1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 66
Текст из файла (страница 66)
? , * ? а ? '(4)Возьмем теперь в пространстве Римана контравариантный вектор А1в некоторой точке М. Проведем через эту точку геодезическую линию,в направлении вектора А1, понимая под этим, что в точке Л1 величиныгдеdx1суть бесконечно-малые приращения координат приперемещении вдоль геодезической линии, пропорциональны величинам А\так что«idx*Аds *^dx*Вектор —;— мы назовем е д и н и ч н ы мк геодезическойл и ни и .■■касательнымвекторомДля него мы имеем, согласно (3)d J dx?ds ds■Величину же а мы назовем длиной векторапредыдущего равенства, будем иметь выражение^А4',для нее мы, в сил)(7 )Построим теперь в Эвклидовом m -мерном пространстве в точке Л1вектор а, длина которого равна а, и который имеет направление касательной к вышерассмотренной геодезической линии в точке М.
Проекцииэтого гектора на оси координат будут, очевидно, равны числамй^а ~Ж*где dya суть приращения координаткоординат х1. Следовательно,( а — 1, .1Я)ул, соответствующиеdya— 4 ' Т dx\дх(8 )приращениямdx1П араллельн ы йп ерен о свек то ра423и значитдуа dx 1аа — а — I ----дх * dsили окончательнодУа А\дх1(9)Итак всякий контравариантный вектор А1 в пространстве Риманаможет быть представлен геометрически в пространстве Эвклидав которое вложено пространство Римана, вектором а, имеющим туже самую длину, что и вектор А„ и направленным по касательнойк геодезической линии, проходящей через точку М в направлениивектора А .Весьма важно отметить, что при от > п всякому вектору А соответствует свой вектор а, но обратное не всегда имеет место.
Не длявсякого вектора а найдется соответствующий вектор А*. Это вполнепонятно аналитически, ибо вектор а определяется от числами, в то времякак вектор А задается п числами, и ясно, что систему (9 ) от уравненийс я < о т неизвестными Л 1, . . . , Ап не всегда мс..сно решить относительно этих неизвестных. Это также ясно и геометрически в простейшемслучае п = 2, от = 3, когда мы имеем дело с поверхностью в пространстве. В этом случае очевидно, что те вектора а в пространстве Еа,которые соответствуют векторам А в пространстве Римана /?2, лежатв касательной плоскости к поверхности в точке М. Всякому же вектору а,выходящему из этой плоскости, очевидно, уже не может соответствовать никакой вектор А1,По аналогии мы можем говорить и в общем случае об Эвклидовомподпространстве Тп, касающемся пространства Rn в точке М, понимаяпод Тп геометрическое место всех прямых в пространстве Ет, проходящих через точку М и касающихся в этой точке какой-либо из кривых,целиком принадлежащих /?п.2.Теперь мы дадим, следуя итальянскому ученому Т.
Леви-Чивита,геометрическоэ определение параллельного переноса вектора, причемсначала, для ясности, рассмотрим случай пространства /?а, вложенногов Е9, иными словами рассмотрим тот .случай, когда в трехмерном пространстве рассматривается поверхность S.Возьмем на этой поверхности 5 две бесконечно-близкие точки Ми М' и рассмотрим в точке М контравариантный вектор А . Последнийможет быть представлен в пространстве вектором а, касательным к поверхности 5 в точке М.
Перенесем теперь вектор а параллельно самомусебе в точку М'. Ясно, что, вообще говоря, он не будет лежать в касательной плоскости к поверхности S в точке М' и, следовательно, емуне будет соответствовать никакой контравариантный вектор в пространстве /?а.Основная идея Леви-Чивита заключается в том, что он, перенесявектор а в точку М' параллельно самому себе из точки М,424Э л ем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро впроектирует его затем на касательную плоскость к поверхности S в точке М'. В результате получается вектор а ', лежащий уже в касательной плоскости к поверхности S в точке М',а поэтому можно отыскать такой контравариантный вектор А'* в точке М\ который геометрически представляется в пространстве вектором а'.По определению, результатом параллельного перенесения вектора А1 из точки М в точку М является вектор А'*. Такимобразом вектор А1 в точке М и вектор Л '4 в бесконечно-близкойточке М' Риманова пространства /?2 можно условиться считать равнымивекторами.Совершенно аналогичное определение правила параллельного переносавектора можно дать и для случая любого Риманова пространства Rn.Пусть в точке М задан контравариантный вектор Л 4.
