1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 58
Текст из файла (страница 58)
. . , хт, а криволинейными координатами qvq^t • • • I Ят"Итак, если в Эвклидовом m -мерном пространстве рассматривается подпространство п измерений R,,, определенное формулами (6 ), в которыхX j,. . . , хт суть непрерывные вместе со своими первыми частнымипроизводными функции, обладающие тем свойством, что в рассматриваемой области изменения координат q v q2, .
.f t различным системаманачений qv q i t . . . , qn отвечают различные точки пространства Е т,то квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками подпространства Rn определяется формулой (9), как квадратичная форма отдиференциалов координат. Говорят, что формула (9 ) устанавливает метрику подпространства Rn. Полезно сразу же отметить, что в некото*О бщ еео п ред елен и евекто раи тен зо ра375рых случаях метрика двух различных подпространств может оказатьсясовершенно одинаковой; так например, в нашем трехмерном пространнее метрика какой-либо цилиндрической поверхности не отличается отметрики плоскости. Отсюда видно, что метрика подпространства Rn нешолне характеризует это подпространство; оказывается однако, чточетрика характеризует одни из самых глубоких свойств подпро1транств Rn.4.Риман поставил задачу обратно; он исходил из многообразияизмерений, т. е.
совокупности точек, каждая из которых определяется пкоординатами q x, q2, . . . , qn, меняющимися в некоторой области, причем точки, соответствующие различным системам значений q x, q2, . . . , qn,считаются различными. Затем Риман по произволу задавал функцииёл(Я\> Ян • • •» Яп) с тем лишь условием, чтобы квадратичная формав правой части формулы (9) была определенной положительной формой,т. е. принимала лишь положительные значения при любых dq г, dq 2, .
. . , dqn,ие равных нулю зараз. Наконец Риман определял расстояние междудвумя бесконечно близкими точками исходного многообразия, имеющимикоординаты qXt q2, . . . , qn и q x- f - dqv q2-\- dqit . . . , qn-\-dqnформулой (9), в которой glh удовлетворяют условию ( 8 ) 1).Многообразие п измерений, в котором формулой (9) уст ановлена метрика, т. е. задано расстояние м еж ду двумя любымибесконечно-близкими точками, называется пространством Римана и обозначается обыкновенно через Rn.Совершенно естественно возникает вопрос о том, нельзя ли всякоеРиманово пространство Rn рассматривать как подпространство в Эвклидовом /и-мерном пространстве Е т, где т ^ п .
Из предыдущего изложения ясно, что этот вопрос эквивалентен следующему; нельзя ли найтичисло т и такие функции х х(qu . . .,q„), . f i f xm(qit . . . , q„), чтобы,выполнились равенства (7 ), где g lK суть заданные функции от qltq2, . . . , qn, удовлетворяющие условиям (8 ). Но легко подсчитать, что(7) есть система,i —kуравнений(пуравненийп (п — 1)■. .,и — — - — I уравнений при i < k, уравнения приполучаетсяпри.^ ,> k в силуiусловия (8) рассматривать не надо); число же неизвестных функцийравно т.
Можно поэтому ожидать, что уравнения (7 ) можно решитья(п4-1)Щ п(п-\-\) „при т — ——^— - , а в частных случаях и при т < ------ 1-------. Как2*говорят, Риманово пространство п измерений может быть вложенов Эвклидово пространство —измерений,так например, Риманово пространство двух измерений всегда может быть вложено в нашеЭвклидово трехмерное пространство, иными словами, всегда можно- подыскать такую поверхность, для которой ds* представляется наперед заданной определенной положительной квадратичной формой (3 ); точно'/ 1) См.
обзор проф. В. Ф. Ка г а н а , Геометрические идеи Римана и их современное развитие. ГТТИ, 1933. Там же подробная литература.пЭ376л ем ен тыо бщ ейтео риипространство трех3 *4в Эвклидово пространство —~ = 6также Римановотен зо ро визмеренийможетбытьвложеноизмерений и т. д.Иногда, как например в теории относительности, приходится рассматривать и те случаи, когда правая часть формулы (9 ) является неопределенной квадратичной формой, т. е. может принимать как положительные, так иотрицательные значения. В о всяком случае стоящая в правой части формулы (9 ) квадратичная форма будет в дальнейшем играть колоссальнуюроль; поэтому эта форма называется о с н о в н о й или ф у н д а м е н т а л ь н о й формой.Но на первых порах изложения тензорного исчисления квадратичнаяформа (9 ) нам не понадобится.
