м уОВектор[п, г0]А=р авен п о величине г 0 s i nн ап р авлен и е, ч то в е к то р=«■ AM sin 9; п оэто м уBN,величинаi W = sinН ак о н ец в е к то рп(п, г0).(МОА) —AMк о т о р о горавн а== c o sС клады вая найденны е вы раж ениядокаж ем ф ормулу ( 3 5 ) ./4/Vsin «р =9 ( 11, г0].AM = ОМ— ОА = г0— п(п, г0],АВ =?= c o s 9 Л Ми имеет т о ж еа поэт'у9 { r 0— n(n, г0)}.для в е к т о р о вОА, АВиBN, мы23*и356А ф и н н ы е ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ4. В качестве следующего примера рассмотрим вопрос о сохраняемости векторных линий вектора а .В § 21 свойство сохраняемости векторных линий определилось следующим образом: если мы имеем нестационарное поле вектора а и есличастицы сплошной среды, образующие векторную линию в какой-нибудьопределенный момент t0, в любой момент времени образуют векторнуюлинию, и если это верно для любой векторной линии, то мы говорим, что векторные линии вектора а сохраняются.
В том же параграфебыло выведено необходимое условие сохраняемости векторных линийвектора а:- ,г dadt,.- ( а , V ) V, а= 0,(3 6 )где v — вектор скорости сплошной среды.Докажем теперь достаточность условия (3 6 ) для сохраняемости векторных линий. Для этого нам будет удобно перейти к переменным Лагранжа.
До сих пор мы рассматривали различные поля векторов, т. е.рассматривали значения векторов, отнесенных к ф и к с и р о в а н н ы мточкам пространства. Но в некоторых вопросах целесообразно рассматривать значения векторов, отнесенных к ф и к с и р о в а н н ы м ч а с т и ц а м с п л о ш н о й с р е д ы . В этих случаях каждой частице сплошнойсреды сопоставляются три параметра а, Ь, с, которые называютсялагранжевымип е р е м е н н ы м и . Движение всей среды будетизвестно, если будут известны координаты каждой частицы к любомумоменту t :х — х:(а, Ь, с, t)|У— У (а, Ь, с, t)z — z [а, Ь, с, t).|(3 7 )JЧаще всего за а, Ь, с принимают декартовы координаты частицыв начальный момент времени tQ. В этом случае мы будем иметь, чтоа — х {а, b , с, t0)Ь = у{а, Ь, с, t0)c = z(a, b, с, tQ).(38)Если г есть радиус-вектор в пространстве л;, у, z, а г0 есть радиус- вектор в пространстве а, Ь, с, то формулы (3 7 ) запишутся в векторной форме следующим образом:r = r ( r 0,t).(3 9 )Чтобы определить скорость какой-либо частицы, мы должны, пообщему правилу, составить производную от радиуса-вектора г по времени t (ведь для каждой данной частицы а, Ь, с остаются постоянными); в результате получимdxДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУили в п роекц и яхvаVd x(a, b, с, t)dtdy (а, b, су t)dtdz(a, b, с, t)dt357(40)Мы предположим, что функции (3 7 ), их первые и вторые производные по а , Ь, с, t существуют и непрерывны, и что уравнения (3 7 ) можнорешить относительно a , Ь, с:a = a (x , у, z, t)b = b (x t у, z , 0с = с(х , у, z, t),](4 1 )необходимым условием чего является отличие от нуля определителядх дх дхda db дс(4 2 )дг dz dzда db дс.Вставляя выражения (41) в формулу (4 0 ), мы получим обычное представление вектора скорости v через координаты х, у , z, t, т.
е. получим поле скорости. Примем за а, Щ с декартовы координаты частицыв момент t0. Рассмотрим теперь к моменту t0 бесконечно малый вектор8г0, декартовы составляющие которого равны 8а, ЬЬ, 8с; жидкие частицы, образующие этот элемент, расположатся к моменту t вдольвектора 8г с составляющими(4 3 )Вводя поэтому в рассмотрение тензор (см. § 24)f дх дх дх358мыА финыыео рто го нальны етен зо рыможем записать, чтог г = П г 0.(45)Из самого понятия о сохраняемости векторных линий вектора а следует, что для того, чтобы сохраняемость векторных линий вектора аимела место, необходимо и достаточно, чтобы из коллинеарности векторов a (r0, t0) и 8г0 следовала бы коллинеарность векторов а (Г, t) и8г.
