1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

(X. = 1, 2 , . . . , « )(2 5 )В этих уравнениях Г . представляют собою совокупность п функцийот координат х1, х2, . : . , хп, определенных формулами (2 2 ) и (2 4 ).4. Рассмотрим теперь свойства символов Кристоффеля.*Отметим прежде всего, что с и м в о л ы К р и с т о ф ф е л я не я в л я ­ю т с я т е н з о р а м и . Это видно хотя бы из того, что в случае Эвклидова пространства, если мы возьмем прямолинейные координаты, тогеодезические линии — в данном случае прямые линии — выразятсялинейными уравнениями вида^==(\S-\-bvгдеахиЬх(2 6 )постоянные; поэтому окажетсяd2xxds* =°^и из уравнений (2 3 ) видно, что в этом случае Г „ = 0. Если же взять, ска­жем, сферические координаты, то прямые линии уже не могут быть вы­ражены уравнениями вида (2 6 ) и, следовательно, Г .

не могут все заразобратиться в нуль. Между тем составляющие любого тензора, в силу линей­ности формул преобразования, должны обладать тем свойством, что410Э лем енты о бщ ей тео ри и т ен зо р о вгели они все зараз равны нулю в одно# системе координат, то ониволжны равняться нулю в любой другой системе координат. Так какне удовлетворяют этому условию, то они не являютсятензора.Заметим далее, что на ряду с формулами (2 4 )^=составляющими_-г(27)мы имеем взаимные им формулы«р ”8 IX»(2 ® )доказательство которых т.очгч очевидно:" SkX ^вр =Далее необходимоформуламиSifcX £отметить=£ксвойствоар Щ ^ к,л? *симметрии,выражающеесяг .

___ г•>*9 — *, Э«»ор —(29)Га »Ра»непосредственно вытекающими из (2 2 ) и (2 7 ).Не трудно далее выразить производные от составляющих фундамен­тального тензора через символы Кристоффеля первого рода; а именнолегко простым вычислением проверить справедливость следующих формул:до-^ - = Г й+ Г Я .«.Рт 1 Р,«т"(30)v 1dsдх*Наконец легко выразить через символы Кристоффеля —— , гдеi>g—фундаментальный определитель.В самом деле, диференцируя определитель (3) § 3 2 по ха по пра­вилам диференцирования определителей (сперва необходимо проди*ференцировать первую строку, оставляя остальные неизменными, затемтолько вторую строку и т. д., все полученные определители нужно затемсложить), мы получимдх*£<=1 Я*=1^ дх** ’где GlK— алгебраическое дополнение элемента(5) § 32 величине gg*1.

Итакdg _дх*g №,равное по формулеdgikдх“ 'Применим теперь формулу (3 0 ):dg^ .= ЖИ (Г(, ь +• Г4> ) = о<л,»»'+ 1 ^«=> . = 2 « г ; . .Д и ф ерен ц и а л ьн ы еуравнени ялинийгео д ези ч еск и х41 1Полученную формулу запиш ем следующим образом :'*Г.И<g=_ ~ ^1 =_ —дУ~ * ]gк—а g .а-* Гdx*У g дх'—1= —л2(31)V /5 . Выш е было отмечено, что символы Кристоффеля не являются тен­зорами; интересно в связи с этим выяснить, по каким формулам со в ер ­шается преобразование символов Кристоффеля при переходе от однойсистемы координат к другой.Эти формулы преобразований очень легко получить, если исходитьиз уравнений ( 2 5 ) геодези чески х линий.

В самом деле, геодезическиелинии, по сам ом у их определению — быть кратчайшими среди прочихлиний, соединяющ их д ве достаточн о близкие точки геодезической линиии мало отличающ ихся от этой линии — не м огут зави сеть от системыкоординат. П оэтом у, преобразовы вая уравнения ( 2 5 ) к новой системекоординат х , . . .

