1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 68
Текст из файла (страница 68)
* а. Xs),(yt, у2, уй).Расстояние между двумя бесконечно близкими точками пространствабудет выражаться в координатах у 1г у2, уа формулойds2 = dy* - j- dy\ -j- dy\,(2)в координатах же x 1, x 9, x 8 формулойds2 — gtudx1dx*,(3)где, как обычно, no каждой паре одинаковых значков производитсясуммирование в пределах от 1 до 3 и где, согласно общей теории,дудутфпричем в последней формуле опять-таки подразумевается суммированиепо а. Зная g ih, по формулам ( 5 ) ’ § 32 определим составляющиеконтравариантного фундаментального тензора.В случае криволинейных ортогональных координат, обозначая, какв § 18 через Hi коэффициенты Ламэбудем иметьga = Н],g = Н\Н\Н\,g * — —? , gtk= g f'‘ =0 приizfzk.(6)Мы уже выясняли в § 32, что если обозначить ортогональные проекции вектора а, приложенного к точке М, на оси криволинейных координат, через axl, ax, t яд, и назвать их физическими составляющимивектора, то между контравариантными составляющими вектора а*, егоковариантными составляющими а , и физическими составляющими ах1имеют место соотношенияа ., =(7 )3.Перейдем теперь к рассмотрению различных векторных операций.Начнем с простейшей из них: градиента скалярной функции /.
В деdfdfд/ 1картовых координатах этот вектор имеет составляющие;432Э лем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вно мы знаем, что вектор с составляющимиd—f есть—дхковариантный век-тор, причем ясно, что составляющие этого вектора в системе координатсовпадают с составляющими вектора grad/. Отсюда мы сразуможем заключить, что ковариантными составляющими вектораУ1» .Уз» Узgrad f в любой системе координат являются величины(8)Контравариантными составляющимиличиныэтоговекторабудутслужить ве(9 )В случае криволинейных ортогональных координат, переходя от ковариантных составляющих к физическим по формулам (7 ), легко получим для проекций grad / на оси криволинейных координат выражения(Ю)совпадающие с выражениями, получающимися из формул (2 7 ) § 1 8 .4.В качестве следующего примера возьмем расхождение вектораВ координатах ylt уг, у3 мы имеемd iv a =(И )Переходя к криволинейным координатам х 1, х 2, х* и заменяя обыкновенные производные на тензорные, мы приходим к выражению \7 {а* =— V 4 , которое имеет инвариантный характер и в случае координатУн Уг> Уз совпадает с выражением (1 1 ), ибо в декартовых координатах,очевидно, все символы Кристоффеля равны нулю и, следовательно, тензорное диференцирование совпадает с обыкновенным.
Итак в любойсистеме координат мы имеем равенствоd i v a = V 4a * = Vlai = g i’cv kai=У 4( Л Л -(1 2 )Это выражение можно представить в другой форме, если воспользоваться выражением для ковариантной производной(13)полагая в этой формуле k —i, суммируяptпоi и пользуясь формулой (3 1 ) § 33dV~g_ \V I дхх ’1(14)_ у—Аполучимда* ,1\dV~g1d[alV~g)Н еко торы е433п ри м ен ен и яи, с л е д о в а т е л ь н о ,a v ,I IIу gдху gЯ И Iдх(15)В ортогональных координатах, пользуясь физическими составляющими,в силу формул (6 ) и (7 ) получимj f _____1(дН,Нгах1 ( Щ ш ш , дН1Н*а х'\H1HiHa \ д х 1 +д&"1“дх* ) ’( 16)выражение, которое не отличается от формулы (3 0 ) § 18.Применяя формулы (1 5 ) и (1 6 ) к вектору а = grad/, т. е.
полагаяв этих формулаха. =df,, а =gдх„д/дхнайдем в ы р а ж е н и е д л я о п е р а т о р а Л а п л а с а в л ю б ы х к р и в о линейных к о о р д и н а та х. й(УвГ&'b f — d lv g r a d /=Уg—— - ,дх- '(17)и в частности в ортогональных координатаху1 ;1[ д ЩЩз, д (Н 3Н Х df\НхНгНь \ дх1 \ Я , dx1J ^ d x ^ y Н2 д х * )^Щ-Ш)\5.Дадим теперь выражение для составляющих вихря вектора а.В декартовых координатах для этих составляющих мы имеем выражения вида(r o ta )yi = ^—vтdy2dys(1 9 )однако, если мы, заменяя обыкновенные производные тензорными,ставим выражения видаVflxVсока{ >то мы получим, очевидно, ковариантный тензор второго ранга, причемлегко вычислить, что его составляющими являютсяV A - V A=д&ъ- fлХдйц .
