1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 65
Текст из файла (страница 65)
\дх* дх9‘э /дх* д ? '___ ;ъ __ ля ____ jifг г __ (I____?а __ АяГ-пА. 11 _________дхкх дхг *к~ \дх9хВ силу формулы (2) имеемА=ХдхгЛи, следовательно, предыдущее равенство принимает виддА{дА,1_—a_pгfдАяI/ дАаая лА. \1дх* ШдхрШ т яШ Й Ж т1Но это равенство показывает, что величинадАШШШ\~АЛд?(б)является к о в а р и а н т н ы м т е н з о р о м в т о р о г ор а н г а . Это гтензор, которым мы будем обозначать символ \7„Ла, и называется к о вариантной п ро из в о дно й к овар иантног о вектора.Определим теперь к о в а р и а н т н у ю п р о и з в о д н у ю к о н т р а в а р и а н т н о г о в е к т о р а А*.
Для этого мы введем в рассмотрениепроизвольный ковариантный вектор Ва и составим выражениеср = А“£ а ;д’АБудем теперь под V p<? понимать ковариантный вектор —^ и потребуем,кроме того, чтобы ковариантное диференцирование подчинялось правилу диференцирования произведенияV p 0 4 ' B a) = ' 5 a V ^ “ +Так как при произвольном вектореВаA Vp5 a.Ва выражение= V ? (А*Ва) -Да V p5 a(7 )Э416лем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вявляется ковариантным вектором, то в силу теоремы деления тензоровп. 5 § 31 можем заключить, что У рЛ “ будет смешанным тензором.
Длявычисления его используем формулу (6)ав^д(АаВ )=^а (дВадАа. \а.- А [ е ? - в'т« У ^ + А'вЛ =Отсюда, в силу произвольности вектораВа,]легко заключим, чтоv H " = ^ + ^ r °11Полученная формула и дает выражение ковариантной производнойконтравариантного вектора.kТем же самым приемом легко определим ковариантную производнуюлюбого тензора.
Возьмем в качестве примера тензор третьего порядка A'J£. Возьмем три произвольных вектора и*, ® , w и составиминвариантф= Л -'А-J«Рuav?wТ.Мы потребуем, как выше, выполнения правила дифференцированияпроизведенияV x ( i 4 i ! « V ® 7) = » V ® Tv Xi4 ^ j + Л ” ! Л+ Л $ ЛтУ , У +ту у +A '£u 'v *4xw, ,(9 )^ЩЙ? IТак как при произвольном выборе векторов и*, vuav \ v xA £ =V x( Л £— Ki-wвыражениеu * v \ )— A £ ' v \ v y —— Л "! « V v x®7является ковариантным вектором, то в силу теоремы деления тензоров§ 3 1 можем заключить, что V Л ’^ будет тензором четвертого ранга,три раза ковариантным, раз контравариантным.
Для вычисления егоиспользуем формулу (9 ), в которую подставим вместоиV XW их вырах^ения, получаемые по формулам (6) и (8). Принимая ещево внимание, чтоI У1--Т“э*“I л-Т «дхх™'1^~ а9дхх ’Тен зо рн а яп ро и зво д н а явектораи417тен зо рапосле несложных алгебраических действий получим, чтодА'*т« V ® ,v A s- = - ^ г Л Л » , —- Л “Х « ^ + Л£ Л—''« Л.Переставляя в правой части этого равенства местами индексы (i и аво втором члене, ja и р в третьем, ц и ^ в четвертом и сокращая послеэтого на uav w ,< что можно сделать в силу произвольности векторовUa,V ,w .получим окончательную формулудА’4»3|9Л^- А Ж + А 'Ж .(Ю )Таким образом при составлении ковариантной производной тензораиз обыкновенной производной нужно вычесть столько дополнительныхчленов, сколько тензор имеет нижних значков, и прибавить столько дополнительных членов, сколько тензор имеет верхних значков.
