1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 70
Текст из файла (страница 70)
V H ! -V , v X ) ------- +A [ u 'v j t £или« 4 (v .v h ! -(—откуда, в силу произвольности векторов л* и гг., получаемv .v x -V,vA(1 9 )Т ен зо р Римана-К ри с то ф ф ел я447Закон образования правой части совершенно очевиден.Из тензора Римана-Кристоффеля можно получить, путем сокращенияиндексов, тензор второго ранга и инвариант.Прежде всего путем сокращения по крайним индексам получаетсятензор второго ранга, так называемый т е н з о р Э й н ш т е й н а ;=^(20 )Так как, в силу формул (1 4 ), (1 2 ) и (1 3 ),=aSТО=(21)т. е. тензор Эйнштейна есть тензор симметричный. Сокращая его, получим инвариантG = Gxx = g xlG%r(22)4.В § 3 5 нами было выяснено геометрическое значение ковариантногодиференцирования и было показано, что оно может быть тесно связанос понятием параллельного переноса вектора.
Так как тензор Римана-Кристоффеля тоже выражает некоторое свойство тензорного диференцирования, указывая на характер его зависимости от порядка диференцирования, то естественно думать, что тензор Римана-Кристоффеля тоже имееткакое-то геометрическое значение. Более того, мы уже видели, что в случаеЭвклидова пространства, когда составляющие фундаментального тензораявляются постоянными величинами, тензор Римана-Кристоффеля обращаетсяв нуль, следовательно этот тензор характеризует до некоторой степени отклонение рассматриваемого Риманова пространства /?п от Эвклидова. Можнопоэтому думать, что тензор Римана-Кристоффеля как-то характеризуеткривизну Риманова пространства, подобно тому как отклонение кривойлинии от касательной к ней в некоторой точке характеризуется в первом приближении кривизной кривой в этой точке. Так оно, на самом деле,и оказывается, поэтому тензор Римана-Кристоффеля носит еще названиет е н з о р а кривизны.Не рассматривая вопрос о кривизне Риманова пространства детально,мы выясним только несколько основных понятий на частном примереРиманова пространства двух измерений, которое всегда можно представлять себе как некоторую поверхность в пространстве трех измерений.Прежде всего заметим, что, как было указано выше, в случае Риманова пространства двух измерений, все 16 составляющих тензора РиманаКристоффеля выражаются через одну из них, за которую можновзять /?ш з .Возьмем теперь в Эвклидовом пространстве уиуъуг сферу радиуса аи рассмотрим поверхность этой сферы в качестве Риманова пространства.
Вводя в рассмотрение сферические координаты г, В, <р» можем448Элем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро вхарактеризовать положение точки на сфере двумя координатами 6 и <р,т. е. мы можем положитьх 1=в, дса = <р.Очевидно тогда, что для квадрата элемента длины мы получим выражениеda2 =sin2 6й?<р*) = а 2 (dx1)2 + а 2 sin2 jc1 (dx2)3а 2 (46 2(2 3 )и, следовательно, составляющими фундаментального тензора будутgn= а 2, & 2 = °» £22 =sin2 (-*1)-(2 4 )Теперь легко вычислить, что«г = а ‘< *‘>. « " = ■ ? • « ” =^1,11 = ^1,12 = ^2,11 = ^2,22 ~^2,12 =a^ sin3 (*■ j 1(2 5 )^1,22 = "2" Д3 S'°Формула (1 1 ) приводит к следующему значению для /?1212^X2i2 = « 2 s in 2 ('«1)-(2 6 )В силу формул (12), (1 3 ) и (1 4 ) для любого пространства/^ мы имеемсоотношения^1212==°2112==^?1221 = ^?2121>(2^)все же остальные составляющие тензора Римана-Кристоффеля равны нулю.Составляя по формулам (2 1 ) и (2 2 ) инвариант G, мы придем в случае /?а к выражению} = --^ 3 1 ,(2 8 )ибо, как не трудно убедиться,* “ « “ — ( * “ )• = j .Итак выражение — —— для любого пространства Римана двух измереоний является инвариантом.