г х __ дак dtx^- ^ - ~ + oi r „ = - - ^ .Н. Е. К о ч а н , — Векторные исчисления/оп\(2 0 )28434Элем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вНе трудно, однако, из этого тензора образовать вектор, для этогонужно только воспользоваться контравариантным тензором е , введеннымнами в п. 5 § 32. В се составляющие этого тензора равны нулю, кроме0123 — £231 :Ve'£>132 _g213 — g321 =_( 21 )_VsВ самом деле, образуем контравариантный вектор( 22 )rl = ettlV A ,составляющими которого являются1 /да3V g [дх*даЛдх*) *1( daiдаАдх/ ’1/да2удх1даЛдх2) ‘го _у g(2 3 )JВ декартовых координатах g = 1 и эти выражения совпадают с выражениями (1 9 ), поэтому ясно, что в любых криволинейных координатахэти формулы дают конгравариантные составляющие вектора r o ta .
Ковариантные составляющие будут, по общему правилу, вычисляться поформуле(2 4 )так чтог = Д Л < ?1V g\W*2dxsJ' ®*2№\дх*да3 _L rr. 1 ^ з __ до\дх1 ' , 3 ' дх1 дха(2 5 )Наконец в физических составляющих для случая ортогональных координат получим в силу формул (7 ) и (2 3 ):дх2dxs(2 6 )и две аналогичных формулы для двух остальных осей. Эти формулысовпадают с формулами (3 4 ) § 18.6 . Рассмотрим теперь расхождение тензора второго ранга П.
Обозначим составляющие этого тензора в декартовых координатах y lf у2, у3через руа , физические составляющие этого тензора в криволинейныхортогональных координатах Xх, Jca, Xs черезриантные составляющие его через Р **,p ihи, наконец, контрава-Н еко то ры е435п ри м ен е н и яТогда аналогично формулам (7) мы будем иметь соотношениярл = Н < Н ^ ~ у щ - Р л .(27)В самом деле, по общим формулам преобразования составляющихтензора мы имеем, чтор'* = пуУ^дулв силу формул (44) § 32 мы можем написать для случая ортогональныхкоординатр“ =7Щcos (п<' Л ) " s (п* • у*>'где л 4 направления нормалей к координатным поверхностям или, чтото же, направления касательных к координатным линиям. Но в силуформул (14) § 22Ру.У? cos (п‘ ’ y j cos=Pik •а тогда из предыдущей формулы вытечет первая из формул (27).
Втораяиз этих формул получается простым переходом от контравариантныхсоставляющих к ковариантным.В случае прямолинейных прямоугольных осей координат расхождениетензора П было определено в § 29, формула (4), как вектор с составляющими^PviVkду*В любых криволинейных координатах за расхождение тензора необходимо, следовательно, взять векторQ * = V,/3**.(28)Общее выражение для ковариантной производной от тензораIv , p " = ^ + p u' i t , + p Xприводит к следующему значению для Q*:*дхци в силу формулы (14)V ,p - дх' ' V gdj +иили окончательноV ip » =*VgЖ| р + Р » г ;.дх*(29)28*43аЭлем ентыобщ ейтеор и итен зо р о вЕсли тензор Pik антисимметричный, то при суммированиипоследний член, очевидно, пропадает и остаетсяv ,P " = - J =Vgпо / иX(3 0 )дхЕсли тензор Р1ксимметричный, то удобнее воспользоваться смешаннымикомпонентами Р к (в этом случае Р'* = Рк:} так что точек можно неставить). Так какдР*то в силу формулы (1 4 ) *Т -7П *гГ )^ p f cp fc p *дt.1Xk~ PxTik~ d 7 + V g__« = \dxx ^п * г г—p vr , * -d(V-gPk)Vgdx*1Но в силу симметричности тензорамы имеемр*%< Э (| / ^ ) n XPihи в силу формулы (3 0 ) § 33Г г .