Каждыйдополнительный член представляет собою произведение рассматриваемоготензора, в котором один из значков заменен переменным значком суммирования р. на символ Кристоффеля второго рода, в котором значокдиференцирования стоит внизу.5.В виду важности понятия тензорной производной мы приведееще один вывод ковариантной производной ковариантного вектора Л 4.Мы знаем, что бесконечно малый вектор dx является контравариантным вектором, а величина ds является инвариантом. Поэтому величиныобразуют контравариантный вектор. Произведение» dx*будет поэтому инвариантом.Проведем через рассматриваемую точку М геодезическую линиюв произвольном направлении и пусть d>£ означают диференциалыкоординат при смещении точки вдоль этой геодезической линии. О бозначая через dnр диференциал функции ср при смещении вдоль геодезиейческой линии, мы можем, очевидно, утверждать, что выражениетожебудет инвариантом, ибо геодезические линии имеют абсолютное значение, независимое от специального выбора координат.
Но</<рdAi dx*dtx*dAi dx1* dx*dsds ds ~^~ * ds'гdxk ds dsH. E. К о ч а н, — Войторвио исчиолечич<£>exxds**27418Элем ен тыобщ ейс другой стороны, на всякойпредыдущего параграфатео ри итен зо ро вгеодезическойлинии по уравнению (25)d2xx___ х dx* dxkds 2 ~ik~ds ~ds*поэтомуdydsШШ/ dA,|\dx, \ dx1 dxkSf l -------------.(и )) ds dsЛевая часть этого равенства есть инвариант, следовательно и праваячасть является инвариантом. Но за dx можно взять произвольный вектор, ибо мы можем брать геодезическую линию, проходящую черезточку М в любом направлении.
А тогда из теоремы п. 5 § 3 1 , формула (1 0 ), вытекает, что величиныЧГх ^ 4 - —2 \дхк(—— ЛХ* ] + П д х *1 / dA, М ЛЫГх \ —хы)у^ ^ ) - АЛ(12)образуют ковариантный тензор второго ранга.С другой стороны, не трудно показать, что величиныЧ дА _дА _Л2 \dxk(1 3 )dXf Iтоже образуют ковариантный тензор второго ранга. В самом деле, меняяв формуле (3 )dAtdxkdA_ dx * dx*dx* dx* dxK 'д*х\° dx'dx*i и k местами, получимd \ _ dAa dx* dx*d2x* _ dA? dx* dxadx* dx* dxk dx'i“ dxidxkdx* dxk dx*индексыd2x*“ dx*dxk ’вычитая эту формулу из предыдущей, найдем^ _ д А ! _ ( д А ,_ д А } \ д ^ д ^дх?дх 'д х '} дх* дхк’а это соотношение выражает как раз тензорный характер выражения (1 3 ).Складывая тензоры (1 2 ) и (1 3 ), мы получим новый тензор( 15>главной частью которого являются величиныdA{—d?и которыйможно на>Т ен з о р н а тпро и зво дн аявек то ра419и ТЕНЗОРАзвать ковариантной производной ковариантного вектора.
Таким образом мы вновь пришли к выражениям (6), но только иным путем.6.Рассмотрим теперь правила действий с ковариантными производными. При этом может быть полезно еще раз напомнить те действия,которыми мы пользовались до сих пор.Прежде всего под V<p, где ср есть скалярная функция, мы условились понимать ковариантный вектор:(16)охДалее мы имеем основное определение ковариантной производной оттензора, которое для случая тензоров третьего ранга выражается формулой (10):дА“1j p I щ н щ i я д| 1 1 Шш■ipНаконец для случая, когда произведение тензора на несколько векторов дает скаляр, мы имели правило диференцирования такого произведения, выражающееся формулами вида (9).Теперь мы установим правило диференцирования произведениятензоров в самом общем виде.
А именно покажем, что диференци-рование произведения тензоров совершается по тем же правилам,что и в обыкновенном анализе.Как всегда, доказательство будем проводить на тензорах частноговида.Покажем, например, что ковариантная производная от произведедия AJU'J' равна(18)Применяем формулу (17)(дА„\(дВ?= ^ v H . + - 4 . v ,b ; : .\щ f )IАналогичное доказательство применяется и в более сложных случаях.
