1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 60

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 60)

е. имеющих одинаковое количество нижних индексов и одинаковоеколичество верхних индексов) естественно определяется следующим об­разом: нужно сложить соответствующ ие составляющие данных тен­зоров, в результате получатся, как не трудно показать, составляющиенового тензора, который и называется суммой двух данных тензоров.Так например,—есть сумма тензоров Л ^иВ 1^ .( 1)Не трудно видеть, что сложение тензо­ров обладает обычными свойствами, как например, коммутативным и ассо­циативным.Рассмотрим контравариантный тензор второго ранга А . Если приизменении порядка индексов его составляющие не изменяют своих зна­чений, т. е. еслиA * — A+9то тензорАназывается с и м м е т р и ч н ы м ;порядка индексовратный, так чтосоставляющиетензораАесли же при изменениименяют свой знак на об­Лр“ = —Л“р,то тензор называется а н т и с и м м е т р и ч н ы м .

Такие же определенияможно дать и в случае ковариантного тензора второго ранга.Так же как в § 2 3 можно доказать, что любой контравариантныйили ковариантный тензор второго ранга можно представить в виде суммысимметричного и антисимметричного тензоров.2. Переходим к определению произведения двух тензоров. Пусть даныдва совершенно произвольных тензора, например Л ,иПервый тензор имеет л а составляющих, второй тензор имеет л *составляющих. Перемножим каждую из л 2 составляющих первого тензора384Э л ем енты о бщ ей т ео ри и тен зо ро вна каждую из /г8 составляющих второго тензора; в результате мы полу­чим пъ составляющихС?.- 4 3 , .(2 )Докажем, что эти п 5 составляющих образуют тензор; в самом делетак как А\ есть тензор, то мы имеем следующие формулы преобра­зования-г *«в дх* дхк— А*—■ дх* д х * ’по той же причинеВп = В'ыд *7 дх8дх11т3 В в в 'В результате перемножения этих равенств мы получим'лк-оп* ы_Шдх[ дх_ дхпдх* дх* дх1 дхт дх'.рп.

^‘или__ „р* а х " дху« r s g j |g|ihn -дх1 дх к д х пдх? ~ д7'я 9то последнее равенство, по определению, выражает, чтоесть тензортри раза ковариантный, два раза контравариантный. Полученный тензори называется произведением двух данных тензоров.В случае афинных ортогональных тензоров, из формул (18) и (1 9 )§ 2 2 следует, что диады a b и Ь а, составляющие которых получаютсяперемножением составляющих двух векторов а и Ь, могут быть рассма­триваемы как произведения векторов а и b в только-что указанномсмысле.3.Рассмотрим теперь так называемую операцию с о к р а щ е н и яи н д е к с о в . Пусть мы имеем какой-либо тензор, в состав котороговходит, по крайней мере, один ковариантный индекс и, по крайней мере,один контравариантный. Для определенности предположим, что речь идето тензоре А\. Этот тензор имеет п составляющих.

Обратим в этомтензоре внимание на один из ковариантных значков, например, (3 и наконтравариантный -у. Составим теперь выражение АК(т. е.примемК = р и произведем затем суммирование по (3 в пределах от р = 1 до(3 = я ). В результате мы получим п чиселВ . = А%.(3 )Докажем, что эти п чисел образуют тензор первого ранга.В самом деле, так как, А^ есть тензор, то формулы преобразованияимеют вид—Iдх* дх р д х 1Тензо рная385алгебраПоложим в этой формуле I = k и просуммируемв пределах от k = 1 до k = n, тогда получимпозначкуkл! дх* дх? дхкТ* _дх* дхк дх* '*Но по формуле (3 6 ) предыдущего параграфадх* дхк __d l? дх1 “т’и, следовательно,дл;дхЗаметим теперь, что по формуле (3 )(5 )с другой стороны, пользуясь для ясности знаком суммы, будем иметьа/»ил««д Vе0 = 1 Р= 1 т = 1Произведем сначала суммирование потак как 8^ = 0, если у Ф р,то ясно, что при суммировании по ^ останется только тот член,который соответствует значению 1 = р и так как при= [3 мы имеем? ! — 1, той й дих \р* и ш■* д.&х”у'к , &2А% = в *.дх'о*1(в )!Но по определению (3)поэтому из (4 ), (5 ) и (6) легко получим, чтоГя'= в- ё -(7>Но (7 ) есть как раз формула преобразования составляющих кова­риантного вектора, следовательно Вл есть ковариантный вектор, что итребовалось доказать.Итак из всякого смешанного тензора можно путем сокращения одногоковариантного индекса и одного контравариантного индекса получитьновый тензор, ранг которого на две единицы ниже ранга исходноготензора.

