1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Но в координатах Уг , У%, у$ мы превосходно знаем,чему равна длина ве.<тора, угол между двумя векторами и т. п. Это даетЭ396лем ен тыобщ ейтео ри итен зо ро ввозм ож ность , как мы сейчас увидим на ряде примеров, сразу написатьаналогичные выражения в общих криволинейных координатах.Рассмотрим какой-либо вектор, и пусть А* его контравариантные компоненты, а А{ — ковариантные. Тогда из общей теории тензоров мы знаем,что выражение А*А{ является инвариантом.
Но в системе координатУ\ > Уъ I Уз различие между контравариантными и ковариантными компонентами пропадает; для ясности будем обозначать в координатах у ,,у у 3 составляющие вектора А через а х, а 2 , а 3, вектора В через^ 1 » ^а» Ьд и т. д. Тогда инвариант А1А{ будет иметь в координатахУн Уъ>Уз значение а ? -{“ а 2а з > a эт0» как известно, есть квадратдлины вектора. Итак длиной вектора А1 в любых криволинейных координатах являетсяНА')= У Щ = V-vV m h»-(36)Совершенно аналогично можно составить скалярное произведениедвух векторов Л 1 и В*. Из общей теории тензоров мы знаем, что А1В,есть инвариант; в координатах y lt y if уа это выражение приводитсяк а 1Ь1-\-а2Ь^-\-а3Ь3, т. е.
к скалярному произведению векторов Л* и В1.Следовательно, скалярным произведением векторов А* и В* в любых криво*линейных координатах является.4'5t = ^ ^ ‘ = A 8 * .(37)Совершенно естественно, что для косинуса угла между двумя векторами мы вновь получаем формулу (3 2 ).Поставим теперь себе задачу выяснить значение контравариантныхи ковариантных составляющих некоторого вектора.Пусть мы рассматриваем вектор а в точке М. Проведем через этуточку, как мы это делали в § 18, три координатных поверхностиXх =const;х 2 = const;л 3 = const,(3 8 )которые пересекутся по трем координатным линиям.
Направления каса- 1тельных к этим линиям в сторону возрастания координат х 1, Xs, Xsобозначим через S1 , S 2, S3; направления же нормалей к поверхностям (38)в сторону возрастания координат х 1, х 2, х 8 обозначим через n lt Щ, п3.Найдем углы, образуемые этими шестью направлениями с осями прямолинейных прямоугольных координат y it у 2, у 3. Возьмем, например, направление s , ; вдоль соответствующей координатной линии меняется толькокоордината х 1, остальные же две координаты остаются без изменения; бесконечно малый вектор dr, идущий по касательной к этой линии, имеет своимипроекциями на оси координат y lt у 2, Уз величины (заметим, что в нижеследующих формулах не нужно суммировать по значку i)d y i’= d s ‘t* 1'ахdyB=oxdx\Ф ун дам ен тальн ы йвеличина же самого вектораds, = V d/t +dy] + ^/tdx397тен зо рравна [см.
еще (2 2 )]= | /{ Ь ) ' + Ф ) ' + Ф ) гdX' ° g“‘i ^Отсюда сразу следуют такие выражения для косинусов углов междунаправлениями S j, Sa, S8 и осями ylt у9, ушIс“ (5,' л>=т к ^ '(39)(заметим, что хотя в эту формулу значок i входит три раза, но по немусуммировать не надо, что ясно из вывода). Точно также вычисляютсякосинусы углов между направлениями П], Па> п3 и осями y lt у а, y s.Рассмотрим например вектор grad х1, где х* рассматривается как функцияот У\ I Уг> Уя' Проекциями этого вектора на оси y lt у 2, уг являютсядх *дугd **dx*~дУя*{ }покажем теперь, что квадрат длины этого вектора равенВ самом деле, g ik есть контравариантный тензор,торого в системе координат у х, у%, y s равнысоставляющие ко*„ik Jt8 =gi(ибо в прямолинейной прямоугольной системе координат значения контра»вариантных и смешанных составляющих тензоров совпадают).
