1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Проиллюстрируем на простом примере это явление.Возьмем круговой цилиндр радиуса 1 с осью, идущей по оси OZв Эвклидовом пространстве трех измерений. Будем определять положениеточки в пространстве цилиндрическими координатами р, ср, г. Тогдаквадрат элемента длины в пространстве имеет выражениеd s2 =dp2р2<2<р2 - р fife3;для кругового цилиндра радиуса 1 с осью Oz мы имеем р — 1 и дляквадрата элемента длины на поверхности цилиндра мы получаем выражениеd s2 =flfcp2 - { - d z'*.Рассмотрим с другой стороны в том же Эвклидовом пространствеплоскость Оху. Для нее квадрат элемента длины имеет выражениеds* = dx2-f- dy2.Сравнивая это выражение с предыдущим, мы видим, что с точностью до обозначений поверхность кругового цилиндра и плоскостьимеют совершенно одинаковые выражения для квадрата элемента длины,т.
е. представляют собою совершенно одинаковые Римановы пространства Р2. Между тем ясно, что, если мы возьмем вектор, касательныйк поверхности цилиндра и перпендикулярный к оси Oz, и перенесемего в трехмерном пространстве параллельно самому себе, то в некоторых точках цилиндра он будет перпендикулярен к поверхности цилиндра и,следовательно, его проекция на касательную плоскость будет равна нулю.В плоскости же Оху каждый вектор при параллельном переносе егосохраняет свою величину. Таким образом данный выше метод параллельного переноса вектора при помощи Эвклидова пространства Ет,объемлющего данное пространство Рп, не годится для случая переносаиз одной точки в другую, отстоящую от первой на конечном расстоянии.Оказывается, что вообще нельзя даже и говорить о параллельномпереносе вектора в Римановом пространстве Рп из одной точки Мв другую Р.
Можно говорить только о п а р а л л е л ь н о м п е р е н о с ев е к т о р а из т о ч к и М в т о ч к у Я в д о л ь к а к о й - н и б у д ь о п ред е л е н н о й л и н и и L, с о е д и н я ю щ е й э т и т о ч к и , подобно тому,как работу силы на перемещении точки из одного положения в другоеможно вычислять, вообще говоря, только по какому-либо пути, соединяющему эти точки, так как для разных путей эта работа оказывдетсяразличной.Вычисление результата параллельного переноса вектора по пути Lиз точки М в точку Р мы должны производить следующим образом:мы должны путь переноса разбить на малые участки, к каждому из ко*428Элем ен тыо бщ ейтео ри итен зо ро вторых мы можем уже применить формулы (1 6 ); говоря точнее, мы должныпроинтегрировать уравнения (1 6 ) вдоль пути L, исходя из заданныхзначений вектора А* в точке М\ в результате мы получим какие-тозначения составляющих этого вектора в точке Р.
Подчеркнем еще раз,что эти значения, вообще говоря, зависят от выбора пути L, соединяющего точки М п Р.5.Теперь мы можем дать геометрическое истолкование тензорногдиференцирования, связав его с изложенным в предыдущем пунктепонятием параллельного переноса вектора.Рассмотрим в Римановом пространствеконтравариантный вектор Аи пусть точка М с координатами х* и точка М' с координатами х * -dx1две бесконечно-близких точки этого пространства. Значения составляющих вектора А* в точке М' обозначим через Ai-\-dAi, где очевидноdAl = ^ - d x \дхг(1 7 )Поступим теперь для определения производной вектора А так же,как поступали в векторном анализе, а именно, прежде всего совершимпараллельный перенос вектора А1 из точки М в точку М'; в результатемы получим согласно формулам (1 6 ) вектор с составляющимиA* - f Ы* = А*— Г{кAxdxk;образуем теперь разность между значением вектора Л* в точке М.' ивектором А* + ЬА1 в точке М' (последний вектор мы считаем равнымвектору А* в точке Ж ); в результате получим вектор(A1- f dAl) — (Л* -И Л *) = dAl — 8Л* = (дА‘дхГY[hA ^ d xH,(1 8 )который можно назвать г е о м е т р и ч е с к и м п р и р а щ е н и е м в е к т о р а Л 1.Так как величины rf.v* образуют произвольный бесконечно-малыйвектор, то величины^ ' = f ? + '4‘r“(19)являются составляющими смешанного тензора, который очевидно не отличается от ковариантной производной контравариантного вектора.Итак геометрическое значение ковариантной производной контравариантного вектора состоит в том, что через нее непосредственновыражается геометрическое приращение вектора Л 1 при переходе източки М(Х*) в бесконечно-близкую точку М' (х 1 - j- dx1) по формуламdAl —8Л* =4 kA'dx?.(2 0 )Нетрудно теперь дать формулы для параллельного переноса ковариантного вектора Л 4.