Составляя это выражение для сферы, получимЛ ш а __ 1gно для сферы радиусаавеличина/од\а 2’является как раз Гауссовой кри-визной.5.Теперь мы приведем в связь понятие кривизны поверхности с понятием параллельного переноса вектора, опять-таки, только для частногослучая сферы.Т ен зо рРимана-К ри с то ф ф ел я449А именно, рассмотрим на сфере радиуса а площадь S, ограниченнуюконтуром L, и будем, исходя из точки М0 кривой L, совершать параллельныйперенос какого-либо вектора, касательного к поверхности сферы, вдолькривой L способом, указанным в § 35.
После обхода кривой L рассматриваемый нами вектор не возвратится, вообще говоря, в свое первоначальное положение, а составит с ним некоторый угол в. Мы хотим дока*зать, чтоДля доказательства возьмем сначала за S сферический треугольник ABC, углы которого тоже обозначим через А, В, С.
Тогда из сферической тригонометрии известно, что площадь сферического треугольника ABC равнаS .= a? (A -f~ВС— те).(3 1 )За точку М0 контура, ограничивающего наш треугольник, примем точку А,а за вектор, который мы будем параллельно переносить, примем единичный вектор а, касательный в точке А к дугебольшого круга АВ. Так как сферическийтреугольник образован дугами больших кругов, которые являются на сфере геодезическими линиями, то в силу сказанного в § 35параллельный перенос вектора будет совер; шаться очень просто. А именно, при параллельном переносе по геодезической линии АВединичный касательный вектор а в точке Ак этой линии перейдет в единичный касательный вектор а х в точке 5 (черт. 9 5 ); проведем теперь в точке В единичный касательный вектор Ь к геодезической линии ВС;ясно, что угол между векторами а } и b равенЧерт.
95.и — В. Будем теперь переносить вдоль геодезической линии вектора b и а , ; в силу сказанного в § 3 5 вектор bперейдет в вектор b j, касающийся линии ВС в точке С, а вектор a tперейдет в вектор а2, составляющий с Ь } тот же самый уголте— В, который был образован векторами a t и Ь. Проведем наконецв точке С единичный касательный вектор с , который образует, очевидно, с вектором b j угол те — С. При параллельном переносе из точки Св точку А вектора с , Ь „ а2 перейдут соответственно з с „ Ь2, а 3, причем углы между векторами а 3 и Ь2, Ь 2 и Щ Ct и а будут равны соответственно те — В, те — С, те — А.
Из черт. 9 5 ясно, что угол междувектором а и тем вектором а 3, в который превращается этот векторпосле его параллельного переноса вдоль контура сферического треугольника ABC, будет равен• сз2те — (те —В) —(те — С) — (те —А) — АС—те.(3 2 )Сравнивая это равенство с (3 1 ), докажем формулу (3 0 ) для тогочестного случая, когда контур L есть контур сферического треугольникаН * Е .
К о ч и н . — В е кто р н ы е и с ч и с л е н и я28450Э лем ен ты о бш ейтео ри итен зо ро вФормула (3 0 ) остается, очевидно, справедливой и в том случае, когда Lесть контур сферического многоугольника, ибо последний можно разбить наряд сферических треугольников. Но так как во всякую кривую L можновписать сферический многоугольник, отличающийся от L сколь угодномало, то легко заключить, путем предельного перехода, что формула (30)справедлива для любого контура на сфере.Полученные результаты могут быть обобщены на случай любойповерхности. А именно, можно показать, что Гауссова кривизна поверхности К может быть выражена как формулойК ==ВШ-)ё(3 3 )так и формулойК — lim£••*0 v>(3 4 )причем s есть угол отклонения от первоначального положения вектора,перенесенного параллельно себе вдоль контура бесконечно-малой площади S, стягивающейся к рассматриваемой точке поверхности.Связь между параллельным переносом вектором и кривизной поверхности, выражаемая формулой (3 4 ), может быть положена в основуисследования свойств кривизны любого Риманова пространства /?я.ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬАбсолютная ск ор ость 102, 103Аксиальный вектор 53Английская система 26Антисимметричный тензор 312, 383Афинное ортогональное п реобразование 377Афинное преобразование 371Афинный ортогональный вектор 305,378, 380, 381Афинный ортогональныйинвариант377Афинный ортогональный тензор второго ранга 305, 309Афинор 305Г ауссова кривизна 448Геодези ческая линия 405, 407, 417, 422,423, 430Геометрическая сумма 8Геометрическое приращение вектора428Гиперкомплексные числа 331Главная нормаль 87, 97Главное значение тензора 342— направление тензора 342Годограф вектора 80, 81, 86— радиуса-вектора 90Градиент 109, 110, 112— вектора 130Баротропная ж и дкость 187, 189, 190— идеальная ж и дкость 284Б езви хревое движение 190Безвихревы е поля 178Бесконечно-малое перемещение 365Бинормаль 87, 98Бискалярное произведение тензоров345Д авление жидкости 167Движ ение сжимаемой жидкости 164Двойное векторное произведение 6 0 ,7 6Двумерное пространство 317Д вусвязн ое пространство 126Д евиатор 345Девятичленная форма тензора 309Деформации 437Деформационный тензор 322Деформация объема 325— элемента 365Д ж оу л ево тепло 303Диады 310, 314, 322, 325, 330, 331Дистрибутивность 34, 47, 62, 316, 325.330, 331Дистрибутивный закон умножения 11Дифференциальные операции первогопорядка 184Дифференциальные параметры первого порядка 205Дифференциальные уравнения гео д езических линий 405Дифференциальный оператор 110, 1 5 7Длина вектора 6Д ублет 256Вектор 5, 6, 7— относительной скорости 103— Пойнтинга 302— угловой скорости 57, 58— ускорения 81Векторная поверхность 282Векторно-скалярное произведение 60Векторное поле 105— произведение 46, 403— уравнение 69Векторные линии 106Векторный потенциал 240Величина вектора 6Вихревая поверхность 201Вихревые линии 177, 283Вихрь вектора 136, 175, 176, 177, 178— скорости жидкости 283Внешнее произведение 46Внешние силы 167Внутреннее произведение 37— свой ство Риманова пространства 426Внутренние силы 167Внутренняя энергия 189Волнистые скобки Кристоффеля 409Волновое уравнение 191, 288, 296Вращ ательное перемещение 365— ускорение 93Второе уравнение М аксвелла 300В язкая ж и дкость 167Гармонические точки 45— функции 235Единичные векторы 11Единичный касательный вектор 422— тензор 310, 304Ж ивая сила точки 94Ж идкая линия 273, 280, 281— поверхность 273, 276, 279, 281, 282Жидкий объем 273Задача Дирихле 227— Неймана 227, 251Закон Био-Савара 298, 299— Гука 364, 366, 367— индукции 298, 300— моментов количеств движения 9429*452Закон Н ью тона 93, 95— Ома 299— преобразований 380Запазды ваю щ ий дублет— Н ью тонов потенциал— объемный потенциал— потенциал 290-------- двойного слоя 293,-------- дублета 293-------- простого слоя 293П ред м етн ы й293291, 293293294Идеальная ж идкость 167, 284И зоповерхности 106Импульс силы 95Инвариант 377, 389— тензора 345Инвариантность 32, 38, 76Инверсия координатных осей 54Индивидуальная производная 133(Интеграл Коши 190— Пуассона 250Интенсивность источника 151Источник обильности 257, 270Источники 149Касательное напряжение 307— ускорение 90Квадруплет 268Кинетическая энергия 189Ковариантная производная ковариант*ного вектора 415Ковариантнаяпроизводнаяконтравариантного вектора 415Ковариантный вектор 379, 380— тензор второго ранга 381, 383, 415Ковариантный фундаментальный тензор 390Коллинеарность 93, 326Коллинеарные векторы 11Количество движения точки 93Коммутативность 8Компланарный вектор 12Компоненты вектора 26— единичного вектора 86— производной 83— тензора 307, 309Конвективный член 135Конвекция 135Консервативная сила 123, 187Контравариантный вектор 378, 379,380— тензор второго ранга 381, 383Контравариантныйфундаментальныйтензор 390Координатная система 371, 372Координатные линии 203, 204, 218— поверхности 203, 204Координаты точки 376Косоугольные компоненты 27Коэффициенты Ламэ 205, 208— Пуассона 366Кривизна кривой 86Криволинейные координаты 203— составляющие 207Кручение винтовой линии 96, 97— кривой 88ук азател ьЛагранж евы переменные см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
