1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 69
Текст из файла (страница 69)
(4 7 )Замечая еще, что физическими составляющими grad 9 являются1 д’э---------Щ найдем из (4 0 ) окончательный вид уравнений гидромеханикиНк дхГвязкой несжимаемой жидкостикоординатахdvdtв любых криволинейных ортогональныхдНкШк dv<it=i Ни дху1e=1HlHk dxJv ^ i dHiа д1 дР IЩ д ,г +НгН2НъИ,Нъдх*b= PFX<+Н%к=1ШшаЧd\gHk\:(?ЛГJ(4 8 )vik определены формулами (46).Наконец уравнение неразрывности (35) в силу формулы (1 6 ) можнозаписать в видегдед(И2Нtvxl)dx1‘д(НъН{Ух,)dx9djH.H^oJ)dx3=Vvш440ЭЛЕМЁНТЫОБЩЕЙ ТЕОРИИ ТЕНЗОРОВВ качестве простейшего примера рассмотрим цилиндрические координаты г, <р, z. В этом случае мы имеемНг— 1» Нч — г, Н, = 1(50)и предыдущие формулы приводят к следующим выражениям для тензора xik:dvr[ ld v m , v.\dv,(51)V""“2Ц г ^ " ^ 7 / ,’ T,,==2,L dz *( 1 dvTr«Pdv9drv\(dv^Г ) * Т*г ^ d z(dv,dvr\т" — P у dr “f“ dz Jd<?1 dv\Г d?/*и к следующим уравнениям гидромеханики:'dv,dvrdv,вdv,Vя \f)n* + *'T ?+ T т£ + ".
- d - - f ) - л + & d?drdz 11 d2vrГд%г' r dv1 dt^vmdv„d®eI U ’+ ^ v + f Шъ1__r«p j __г rщdrd2vK— - 4—a/-2rd®.1 dv?Adw1? \^»|rz+7^=' r Ш2 dt>Щ d<pa/f d ^ +dwt e + ^ + — =|1ШШdr ' r do 1dr ' r dж1 d%_d%wld i2 ] ’dt;* dz, dtФ* }dz2I d/ ?W<p<p | ■ <pz jP l “57~ht,r ^ 7~ b _rл “d'f +ax.zz|d<p ' d-гdz-? 4 /•2 IHrdt/,r2 dvv d‘2vrdy*r* ~dyг>г[ dr2 ' r dr11/dt'..X —xdr„. 1 дт„_TTjd2vr'1 dv,1 d%d2®dr 2rr3 5 ? + c ^ i J ’— ? j ------------ 1 J _dzШrdra2® ,!(52)При преобразовании первых трех из этих уравнений мы пользовались четвертым.8.Дадим теперь преобразование к ортогональным криволинейнымкоординатам уравнений равновесия теории упругости.
Эти уравнения,согласно (32), имеют видpF -}- div П =* 0,(53)Н еко торы е441п ри м ен ен и ягде П есть тензор упругих напряжений, F — сила, действующая на еди*ницу массы. Обозначая ортогональные проекции силы F на оси криволинейных ортогональных координат, иными словами, физические составляющие силы F через Fa«, Fx>, Fx*, а физические составляющие тензора Пна те же оси через xiS и применяя формулы (4 7 ), сразу напишзи уравнения равновесия теории упругостис,1i f( Н,Н2НаИ{д\Щ1ян., j2g|l ян.н.н.д а зр\d\gHk)*7а**т** дг1дх1 \п’(54)Если вектор бесконечно малого смещения частиц упругого тела обозначить через и, а его расхождение через 0 = div и, то, согласно формуле (2 8 ) § 2 9 , будем иметьП = 2Ц.Ф -}- X6I,где Ф есть тензор деформации, длятовых координатах имеем выражение(55)составляющих которого в декарди„1 /д и д и , , \= —— Ф= — ( — - -I------— ) .УМ dyt ’ И »2 \дук ^ ду{ )Ф(56)К )Обозначая физические составляющие этого тензора на оси криволинейныхортогональных координат через е1к, получим для этих составляющих выражения, совершенно аналогичные выражениям (4 6 ) для1 / 1е“ _ ~2Iдиxi(1ди^1~Нк ~ d 7^ ’ Jfi ~ д 7 ~ HtHk\dHf f " дНк'L(57)Для 0 из формулы (1 6 ) получим1= <ilv u = Их— ИгНгНаконец в силуу д\Н*дх'*формул (5 5 ) имеем следующие“■*)соотношзниямеждуХ|А и е | *:Ъ( 59)Уравнения (5 7 ), (5 8 ), (5 9 ) и (5 4 ) и представляют собою уравненияравновесия теории упругости в криволинейных ортогональных координатах.Э лем ен ты442общ ейтео ри итен зо ро вВ частном случае цилиндрических координат эти уравнения принимают следующую форму:|дг1 dy?I д тг2 | xrrг drs>d~rr .