Рассмотрим бесконечно-близкую точку пространN>ства М' и построим в этой точкевектор А'1 следующим образом.Пусть Ет — то /ге-мерпое Эвклидово пространство (т^-п), в которое можно вложить /?п; построим в этом пространствев точке М вектор а с составляющими аа, определяющимися по формулам (9); этотвектор является геометрическимЧ*»пт СИ^-icyi. 31.изображениемвектора А.« , перенесем затем вектор а параллельносамому себе в точку М'. Иными словами рассмотрим тот же самый вектор а,,с теми же составляющими, но только приложенный к точке М'; затемспроектируем этот вектор на касательное Эвклидово подпространство Тп,которое лежит в Еп и касается Rn в точке Мполученный векторобозначим через а ', а его составляющие через а .4По формулам (9) мыможем по этимаа определитьсоответствующие им величинынеобходимо, конечно, принимать в формулах (9) дляду*— дхАпричемзначения этихМ' .Контравариантный вектор с составляющими А1 в точке Ммы будем, считать равным вектору с составляющими Ari в бесконечно-близкой точке М' и будем говорить, что вектор с составляющими А'1 в точке М' получается из вектора А4 в точке Мпутем параллельного переноса в пространстве Rn.3.Перейдем теперь к вычислению составляющих вектора А' чересоставляющие вектора А1 и через составляющие dx4 вектора бесконечномалого перемещения из точки М в точку М'.
В основу вычисления мыфункций в точкеположим следующий, геометрически очевидный для случаяфакт: среди всех векторов a ' =‘■“■"•УM'N',вектор является проекцией вектора a(черт. 94)fкасающихся пространства Rn, тот— M'N,для которого расстояниеПа ра л лельн ы йп ерен о сДГ'ДГ является наименьшим. Но векторсвоими составляющими величины\425вектораNN'а- - а = ( Ъ ) А'‘- Ъимеет в пространствеЕт(10)А'где штрих указывает на то, что значение рассматриваемой величиныберется в точке М' Введем теперь обозначение&Л* = Л '1—А1(11)и заметим, что* .Y* .дх1/дх1.* 9.dAдх1дхтогда, ограничиваясь бесконечно-малыми величинамибудем из (1 0 ) иметь, чтопервого порядка,дул .д*уа .
.а — а = -Ц -Ь А 1А------- r ^ A 'd x ** дх1^ дх1дхки, следовательно,(a' - a)a= l S M' + ^ ? Ha-(,2)Рассматривая в этом равенстве 8Л1 как независимые переменные,определим их таким образом, чтобы сумма (12) была минимумом.Для этого, согласно правилам диференциального исчисления, нужноприравнять нулю производные этой суммы по всем величинам 8Л’( r = 1, . . . , п). В результате получим п равенств1 ( 1 м ,+ ш" ) 1 =0' (,= 1' 2......в)-Итак при параллельном переносе вектора Л его составляющие получают приращения 8Л1, определяющиеся из следующих равенств:ЬА1У-%—дх дхг-fAldx*^ дх дх дх?= 0.(13)Но согласно формулам (4) мы имеем, чтоРV.
S l F l r - *Не трудно далее показать, что„„{ >426Элем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вв самом деле мы имеем, согласно определению символов Кристоффеля[формула (2 2 ) § 33] и в силу формул (1 4 ):г1 ( д&I д8 *2 \ дхкдх*=r' ik^ 1 у [/ дХ, /Iдхтдх1 дхгдхкIдУа ■ дУа &У* \\ дхкдх1_ ( д2У*дх?)дУл ■ дУ* &Уа \1\ дх'дх?2д& Лдхгдх? дхгдх*)Ъи , <ьй д% \) _ у ду*\дх1дхт дхкдх* дхкдхт/IдъУ*^ дхт дх*дх? *В результате формулы (1 3 ) принимают вид^Умножая их наg rX и‘ + г г, Л л ‘^= о.пользуясь тем, чтоg irSrX— S i .r).pЬ1 г, ik —рХ1 ik•получим окончательные выражения для разности значений 8Л* контравариантных составляющих двух одинаковых векторов, приложенныхв двух бесконечно близких точках°-( 16)4.Весьма замечательным является то обстоятельство, что согласнтолько что полученным формулам приращения 8Ах могут быть выраженыисключительно через величины, относящиеся к нашему Риманову пространству /?п.
Геометрически это означает следующее: одно и то жеРиманово пространство может быть вложено в Эвклидово пространстворазными способами и можно было бояться, что данное нами выше определение параллельного переноса вектора может привести к различнымрезультптам, смотря по тому, каким образом свгзано данное Римановопространство Rn с Эвклидовым пространством Ет. Но как видно из (1 6 ),в результате параллельного переноса вектора в бескочечно близкуюточку Риманова пространства получается всегда один и тот же вектор,независимо от того, каким образом было вложено Риманово пространствов Эвклидово. Иными словами: процесс параллельного переноса векторав бесконечно близкую точку есть в н у т р е н н е е с в о й с т в о Римановапространства.В связи с этим интересно отметить, что, вообще говоря, невозможноопределить параллельный перенос вектора из одной точки М Римановапространства/?п в другую точку Я , о т с т о я щ у ю о т п е р в о й н ак о н е ч н о м р а с с т о я н и и , при помощи того жз самого способа, ко*Па раллельн ы йп ерен о свек то ра427торым мы пользовались выше, а именно при помощи вложения простран*ства Рп в Эвклидово пространство Ет.
В самом деле, легко показать, чтов этом случае при различном выборе пространс~в Ет у нас будут получаться в результате описанной выше операции различные векторав точке Р и, следовательно, в этом случае описанная выше операция не даетнам внутреннего свойства Риманова пространства и, слздовательно, не можетбыть взята за определение параллельного переноса вектора из однойточки в другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