Таким образом если[8г0, а (г0, /0)] = 0,(46)£8г, а (Г,/)] = 0.(47)то должно быть+Но в силу отличия определителя (4 2 ) от нуля, тензор Т являетсяполным. Поэтому условие (4 6 ) совершенно эквивалентно такому условию(ибо коллинеарные векторы после преобразования тензором опять переходят в коллинеарные векторы):[Г8г0, 7а (г0, t0) ] = 0 ,а в силу (4 5 ) такому[8г, 7а (г0, to)] = 0.(48)Итак из (4 8 ) должно следовать (4 7 ), иными словами векторы 7 а (Г0, to)и а (г, t) должны быть коллинеарны.Мы приходим поэтому к следующему выводу: необходимым и достаточным условием сохраняемости векторных линий вектораа является выполнение равенства[а (г, t) 7 a (r0l /0)] = 0.(49)Умножая оба вектора на тензор Т~ Iслева, мы можем переписать равенство (4 9 ) в эквивалентной форме[Т ~ 1 а (г, t), а (г0> /0)] == 0.(50)Смысл равенства (5 0 ) заключается очевидно в том, что векторЬ (г ,/ )= 7'_ 1 а(г, t)сохраняет постоянное направление в пространстве.
Но необходимым и достаточным условием для этого является выполнение равенстваdb= 0,как это следует из § 9, формулы (1 5 ) и из задачи 8 0 .Заметим теперь, что.( 5 1 )ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ТЕНЗОРА ПО СКАЛЯРНОМУ АРГУМЕНТУ359и в силу формулы (13)db= - Гdt'1dT у~dtЖ Т1t m— i~а +1 тdadtПоэтому формула (51) может быть переписана в видеatТ~atили, умножая оба вектора слева наdadT------а «Т,правилу диференцированиямулы (40):__ idTd t'd*xda dtd*ydadtd*zda dtd*xdb dtd2ydb dtd2zdbdtзаметим далее, что тензорвидно значениеj—1 __= 0.1тензораИзdx,dxформулыdvadadvydadv,dadv,dbdvydb'dvtdbдадхdbдхдсдхдадудЬдудсдувозьмем произвольный бесконечно малыйимеем• dr )= d r o>далее в силу (5 3 ) имеем(§•г " 'л) - ( £ ,'* » ) ”имеем, повнимание форdcdvIdcдаdzдЪdzдсdzТdtвектор dx,(4 4 )dv„dcобратный для тензораНетрудно поэтому составить произведениеТ 1(iT==(5 2 )и принимая во&xdc dt&Уdc dtd*zdcdtТ~= 0в видеаВыясним значение тензора1аТ,dvdr0(5 3 )имееточе-(5 4 )1В самом делетогда в силу (54)360ноэтоА финныео рто го на льны етен зо рыо зн ач ает, чтоОтсюда следует, чтоd T jdtТеперьнетрудноdvxdxdvydxdvtdxdydr1вычислить,А именно по формуле 28 §чемуdvxdydvvdydvtdydvxdzdvydzdv,dzравняется(5 5 )вектор24 мы имеем(а *аНdT— Гdt” 1а.а- * > »и следовательно§ Г - а = ( а , V)».(5 6 )Условие (52) переписывается теперь в окончательном видеda—- (а, V ) v, аdt0.(5 7 )Так как это условие совершенно эквивалентно условию (4 9 ), то мыможем высказать следующую теорему: необходимым и достаточнымусловием сохраняемости векторных линий вектора а являетсявыполнение равенства (57).Итак мы получили условие сохраняемости векторных линий в двухформах: в форме (57), годной для случая обычных независимых переменных х, у, z, t и в форме (4 9 ), пригодной для случая лагранжевыхпеременных.