Поэтомув любой системе координат х 1, х а, х° согласно общему правилу преобразования контравариантных тензоров будем иметьц _ 8о дх1 дхк“ дугду$или<«>ду* дулоткуда, как частный случай, следуют и формулы (41).аналогии и формулы (22)_g,kдУш дулдх * дх*'Выпишем еще для~Возвращаясь к определению косинусов углов между направлениямиHi, п2 , п9 и осями координат у lF у 2, у& можем теперь в силу формул(40) и (41) сразу написать, что_1дх*398Э лем енты о бщ ей тео ри и т ен зо р о вРассматривая теперь какой-либо вектор, введем для отчетливости из*ложения следующие обозначения. Пусть А1 и А{ контравариантные иковариантные составляющие этого вектора в любых криволинейных координатах; пусть av а.2>а3 составляющие этого вектора по осям прямолинейных прямоугольных координат у^у^, _у$; обозначим далее через а8иаП{ортогональные проекции вектора а соответственно на касательныек координатным линиям и на нормали к координатным поверхностям (38);наконец, вводя, как в § 18, три единичных вектора е ,, е 2) е 3, направленных по касательным к координатным линиям (см.
черт. 60) и черезе 1, е 2, е 3 — три единичных вектора, направленных по нормалям к координатным поверхностям (3 8 ) (в § 18 эти векторы были обозначенычерез е ,* , е 2* , е 3*), обозначим через Ад_ и АП( косоугольные составляющиевектора а соответственно по направлениям s x, s 2, s . , и п А, п2, п3, инымисловами коэффициенты разложения вектора а по векторам е и е 2, е3и е 1, е 2, е 8:а =а =АВ*1 +К *' +.( 45>(4 6 ).+Переходим к вычислению введенных нами величин.
Прежде всего,согласно основной формуле об ортогональной проекции какого-либовектора на любое направление, мы имеема . ( = а/с о з (8„ Л ) = ^а^,jно в силу основных формул преобразования ковариантных векторов мы имеемЛ‘ ~‘ дх'А -а &и, следовательно, получаем окончательную формулуа8~ т к 'т \Таким образом ковариантные составляющие вектора At только множителем У g u отличаются от ортогональных проекций Еекгора а на направления касательных к координатным линиям.Совершенно аналогично вычисляетсяаП{ * * aj c°s (И«У/) =T/==jf aj ^I(4 8 )но в силу основных формул преобразования контравариантных векторовмы имеемл« =Аи, следовательно,дх'Л# т г г »А1anjч = -7==.у gn(4 9 )*Ф ун дам ен тальн ы йтен зо р3 9 9Таким о б р азо м к он тр авар и ан тн ы е с о с т а в л я ю щ и е в е к т о р ажителемУ g **А 1т о л ь к ом ноо тл и ч аю тся о т о р т о го н а л ь н ы х п р о ек ц и й в е к т о р а а н а н а правления нормалей к к о о р д и н а т н ы м п о в е р х н о с т я м .П ереходи м теперь к вы ч и сл ен и ю А а и А„ .
П р о с м а т р и в а я в н и м а т е л ь н оainiпредыдущ ие вы во д ы , мы л е г к о за м е т и м , ч то с о с т а в л я ю щ и м и в е к т о р а e tпо осям коор ди н ат у 1г у%, у % я в л я ю т ся вели чи ныду,Л .1у S ,, дх’составляю щ им и ж е в е к т о р а е 1 яв л я ю тся.1дх1cos (n,,> /) = — = ----- .•У е “ fy jП оэтом у, п роекти руя р а в е н ст в а ( 4 5 ) и ( 4 6 ) н а о си к о о р д и н а тполучимJ тшАVftxа1— 4лV1*<)!цУ1,у%>д.Уу-щ/-------- л i *V S il д хЛ/й1дх*__ —•Н о в силу ф ормул п р е о б р а зо в а н и я к о н т р а в а р и а н т н ы хыых век то р о в мы имеем, что д о л ж н о б ы т ьиковар иан т-±i= 1а> ~Л .