1dz.т?9p F — о,гdr _ . 2 t(60)~drdt1 <?xdzz_ I £ J ------- * ? _ {_ _ !? - L - I f - f p / ^ 0,d r 1 г dfdz 1 rjпричем для составляющих тензора деформации имеем выражения, совершенно аналогичные формулам (51), а именно:dur*rr = ~dF>1 дич_ I l\ dur | ди^ггч~ 2 \r df •" дгиг+ yдиг£гг==~дг г^61)и\ gi du±г ) * ev*~ 2 \dz ‘ г df1 (duz dute*r== 2cte9.Рассмотренные нами обычные векторные операции в трехмернопространстве мы можем по аналогии определить и для любого Риманова пространства.В частности, под градиентом скалярной функции / мы можем понимать вектор с ковариантными составляющими ( 8), под расхождениемвектора можем понимать выражение (12), под оператором Лапласа, примененным к скалярной функции /, выражение (17), под расхождениемтензора второго ранга выражения (29), (30), (31).§ 37.
Тензор Римана-Кристоффеля.1.Наиболее резкое отличие тензорного диференцирования от обыкновенного состоит в том, что при повторном диференцированиирезультат, тензорного диференцирования зависит, вообще говоря,от порядка диференцирования.В самом деле рассмотрим поле какого-нибудь контравариантного,вектора Л“, составим для него вторые ковариантные производныеи Ч ^ гАа и образуем их разность.Мы имеем прежде всегоТен зо рРим ана-К ри с то ф ф ел я443и далееdvAav <v ^=+яд I дА'г ; - V ‘A' - Hi-а? ЬдА*~дх*ХрГ“dx:дА'1■I А Фд*Аадх— + л хг‘дх9.дА _|_дх'дТif.
X_т1_ г®1, /гридх■Г р ----------АХГ Р Г “ 4-А х* дх91 ХрПри перестановке индексов i и х сумма первых пяти членов последнеговыражения остается, очевидно, неизменной; последние же два члена превратятся в\дК/дх*АхI4j - Гpi . и) х ]I .Поэтому легко получаем следующее важное равенство:■L дх%дГ[u j - г« грдх4Iрх \ iг*.гpi Хх.О)Так как это равенство имеет место для произвольного вектора А , и таккак слева стоит тензор третьего ранга, два раза ковариантный и разконтравариантный, то выражение в квадратных скобках в формуле ( 1)является тензором четвертого ранга, три раза ковариантным, раз контравариантным.
Этот тензор называется т е н з о р о м Р и м а н а-К р и с т о ффе л я и обозначается следующим образом:дТ'_____ £*дх'Ид х '^щ и т Г•Гр.Г___! .pl х*I I(2)При этом обозначении равенство (1) перепишется следующим образом:V , V H a-V , У ХЛ ‘ =А % -\*(3)Из него следует, что при ковариантном диференцировании векторапорядок диференцирования можно изменять только в том случае, еслитензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль. Если в основной квадратичной форме пространстваds2= gikdxidx!c(4)коэффициенты gik не зависят от координат, то, как следует из формул(2 2 ) и (24) § 33, все символы Кристоффеля обращаются в нуль.