Этот новый тензор мы будем называть т е н з о р о м , с о к р а ­ще н н ым из д а н н о г о по т а к и м - т о и н д е к с а м .Н. В. К о ч ■ а. — Векторное «очиолмм35Э л е м е н ты386о бщ ейтео ри иТак например, имея тензор четвертогот ен зо ро вранга, мы можем обр азо-1вать из него четыре сокращенных тензора второго ранга, а именноq =D] = A»,- 0 . - А * .Так как в результате получились опять смешанные тензора, то опе­рацию сокращения индексов можно повторить; в результате получим двг jтензора нулевого ранга, т.

е. два инвариантаF=A% ,Iа^А % .Приведем пример на сокращение индексов из теории афинных орто*тональных тензоров. Заметим только предварительно, что в случа<Iафинных ортогональных тензоров нет никакой разницы между контравариантными и ковариантными значками, поэтому в случае афинныз Iортогональных тензоров мы можем сокращать по любым двум индексамРассмотрим теперь афинный ортогональный тензор р к1 в пространстве тре!измерений. Сокращая его по индексам k и /, мы должнь получить инвариант~Ри “Ь ^ за "Ь -Р зз»и действительно, в § 27 мы видели, что эта сумма является одним изинвариантов тензора.4.Комбинируя операцию произведения двух тензоров с операциейсокращения индексов, мы получаем новую весьма важную операцию, котораясодержит в себе, как частный случай, всю теорию скалярного умножениятензора на вектор и тензора на тензор, изложенную нами в § 24 и 25Мы рассмотрим эту операцию на ряде частных примеров.1°.

Возьмем контравариантный вектор Щ и ковариантный В^. Пере­АлВа | а сокращая этот тензор по индек­получим инвариант АаВ , который можно, очевидно, назвать |произведением векторов Аа и 5 » . В случае афинных орто­множая их, мы получим тензорсам а и р ,скалярнымгональных векторов а и b мы получаем, очевидно, операцию скалярногопроизведения этих векторов (a, b ) —-f- афъ -f- aab3 .2°. Возьмем ковариантный тензор ЩЁ и контравариантный вектор 5 Т.А^В1 ; а сокращая этот тензор поиндексам а и к, получим вектор СJ = А^В * , сокращая же предыдущийтензор по индексам | и ?, получим вектор Da = А^В*. В случае афин­Перемножая их, мы получим тензорных ортогональных тензоров,' согласно формулам (4) и (9) § 24, векторрврЛа является скалярным произведением тензорана вектор аа слева,вектор же р^ а - является скалярным произведением тензора р „ навектор аа справа.3°.