Точнее говоря, можно дать определениетензора и построить тензорную алгебру, совершенно вне зависимостиот того, определена ли метрика пространства или нет, и только припостроении тензорного анализа метрика начинает себя проявлять.Поэтому в основу наших первоначальных рассуждений мы положимсамое общее многообразие п измерений, координаты точек которогообозначим в соответствии с установившимся обычаем через X х, X 2, .
. . , Х п(вместо q v q2t . . . , q n, так что значки 1, 2 , . . . , п являются непоказателями, а индексами; мы скоро увидим, почему удобнее эти индексыставить наверху, а не внизу).5.Итак рассмотрим м н о г о о б р а з и е п и з м е р е н и й Vn, понимапод ним совокупность всех его точек, под т о ч к о й ж е м н о г о о б р а з и я мы понимаем совокупность значений п независимых переменныхх 1, дс2, , . . , х п, сами же числа Xх, х2, .
. . , х п будем называть к о ординатами точки.Вместо координат X х, х2, . . . , хп можно ввести новые координатых 1, х, . . .,хп,связанныесостарыми(х1, х2, . . . , хп)некоторыми(а = 1, 2,соотношениямия).( 10)В этом случае мы будем говорить, что формулы (1 0 ) определяют преобразование координат. Про функции, стоящие в правой части формул(1 0 ) , мы будем предполагать, что в рассматриваемой области изменениякоординат х , . . . , хп эти функции однозначны, непрерывны и имеютнепрерывные производные всех тех порядков, какие нам в дальнейшемпонадобятся. Вообще, все функции, с которыми мы будем иметь дело,будем считать удовлетворяющими этим условиям.В рассматриваемомже случае мы потребуем, сверх того, чтобы якобиандххдххдх2 ’ ' ' *дх2 дх3дх*Эх"дх1' 7 ? ' 'дх1D (x x,х 9,D(x\ х2.хп)_Хп)дхп|£идхп дх*дх1 ' дх2 '(11)О бщ ееопред кпениевекто раитен зора377был отличным от нуля.
Как известно, в этом случае можно решить уравнения (10) относительно х 1, х г , . . , хп:? = ? ( ^ ^ , . . . , л " )( « = 1 ,2 ,. ...л).(1 2 )Полученное преобразование координат называется обратным по отношению к преобразованию координат (1 0 ).В общей теории тензоров рассматриваются, как было упомянутов п. 1, всевозможные координатные системы, связанные одна с другойформулами преобразования (1 0 ), в то время как при изучении афинныхортогональных тензоров нам достаточно было ограничиться рассмотрением линейных ортогональных преобразований координат (1 ) (аналогичные(1) формулы могут быть написаны и для пространства п измерений).6.Дадим теперь общие определения скаляра, вектора и тензора.Если для каждой системы координат х 1, х 2, . .
. , хп определена функция / ( х 1, хг, . . . , х ), так что для системы координат x l, х 2, . . .,х пмы имеем свою функцию f ( x , x 2, . . . , хп), и если при преобразова»нии координат (10) значения этих функцнй в соответствующих точкахсовпадают, т. е. если/ ( х 1, х2, . . .
, хп) =/(х\* а, . . . ,хп),(1 3 )то говорят, что функция точки / (х1, х9,, хп) есть и н в а р и а н тили с к а л я р . Примером скаляра является какое-либо постоянное число.Другим примером является основная квадратичная форма Риманова пространства Rn:ппrfs3 = 2 S gi*(Х'г * 2’ * • * •х ")dx*dx*>»=1к=1(Н )так как в любой системе координат величина ds2 должна сохранятьодно и то же значение. Наконец, в качестве третьего примера укажем,что если ограничиться афинными ортогональными преобразованиями (1 ),то выражениеI^f = x\ Jr x\ Jr x\будет скаляром, так как по самому определению ортогональныхразований должно иметь место равенство05)преоб* ; 2+ * ; чПоэтому функцию (15) можно назвать афинным ортогональным инвариантом, но эта функция не будет инвариантом в данном нами вышесмысле (13), ибо для случая любых преобразований (1 ') окажется, вообщеговоря, чтоx ; + xi + * ; ± x\ + x\ + x\-378Э лементы общ ей теории тен зо ро в7.Переходим теперь к определению вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