Нотогда по формулам (2 ) и тензор Римана-Кристоффеля обращается в нуль.Можно показать, что обратно, если тензор Римана-Кристоффеля вовсех точках пространства обращается в нуль, то в этом пространствеможно выбрать такие координаты х 1, Щ . , . ,хп, чтобы основная квадратич-444Э л ем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вная форма приняла вид (4) с постоянными коэффициентами gik. Но ясно,что в этом случае ковариантное диференцирование совпадает с обыкновенным, и поэтому делается понятным, почему в этом случае порядокдиференцирования не влияет на его результат.2.Рассмотрим теперь свойства тензора Римана-Кристоффеля. Отметим прежде всего, что, как явствует из самого определения этого тензора, он зависит только от составляющих фундаментального тензора gttи их первых и вторых производных, входящих через посредство символов Кристоффеля.Из формулы (2) непосредственно следует, что при перестановке первых двух индексов составляющие * тензора Римана-Кристоффеля меняютсвой знак:(5)в частности,( 6)Столь же непосредственно, простым вычислением по формуле (2),можно установить интересное с в о й с т в оциклическойс имм е т р и и о т н о с и т е л ь н о т р е х к о в а р и а н т н ы х з н а ч к о в , выражающееся формулойЯы.
4-+ Rux. —°*(7)Понижая у тензора Римана-Кристоффеля значок v, получим ковариантные составляющие этого тензора(8)из которых можем опять восстановить смешанные составляющие обычнымспособом(9)Дадим аналогичные формулам (2) выражения для ковариантных составляющих тензора Римана-Кристоффеля. Так както из формулы (2 ) следует, после простых сокращений, чтоЩ- |||йи+ | ШЩТ ен зо рВспоминая выражения (22) § 33рода, можем еще написать, чтоо_1 (2 \445Р и м а н а -К р и с т о ф ф е л ядх*дххдля символов Кристоффеля первогодх*дх*дх'дхдх*дх*)J(П)откуда видно, что составляющие тензора Римана-Кристоффеля зависятот вторых производных от составляющих фундаментального тензоралинейным образом.Из формул (1 0 ) и ( 11) можно вывести еще ряд свойств симметриитензора Римана-Кристоффеля, А именно из формулы (1 1 ) видно, чтокак при перестановке первых двух индексов i и х , так и при перестановке последних индексов X и ji, составляющие тензора ( 11) меняютсвой знак:Rixk\>.=а(12)RixpX•(13)Следующим свойством симметрии составляющих RilX^ является ихнеизменность при перестановке первой пары индексов со второй; этосвойство выражается формулой=( 14)и непосредственно проверяется по формуле (11).Наконец, понижая в равенстве (7 ) значок V, мы приходим к свойствуциклической симметрии относительно трех ковариантных значков, выражающемуся формулой"ЬЪ * =°*(1 5^Тензор четвертого ранга RixXv, имеет л 4 составляющих, однако этисоставляющие связаны соотношениями (12), (1 3 ), (1 4 ) и (15).
В результате арифметического подсчета получается, что все л* составляющихл 2(л а__ 1)тензора Римана-Кристоффеля могут быть выражены через ------— — - составляющих. Для пространства двух измерений число независимых составляющих тензора Римана-Кристоффеля сводится к 1, для пространстватрех измерений к 6, для пространства четырех измерений к 20.3 . Для случая контравариантного вектора мы имеем формулуV<V<4 ‘ —I*-(16)Не трудно установить аналогичную формулу для случая ковариантноговектора. В самом деле, понижая в обеих частях предыдущего равенствазначок, а получимv iv a-v<v a =^далее в силу равенства (12)v mv А - V/7 А = -* x.
;446Э лем ентыи наконец, понижая значок уобщ ейАх итеор и итен зор оводновременно повышая уRixdk,получаем окончательную формулуv . v A — v , v A = —<17>При диференцировании скалярной функции f ( x x, . . . , x n) порядок диференцирования никакой роли не играет. В самом деле, мы имеем(18)то же самое выражение получается и для V ^ V ,/ , откуда и следует нашеутверждение.Можно дать формулы, аналогичные (16) и (1 7 ) для случая тензоралюбого порядка. Мы рассмотрим метод получения этих формул на простом примере смешанного тензора второго ранга А\Введем еще в рассмотрение два произвольных вектора и* и оставим инвариантf= A [u \ .j;.соiv 'По только что доказанному мы будем иметьV XV <(А\и*о$ = V , V ,(А1иЧр).Но ясно, что+ « ( V / V / 1 B *v H ! в Ц ИЩvX | ii 1 1 9 |v ,« * +Последние шесть членов при перестановке индексов / и х не меняются; поэтому мы получаем следующее равенство:и-V, СV ,V А — V , v A ) —■*!•»V , V ,»*) -Воспользовавшись теперь формулами (1 6 ) и (1 7 ), найдем•‘V V .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