Возьмем ковариантный тензор Л а« и контравариантный тензор Z?1*.ПеремножаяР иу,их,получимтензорполучим тензор второго ранга; сокращая его по индексамС„ = Аа^В*ь.Сокращая полученныйтензор еще раз по индексам а и 8, получим инвариант ЛТ ензорнаяалгебра887Обе эти операции мы уже имели в случае афинных ортогональныхтензоров. В самом деле, согласно формулам (5) § 2 5 тензор р к1=s=akTbrl является скалярным произведением тензоров ам и Ьк1. В фор­муле же (1 9 ) § 27 нами было определено бискалярное произведениедвух тензоров ак1 и Ьы \ при новых обозначениях выражение дляэтого произведения следовало бы записать так: аыЬ1к или, что то же, аарЩМы видим таким образом, как развитая в этом параграфе общаятеория тензоров объединяет в одно целое различные понятия теорииафинных ортогональных тензоров.5.Рассмотрим какой-либо тензор, напримерВ соответствие каж­дому ковариантному значку этого тензора приведем произвольный контра­вариантный вектор, в данном случае их в соответствие значку а и Vв соответствие значку [Г; в соответствие же каждому контравариантномузначку этого тензора приведем произвольный ковариантный вектор, в дан­ном случае вектор.

Составим теперь произведение ALui/^W^, по­лучим тензор шестого порядка, сократим теперь его по индексам а и X,(3 и [1, f и v, тогда мы получим инвариант/ = Л ^ и вЛт.(8 )Эта теорема, может быть обращена. Другими словами, справедливаследующая теорема:Если мы для каж дой системы координат х 1, х * , . . . , х п имеемсовокупность ге3 величин Шк, и если при любом выборе трехвекторов Щ Щвыражение (8) является инвариантом, то ве­личины A~L являются составляющими тензора два р а за ковариантного, раз контравариантного. Доказательство весьма просто.Нам нужно проверить, выполняются ли формулы преобразования (3 1 )§ 30.

Но в силу произвольности векторов и*, V , w мы можем взять ихтак, чтобы в новой системе координатXх,5» = aJ,. ..,хпони имели значенияwt = s ;,тогда в новой системе координат значение формы / будет равно/ = 3 * ;-в старой же системе коордикат значения векторов могут быть опреде*лены по формулам (2 1 ) и (24 ) предыдущего параграфа, в которых тольконужно поменять роли новых и старых координат:„дх* -гдх*„гдх*388Э л ем ен тыо бщ ейтео риитен зо ро вследовательно,/AY“р дх*дх? дх1*и так как по условию выражение (8 ) является инвариантом, т. е. / = / , то-tjдх1*дх* дхк дхглт dx**кПолученная формула преобразования доказывает, чтоА\есть тензор.Доказанная теорема высказана нами не в самой общей форме. Но со*вершенно ясно, как нужно формулировать и применять теоремы, анало­гичные только что доказанной. В виду важности этой теоремы, мы присвоим ей особое наименование „теоремы деления тензоров11.Более того, высказанную теорему можно еще обобщить.

Так на­пример, если для каждой системы координат мы имеем совокупность л 3величини если для любого тензора В а? выражение А \ Вконтравариантным вектором, то величиныА^являютсяявляетсясоставляющими.тензора два раза ковариантного, раз контравариантного. Всю совокупi ность теорем такого типа условимся называть обобщенной теоремойделения тензоров.Частным случаем этой последней теоремы является такая: если для лю­бого вектора а р величины рв9а? суть составляющие ковариант­ного вектора, то р с у ть составляющие ковариантного тензора.Для случая афинных ортогональных тензоров эта теорема была доказананами в п.

2, § 24 [формулы (1 4 )]. Мы видели там, что эта теоремаявляется весьма важным орудием для распознавания тензорного характераряда величин. Подобно этому теорема деления тензоров служит в целяхустановления тензорного характера различных величин. В заключениенастоящего пункта докажем еще одну теорему аналогичного содержания.Если для каждой системы координат х мы имеем совокуп­ность п2 величин А~, и если при любом выборе вектора и“ вы­ражение1 = А '/и *(9 )явлмтся инвариантом, то величиныо °>являются составляющими ковариантного тензора.(Для доказательства заменим в выражении ( 9 ) вектор и“ суммой двухпроизвольных векторовvaиwa,т.

Характеристики

Список файлов книги