дх*S ' ду, ■i= 1Сравнивая эти ф ормулы с преды дущ и м и , мы ви д и м , ч т оA ,= V ~ g ^ ,A ',(5 0 )(S1)Эти формулы д аю т нам ещ е о д н о и с т о л к о в а н и е к о н т р а в а р и а н т н ы х иковариантных со ст ав л я ю щ и х в е к т о р а .Отметим ещ е р а з, что по в с е х ф ор м ул ах ( 4 7 ) , ( 4 9 ) , ( 5 0 ) и ( 5 1 ) п означку i, х отя он и встр еч ается три р а з а , н и к а к о г о су м м и р о в а н и я п р о и зводи ть не нужно.В случае ор то гон ал ьн ы х кр и вол и н ей н ы х к о о р д и н а т X х, я 2,направления s , и п , со вп ад аю т д р у г с д р у г о м , и п о э т о м ухв‘4 =‘4 = M„ ,= 'V .400Э лем ен ты о бщ ей тео ри и т е н зо р о вобщую величину этих составляющих обозначим черезаХ{и будем назы«вать эти величины физическими составляющими вектора а. Так какв случае ортогональных координат мы имеем, очевидно, соотношенияgu= Й Г;(62)где Н{ — коэффициенты Ламэ (см.
§ 18), то связь между контравариантными, ковариантными и физическими составляющими некоторого векторапринимает вид1А* — - г г а „ ,Н{ xi(53)А, = Н{ аXi5. Покажем теперь, как следует определять в Римановом простран*стве векторное произведение. При этом мы рассмотрим для простотытолько случай пространства трех измерений.Возьмем три произвольных вектора А , В\ С* и образуем из ихконтравариантных и ковариантных составляющих два определителяА1В'Л*Л3Я2BsС1С2С8V '=At Аз ЛВ\ В2 в 3С! С2 С5(54)Так как контравариантные и ковариантные составляющие какоголибо вектора связаны соотношениямиA ,= g ikA\то легко видеть в силу правила перемножения определителей, чтоgxAk gvA* gs/A”g ^ k g*Bk gakB*g n ? gnC* guCkA1 A2 Asgn gia gisBl В2 Bagn gn g‘23О C9 C3gsi gs4 gf 8V=Перейдем теперь к другой системе координатчим через D определитель преобразования, т. е.=gV .х 1, х2, х(56)и обозна-Ф ун дам ентальны й т ен зо рСоставляющие вектораAt401преобразуются при этом по формуламSдх* {поэтому преобразованное значение определителяперемножения определителей, окажется равнымдх*дх“дх'Адх1дх2 К д ?дх'дхадх'в .
дх2 в адх3дх1дх'дх'дх'дх 1 с* дх 8дх3V'V',=по той же формулеV'D.Наконец, применяя то же правило перемноженияк определителям V и V', из (5 4 ) получимVV =А'А,В'А{С А,откуда видно, что выражениеСравниваяственноVV'В1В{С*В,(57)определителейА1С{В1С,С*С,является инвариантом, так чтоV V ' = V V '.это выражение с (5 7 ), видим,(5 8 )что должно быть тождеV D — V,(5 9 )что, впрочем, может быть доказано и непосредственно.Наконец, из формулы (5 5 ), следует, чтоV '= g V - ,принимая еще раз во внимание (5 5 ), заключаем, чтоv ~g V’Теперь, в силу (5 7 ) и (5 9 ) выводимD = i—иg D'откуда вытекает важная формула преобразования фундаментального определителяg = gD*.(6 0 )Так как определитель преобразования D всегда считается отличнымот нуля, то из предыдущей формулы вытекает, между прочим, что значение фундаментального определителя будет отличным от нуля во всехН.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