, хп, мы должны получитьтолько написанные в новых координатах.Прежде всего, находимdxдхdsдх1 ds(Fxtдх d*x*ds2dx* ds2,те ж е уравнения (2 5 ) ,ноdxdx * d/длМds ’ ds \ dx* J’далее по правилу вычисления производной от сложной функциидххd / дх \ds \ 1 х * )д2х х dx*дх* дхк dsd x * __ дх.* dx*Итакdsдх* dsdxеdx*dsdxk d&rfjc*Ш 11dxd2x* ,ds2dxds2 ' d x %dxK dsd*xxdx* dxdsПодставляя все эти выражения в уравнение ( 2 5 ) , найдемdx сРх"I d2x xdx* dx*x V dx*d~kd x r ds2\dx*dxdx* diM* 4 dsdsС другой стороны , уравнения геодези чески химеют видлиний в новых коорди­натах(fx fds3j,, Гг гЙТ1dx* dxk//сds=оНеds ш ш___412Э л ем енты о бщ ей тео ри и т ен зо ро вумножая их надххдхи сравниваяполученные уравненияс предыду-щими, придем к важной формуледхг ik~ дх*дхк * * д х * д ? 'тдх1дх*из которой, путем умножения на —-г- и принимая еще во внимание, чтодхг дххдхх дхгК>легко получим формулыдх* f o * J - д2* *дхх дх* дхк дх* дхк дхх 'Г* — г х —,кпоказывающие, как преобразуются символы Кристоффеля второго родапри переходе от одних координат к другим.

Конечно при переходе откоординат х к координатамформулы преобразованиягх*хаполучаютсяаналогичныедхх дх* дхкдЬ? дхх~ ik дх' дха дх*дх'дх* дх1 *Мы видим, что символы Кристоффелятому что, вообще говоря,совершеннод2х х■■=гдх дхне являются тензорами,по*отличны от нуля; но в начале этогопараграфа мы видели, что по той же самой причине величина dAt неявляется вектором.В следующем параграфе мы покажем, как можно использовать не*тензорный характер величинс тем, чтобы при их помощи скомпен­сировать не-тензорный характер величин dAt. В результате мы получимвозможность установить имеющее тензорный характер понятие тензор­ной производной вектора или тензора.§ 34. Тензорная производная вектора и тензора.1.Задачей этого параграфа будет установление понятия производнойот вектора и тензора, причем мы должны дать такое определение произ­водной, которое имело бы тензорный характер.

Допустим прежде всего,что мы имеем в Римановом пространстве /?я поле скалярной функции <р,так что <р есть функция отпкоординатх 1, х 2,.хп.Тогдапвели-Т ен зо рн а яп ро и зво дн а явектораитен зо ра413разовании координат эти величины преобразуются по формуламд у __ др дхадх{( 1)~дхадх* *характерным для ковариантных векторов. Этот вектор является, очевиднообобщением хорошо нам известного вектора gradcp обычного векторногоанализа.2.Теперь положим, что мы имеем поле ковариантного вектора Avтак что в каждой точке Риманова пространства нам задан вектор егоковариантными составляющими.

Возьмем две бесконечно близких точкипространства: точку М с координатами х* и точку М' с координатамиx*-\-dx* и попробуем сравнить между собой вектора А{, соответствую­щие этим двум точкам. В обычном векторном анализе мы поступалиочень просто, а именно мы откладывали оба сравниваемых вектора отодной точки. В Римановом пространстве сразу же встречается в этомпункте затруднение.

В самом деле, какой вектор в точке М' мы должнысчитать равным вектору, которого составляющие в точке М равны At?Сказать, что это есть вектор, которого составляющие в точке М' равнытоже А(, мы не можем, потому что тогда для разных систем координатмы получили бы в точке М' разные вектора. В самом деле, по опреде­лению ковариантного вектора, его компоненты меняются при преобразо­вании координат следующим образом:(2)причем, если вектор рассматриваетсяводныхдха— j нужно братьдх'М', то значенияв точкеМ,то и значение произ-в этой точке; если же вектор рассматриваетсяв точкепроизводных, вообще говоря, изменятся.