« + « ) = { И гг, « + г», ,r ) - }р* % ■В результате получаем окончательную формулу для расхождения симметричного тензораv р»- 1д (У ёР *1 )<»**(ЗП12 ^л ? '<3 1 >Заметим, что в случае произвольного тензора Р1к необходимо различать между собою S7tPik и V AP 4ft, представляющие собою различныевектора.7.Рассмотрим еще два примера преобразования векторных выраженийк любым криволинейным координатам.В качестве первого примера произведем преобразование основныхуравнений гидромеханики вязкой несжимаемой жидкости плотности р,находящейся под действием силы F ( F дает силу, действующую на единицу массы). Основное уравнение механики сплошной среды, выведенноев § 2 9, имеет видР ^ - ^ + ^ П - О ,ЛЬ iгде v — вектор скорости частицы среды, а П — тензор напряжений.(3 2 )Неко торы еПоследний имеет в декартовыхсоставляющие:'ytyt — ~~р+437п ри м ен ен и якоординатах2[L“ЬdvH.ylt_у2,уаследующие1 div v ’dvy.(33)где X и {i — коэффициенты вязкости, причем, обычно, принимают, чтоI2X = — — ц,.
Не останавливаясь на выводе формул (33), заметим толькоОчто, полагая X и jj. равными нулю, мы получим, что П = — pi и в силу*формулы (6) § 29 уравнение (3 2 ) приведется к уравнению движенияидеальной жидкостиР( F —— g'ad/? = ° ,(34)так чтс? р есть гидродинамическое давление. Члены же тензора П, содержащие X и ji, построены совершенно так же, как составляющиетензора упругих напряжений [см. формулу (2 9 ) § 2 9 ], с той лишь разницей, что вместо составляющих вектора смещения в формулы (3 3 )входят составляющие вектора скорости, ибо в вязкой жидкости напряжения определяются с к о р о с т я м и д е ф о р м а ц и й , в то время какв упругом теле они определяются самими д е ф о р м а ц и я м и .Так как жидкость предполагается несжимаемой, то уравнение неразрывности имеет видdiv V == 0 .(3 5 )Возьмем теперь любые криволинейные координаты х1, X2, х 3.
Тогдаконтравариантными составляющими вектора скорости будут служить величины|<36>Что касается вектора ускорения w =тdv—гг,CLLимеющего в декартовых коор-динатах проекциито очевидно, что его контравариантными составляющими являются+(3 7 )Далее, ковариантные составляющие вектора F обозначим через F k .Для тензора П из (3 3 ), в силу (3 5 ), удобнее всего получить смешанные составляющиер [ .==.- p g l+ j x ( v y -f- v 4 ) ,(3 8 )438Элем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вдля расхождения же этого тензора будем иметь в ковариантных составляющихЧЛ= — V * P + F;V , ( V X +V 4 )-(3 9 )В результате, уравнения (3 2 ), написанные в ковариантных составляющих,будут иметь видк— ^ ^ - b ^ V i C V j V 1^*).jPiT«tpFV,®* =(4 0 )В приложениях приходится иметь дело чаще всего с криволинейнымиортогональными координатами и притом с физическими составляющими.Преобразуем уравнения (4 0 ) для этого частного случая.Физические составляющие вектора скорости обозначим через v lfvx*> vx>> вект°Р асилы через Fxl, F .
, F^', физические составляющиетензора(V * ^ 1-!- V *v A) обозначим через zlk. Если коэффициенты Ламэобозначить через Н1г Й2, Нг, тоv *= И(0К|'tt = { ^ ( v y + v 4 ) .'(41-По формуламг* '*— 1 (dgit I dgiazW ^dx*dgi]дх1) 'легко далее вычислить для случая криволинейных ортогональных коор>динат символы Кристоффеля:Т)к =0, если1ф кф= —XVГ * =еслиi ф к. (4 2 )Составим теперь тензорную производнуюВ силу формул (4 1 ) и (42)в следующей общей форме:1 dv/легко получим, что ее можноv * дНк. Д V\ dlgH.записать, „<43)После простого вычисления находим« *Г 7 ,_ V V*k dVxi _ V J & L д—± 4 ~ н г ,и лИШшdHi(4 4 )Н еко торы еdv'1dvtш ЯЩ ЯШ т dtПрибавляя439п ри м ен ен и яи переходяпутемHtумножения нак физическим составляющим, найдем физические составляющие вектораускоренияdVi _ уик д*hуdthДля вычисленияztls можноvxkvxi °ndHii /45чдИк , у Vx*Vx<дх* та дhа дпоступить следующим образом: перейдемв тензоре (4 3 ) к физическим составляющим путем умножения на«*»прибавим к полученному тензору тензор, получающийся из него перестановкой индексов, и умножим на ji; в результате получим1 dv„1 dv_Hh дхк ' H{ дх1dHtH(Hk,dHkV A ? + I '* * a ?dig Hix=iИх(46)dxxПреобразовывая к физическим составляющимр1к формулу(H lH2HiHl— V ркVk <НхНоНъЩ+(31), получим\■РкЛдх!1дх*.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