Это последнее уравнение, будучи выписано в проекциях наоси координат, имеет очевидно слецующий виддх,+дх ,дхT b ' a ,° ~dcdz .»°где ах, а у, а , имомента временидуду_1 Ш да1 | а » о ^ Г - И « оdzдЬ80dzdc■'ащ ai0, а ,0 — проекции вектора а в дваt и /0,но для одной и той же частицы.дудс(58)различныхР а сх о ж д ен и е361тен зо ра§ 29. Расхождение тензора. Применение к теории упругости.1.Из диференциальных операций мы рассмотрим только вопрос орасхождении тензора, которое мы определим по аналогии с расхождениемвектора. Итак допустим, что мы имеем поле тензоровп (г) =1хр! (г) 4 - i2p2 (г) J igpg (г).Определим в каждой точке поля для каждого направления п векторр„ = (п, П) = рх cos ( i C * ,) -f- ра cos (п 7х 2) - f p3 cos (iC x 3).(1)Рассмотрим теперь интеграл по замкнутой поверхности 5 :Pnd S$ви применим к нему формулу Гаусса:p n<£S = ф { Рх cos (п, хх) + р2 cos (п, х2) 4 - Рз cos (n, х 9) }dpiЯdxt| дра I дРз' дха ' dxsОтсюда вытекает, если взять объемд£]_VФ з.dS =dV.(2 )бесконечно малым и считать^ P j.дху ' дх2 ’ дх3непрерывными, существование| P«dSр->о—у—Vи равенство его вектору, который называетсяз о р а П и обозначается черезрасхождениемтен j> PndSdiv П — lim - — ——T->oVdpi| dpa j <?p8dxt*"дхгdx(3)Проекциями этого вектора являются(4 )(div П)а®^|'дРгзAvлдх| Фаа•v *' j' AdxaА ф и н н ы е ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ362Формула(2)может теперь быть переписана в виде(£ р ndS =a[ div ПdV.(5)vВ качестве примера рассмотрим div (<р/), где / — единичный тензор:(£ <fndSШ—АгГ\)= иdlv /(Т/°--------- - A l +I(< p f3 )-d у( < pыL ) +I -d Щ!_, д<? , .
д<р . . ду= ,' - д ^ - + ,> - д £ + ,‘ Т х Т =Задача 193.е ':ad<p'(в )Доказать формулуdiv (<рП) =<рdiv П -J- (grad <р, П).(7 j2.Выведем основные уравнения равновесия и движения сплошнойсреды.' Мысленно вырежем в последней объем V (черт. 8 5 ) и, пользуясьобозначениями п. 3 § 22, применим к этому объему шесть необходимыхусловий равновесия и движения сплошной среды,— именно:Главный вектор всех сил, приложенных к частицам объема, включаяи силы инерции, должен равняться нулю.Главный момент относительно какой-либо точки всех сил, приложенных к частицам объема, включая и силы инерции, должен равнятьсянулю.Если р обозначает плотность, F — заданную внешнюю силу, приходу----- ускорение, р„ — напряжение на плодящуюся на единицу массы,щадку с нормалью п, то указанные условия приводят к следующим двумуравнениям:/уР( р — :% ) dV + ( £ p „ d S = 0вf р [г,f - ^ 1уВ §22л ч - с & г .р .) <«■=<>•(8 )(9)5мы уже использовали первое уравнение, чтобы показать, чтоР» = P icos (n>* i) + Pacos (n>*a) + Pe cos (п»**)»( 1°)откуда следовало, что упругие напряжения образуют тензор П.
Но тогдана основании формулы (5 ) уравнение (8) можно записать в виде/ { » ( * ‘г т г ) + в ' п } л г“ в<Р асхо ж д ен и еоткуда в силу произвольностимеханики сплошной среды363тен зо раобъемаVследует основное уравнениер ( р “ " ^ г ) + d i v n *x=0-0 1)3. Покажем теперь, что тензор упругих напряжений есть симметричный тензор. Для этого преобразуем в формуле (9 ) поверхностный интеграл в объемный| [г, pn]dS = jj>| [г, pj] cos ( n ^ O + f r , P3] cos (n T *8) ++ [г, p8] cos ( i C * 3) JdS =| d [ r ,p 3] j p i l P l r | j j gdx,- /Idx2‘+drdx,Ш , dp3дхг 1 dx8/ ![-*+ r iLL ^ 3 ’ Ps■“J| ir>dx3» Pijdr. dx2 ,P2 “f~dV =П] -f- Pi, p j + P2>Pal "h Ра» Рз]J dV*Поэтому формула (9) даетJ| Pi» Pi] ~Ь Рг» Рг] “h Рз. Рз] j d V = 0,но в силу равенства (11) первый интеграл пропадает, а второй, в силупроизвольности объема V, даетPi> P j] "Ь Рг» Ра] “Ь Ре» Рв] == О*( 12 )Но легко видеть, что условие (12) есть как раз условие симметричности тензора П.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