А от­сюда видно, что'при переносе в точку М' значений величин А, в точке Ммы не получим вектора, ибо формулы (2 ) будут справедливы для точки Ми перестанут быть справедливыми для точки Мг.Указанное затруднение имеет место даже в случае Эвклидова про­странства, если только мы пользуемся криволинейными координатами.Возьмем самый простой случай полярных координат г ,О на Эвклидовойплоскости.

Пусть точка движется по окружности радиуса R с центромв начале координат с постоянной угловой скоростью to. Вектор ско­рости будет иметь в этом случае контравариантные составляющие,dr n dbщ = 0, == а>,которые сохраняют постоянную величину, между тем какмы хорошо знаем, что вектор скорости в этом случае все время изме­няется по своему направлению. Если же взять вектор, сохраняющий по­стоянными как свою величину, так и направление, другими словами, еслисовершать параллельный перенос вектора, то его составляющие в по­414Э лем ен тыо бщ ейтео ри итен зо ро влярных координатах будут изменяться, причем не трудно составить фор­мулы для вычисления этих составляющих в любом положении вектора.В Римановом пространстве дело обстоит гораздо сложнее и притомв силу двух обстоятельств.

Во-первых, в этом случае мы прежде всегоцолжны обобщить самое понятие параллельного переноса вектора, при­чем мы проделаем это обобщение сначала аналитически, при помощиформул, и лишь в следующем параграфе укажем на геометрическоеистолкование понятия параллельного переноса вектора. Во-вторых, в товремя как в Эвклидовом пространстве можно совершать параллельныйперенос вектора из' какой-либо точки пространства в любую другуюточку пространства, оказывается, что в Римановом пространстве можноговорить только о параллельном переносе вектора из точки М в другуюточку N в д о л ь к а к о й - л и б о к р и в о й L, подобно тому, как в слу­чае сил, не имеющих потенциала, работа их на перемещении из точкиМ в точку N должна вычисляться для определенного пути, соединяю­щего эти точки М и N.

Подобно тому, как в этом последнем случае работасилы зависит от пути, так и в случае Риманова пространства при парал­лельном переносе какого-либо вектора из точки М в точку N по раз-гличным путям получатся различные значения вектора в точке N. В связис этим мы ограничимся изучением параллельного переноса из точки Мв соседнюю точку М', подобно тому как в механике рассматриваютэлементарную работу, т. е. работу силы на бесконечно малом переме­щении.3.Рассмотрим ковариантный вектор А, в Римановом пространствеСоставляющие этого вектора получат при переходе из точки М с коор­динатами х в соседнюю точку М' с координатами xi-\-dxi приращенияdAt= —idxk,дххарактеризующиеся л2 величинами —^ .

Однако этивеличинынеобра­зуют, как мы сейчас покажем, тензора.В самом деле величины Л , при преобразовании координат изме­няются по формулам (2). Диференцируя эти равенства по хк, мы по­лучимdAi _ d A n дх9 дх*дхкдх1 дхк дх*причем мы при диференцированиисложную функцию отвеличиныдА{х к черездгх“дх*дхк>Аа по хк рассматривали ее,x l, х2, . . . , хп. Мы видим,посредство— £ не имеют тензорного^^какчтохарактера потому, что в правуюд2х адхдхчасть формулы (3) вошли вторые производные ■- - - _ ■■. вообщеговоря,пличные от нуля. В случае афинных ортогональных тензоровх а явля-Т ен зо рн а яп ро и зво д н аяются линейными функциями от_.х,вектораи415тен зо раз2Х«Овторые производные - —. -—к все об-дхдхращаются в нуль и никаких затруднений при построении производныхот векторов и тензоров не получается.Но в конце предыдущего параграфа (формула 32) мы выразили доста­вляющие нам затруднения вторые производные через символы Кри­стоффеля.дРхХ , дхХъгдх‘дхк длг *дх* дх? ^дх* дхк “гЗаменяя в последнем члене формулы (3) значок суммирования а на >и внося в эти формулы выражение (4), получимдА.дхх __/ дА.

Характеристики

Список файлов книги