Докажем далее, что производная тензора, сокращенного понескольким значкам, может быть получена сокращением поэтим значкам производной исходного тензора. Доказательствопроведем на следующем частном случае; пустьb; S = v h ;,:.<19>тогдадается формулой (17); положим в этой формуле к = Р,тогда третий и четвертый члены в правой части этой формулы со*21*420Э лем ентыобщ ей теор и и т е н зо р о вкратятся, ибои Л*^Г^Х отличаются только значками суммирования [а и р, которые можно поменять местами. ИтакДА"*( 20 )что и требовалось доказать.Применяя только-что доказанную теорему к произведению нескольких тензоров, сокращенному, по некоторым индексам, получим правилодиференцирования, обобщающее известное уже нам правило, выражаемое формулой (9).Так например, мы имеем формулу•(« )7.Последнее правило, которое мы рассмотрим, касается диферецирования фундаментальных тензоров.
А именно мы покажем, что нова-риантные производные всех трех фундаментальных тензоровравны нулю.Прежде всего рассмотрим тензор gih. Применение основной формулы (17) даетV-JZik— * JSiy. Hixи в силу формул (28) и (30) предыдущего параграфаГда=0'(2 2Точно так же, помня, чтоъ __ f*1 приi=[0найдемприi ф k,«Wf * =I t = о-(23)Наконец, применяя к тензоруg\(2 4 )правило диференцирования произведения, найдемоткуда, в силу (22) и (23),&Умножая это равенство наg*v / = 0.и принимая во внимание (24), получимПараллельн ы йп ерен о с421векто раИтак, мы получили основные равенстваV x& * = 0, V xg f = 0,S7xg ik =0,(2 5 )при тензорном, диференцировании фундаментальные тензора ведут себя как постоянные величины.выражающие, что8.Введем теперь понятие контравариантной производной от вектораили тензора, определив ее формулами видаА ,(26)(27)таким образом для получения контравариантной производной тензоранадо сначала образовать ковариантную производную этого тензора и затем поднять тот значок X, который соответствует операции диференцирования.Принимая во внимание доказанное в предыдущем пункте свойствофундаментальных тензоров и только-что данное определение контравариантной производной, мы можем без всякого труда написать составляющие различного рода производной от какого-либо тензора.
Такнапример, умы имеем следующие 8 типов составляющих:f i l lV A f,v xA%, V xAa?,v M e?, уxA'l,jg | J ,V x4 a?.В самом деле, докажем, например, чтодействительно, в силу формул (25),V ,A !=а в силу формулы (27)v 4 ! =S*=g x*g *V „ A T.(2 8 )§ 35. Параллельный перенос векторе.1.
Рассмотрим теперь затронутый в предыдущем параграфе вопросо параллельном переносе вектора в Римановом пространстве и о геометрическом истолковании тензорного диференцирования.С этой целью нам придется вернуться к изложенному в начале этойглавы представлению о Римановом пространстве п измерений, как о подпространстве в Эвклидовом пространстве равного или большего числаизмерен! й т. При этом мы предположим, что мы можем ввести в этомЭвклидовом пространстве прямолинейные прямоугольные оси координату,Уз> • • ■> ут таким образом, что элемент длины будет выражаться формулойт**2Цш\•w422Э лем ентыобщ ей теор и и т е н зо р о вЕсли в Римановом пространстве координатами служат х1, х 9, . .
, , хп,то для точек этого пространства^, . .V,. будут определеннымифункциями от х1, . . . , хпЛ — Л О*1* •v * * ”)•(«х =1, 2 , . . . , т )(2)Подставляя эти функции в (1), мы получим фундаментальную формудля Риманова пространстваd s * = g ilc(x'............x*)dx'dx\(3)гдеV» дУ* дУ*.........* > = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