В самом деле мы можем рассмотреть поле такоговектора Л 1, для которого в точке М для любого направления окажется<£Л1= 8Л|; но тогда из (2 0 ) ясно, что для такого вектора в точке Му * Л 1== 0»Па раллельн ы йп ерен о с429вектораа следовательно, в силу тензорного характера этого выражения иу *л «= о .т. е. по формулам (6 ) предыдущего параграфаdA j __ л г *а*лЛ___ л- ° -откуда следует, чтоikЛХ*-А,Г\ЛХ* = dAtA j)kd>? = 0;заменяя в этом выражении dAx на 8А1? мы и получим требуемые в ыр а же н ия для и з м е н е н и я к о в а р и а н т н ы хсоставляющихв е к т о р а при е г о п а р а л л е л ь н о м п е р е н о с е8 А ,— Л хГ ^ х * = 0 .6.*(2 1 )Укажем несколько основных свойств параллельного переноса векторов.Скалярное произведение двух векторов А1 и В ‘ не меняетсяпри их параллельном переносе.
В самом деле, мы видели в § 32,что скалярное произведение двух векторов А1 и В * надо определять какAiBi = AlBi — g ikAlBlt= ^ liAiBk. Н о тогда согласно формулам (1 6 )и (2 1 ) мы будем иметь8 (А‘£ 4) =В М 1+ А18 5 * ==-— £ ,А ХBtAx-fAlBxr)kdx* =,+ А % T[hdxJe= О,что и доказывает наше утверждение.Беря в частности, вектор В * равным вектору А1 и замечая, что A ,A * =^ g ^ A * ~ ^ hAiAk определяет квадрат длины вектора Л*, мы приходим к выводу, что длина каждого вектора при его параллельномпереносе остается неизменной. Наконец, вспоминая что по формуле (3 2 ) § 3 2 угол Ь между двумя векторами Л* и В 1 определяетсяформулойА%Иcos®V AlAt V £ * £ , ’не трудно заключить, что и уголмежду двумя векторами при одновременном параллельном переносе этих векторов остается неизменным.Рассмотрим еще, что происходит при параллельном переносе векторавдоль геодезической линии.
Пусть через точку М проходит геодедическая линияL.Ах*Обозначим через & =.вектор, касательный к этойлинии', длина этого вектора равна, очевидно, единице, ибоШtitfc___ dx{ dxk430Элем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро бОсновное уравнение геодезических линий [§ 33 (2 5 )]cf xds2dx* dxk _ik ds ds, _хqмы можем теперь переписать в видеd i Jr T)k? d x ‘ = 0и, сравнивая его с уравнением (1 6 ), примененным к вектору £',8£х-j- Г^'Vdxk= 0,мы можем заключить, ^гго при параллельном переносе вдольгеодезивдольгеодезической линии L из одной точки М в другую точку Рединичный вектор, касающийся линии L в точке М, переходитв единичный вектор, касающийся той ж е самой геодезическойлинии в точке Р.ческой линии 8£х = йКх* Иными словами при параллельном переносе7.В заключение настоящего параграфа сделаем одно общее замечаниПри построении тензорных производных основную роль играли символыКристоффеля Г х3> Можно поэтому было бы исходить, н е в в о д я в р а с с м о т р е н и е о с н о в н у ю ф о р м у ds2 = g ikdx*dxk, прямо из определения тензорных производных формулами (6 ) предыдущего параграфа,понимая в этих формулах под Г х? величины, подчиненные некоторымтребованиям весьма общего характера.
В результате такого построениятеории получаются пространства гораздо более общего типа чем Риманово. Мы ограничимся этим кратким указанием, причем попутно отметим,что Римановым пространством называют обычно такое, в котором задана основная форма ds2, и в котором операция тензорного диференцирования определена так, как мы это проделали выше, т. е. с помощьюформул (6) и (8 ) предыдущего параграфа, в которых Г аЭ суть символыКристоффеля второго рода, определяющиеся через фундаментальныйтензор gik при помощи формул (2 2 ) и (2 4 ) § 3 3 .§ 36. Некоторые применения.1.Установленное нами в предыдущих параграфах понятие тензорнопроизводной является могущественным средством для преобразованиявекторных выражений к любым криволинейным координатам.Дело в том, что данное нами определение тензорной производнойгодится д л я л ю б о й с и с т е м ы к о о р д и н а т , а с другой стороны,имеет т е н з о р н ы й х а р а к т е р .Поэтому, взяв какую-либо векторную операцию и выразив ее черезтензорные производные, мы получаем выражение, имеющее тензорныйхарактер и потому пригодное для вычисления в любой системе координат.
Мы применим эту богатую по своему содержанию идею к целомуряду частных случаев, причем для определенности рассмотрим наиболееважный с рассматриваемой точки зрения случай криволинейных коорНеко то ры е431п ри м ен ен и ядинат в трехмерном Эвклидовом пространстве; этот случай был намис другой точки зрения рассмотрен в § 18.2.Рассмотрим трехмерное Эвклидово пространство и в нем прямолинейные прямоугольные оси координат Оу^у^у^- Введем далее, какв § 18, криволинейные координаты qlt q%, qs, которые мы теперь будемобозначать, как обычно, через Xх, х а, Xs. Тогда у х, у%, уа будут функциями от х 1, х 2, х 8 и обратно:Л = Лх ‘ = х*С*1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
