1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 61

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 61)

е. положимФ у н д а м ен т а л ь н ы йтен зо р389тогда, очевидно, получим/== A^(v* -f W) (у* - f «>р) «. A^v*v* 4- A^w'ts? -f-4-v ?.А'ф'и*®)* +Заметим теперь, что выраженияAa?vav?иA^w'w*инвариантны по условию теоремы н чтоAa?w*v9 = A? w?va,так как а и р являются здесь значками суммирования и поэтому могутбыть обозначены произвольными буквами. Поэтому выражениеможно применить теорему начала этого пункта и утверждать, что вели­чины (10) образуют ковариантный тензор.Если величины А^ обладают свойством симметричности,т.

е. Аа? = Лра, то из инвариантности выражения (9) для лю­бого вектора вытекает, что Аа? являются составляющими ко­вариантного тензора.В самом деле в этом случае А^ совпадают с В ^ .§ 32. Фундаментальный тензор.1.формуВведем теперьв рассмотрениефундаментальнуюd s * = g lk (Xх, . . . , х п) cbSdx,квадратичную( 1)определяющую квадрат расстояния между двумя бесконечно близкимиточками многообразия. Формулой (1) устанавливается метрика этогомногообразия и само многообразие превращается уже в Риманово про­странство Rn.По самому определению, значение квадратичной формы (1) должнооставаться тем же самым, независимо от того, в каких координатах про­изводится вычисление; иными словами к в а д р а т и ч н а я ф о р м а (1)является инвариантом.Кроме этого условия, ф у н к ц и и g ik с ч и т а ю т с я у д о в л е т в о ­ряющими у с л о в и ю с и мме т р и иS ik—ём(2)и кроме того мы потребуем еще, чтобы определитель___ё\\ёп• • • S inSaiём• • • ёъпб»1оиЯ * * * ёпп(3)390Э л ем ен тыо бщ ейтео ри итен зо ро вб ы л бы о т л и ч е н о т н у л я в р а с с м а т р и в а е м о й о б л а с т иизменения переменных..Т ак как диференциалы координат могут быть взяты совершеннопроизвольными и так как dx есть контравариантный вектор, то из по­следней теоремы предыдущего параграфа вытекает, что g lk являются со­ставляющими ковариантного тензора.

Мы будем называть этот тензорк о в а р и а н т н ы м ф у н д а м е н т а л ь н ы м т е н з о р о м . Определитель gназовем ф у н д а м е н т а л ь н ы м о п р е д е л и т е л е м .Возьмем теперь любой контравариантный вектор Л “, составим произ­ведение g lk М и сократим его по значкам k и а; в результате мы полу­чим ковариантный вектор, составляющие которого мы обозначим через Л ,(4 )Попробуем теперь обратно выразить составляющие вектора Л*через Л ,. Равенства (4 ) можно рассматривать, как систему п линейныхуравнений относительно п неизвестных А 1, А2, .

. . , Л " :g\ \ A l 4 “4"• • • - \ ~ g i ,A n =А й Л 1+ & * л * 4 * • • • 4 - g nnAn=A tA a.Решая эту систему по обычному правилу Крамера, мы получим, что/[*—•• • 4~GniAnегде Gik есть алгебраическое дополнение элемента g lk в фундаментальномопределителе, т. е. минор, соответствующий этому элементу, умножении?на ( — 1)н *.Вводя обозначения(5)можем записать полученные формулы коротко в видеA' = g ikAk.~(6 )Заметим теперь, что уравнения (4 ) при gф■Q могут быть решеныпри любом выборе At . Иными словами, в формулах (6 ) за Ак можновзять произвольный ковариантный вектор. А тогда, применяя одну изтеорем последнего пункта предыдущего параграфа, можно утверждать,что величины Щк: являются составляющими некоторого контравариантноготензора, который мы назовем к о н т р а в а р и а н т н ы м ф у н д а м е н ­т а л ь н ы м т е н з о р о м . Легко видеть, что в силу условия (2 ) окажетсяGik = Gkt и, следовательно, gi* = ghl.

Таким образом контравариантныйфундаментальный тензор, подобно ковариантному фундаментальному тен­зору, обладает свойством симметрии.Ф ун д ам ен тальн ы й391тен зо рНаконец, производя перемножение обоих фундаментальных тензорови последующее сокращение индексов, мы получим с м е ш а н н ы й фу ндаментальный тензорgtт- f t * '* .Чтобы найти значение составляющих этого тензора, подставиммулы (4 ) выражения (6 ). Мы тогда получимв фор­Л, = giaAa = g hgakAk = g*A k.Так как это равенство должно иметь место при всех значенияхто необходимо должно быть, чтобы*gi=[ 1, если i — k t_.

. .I 0 , если i^ p k .Ак,. .Таким образом смешанный фундаментальный тензор совпадает с хо­рошо известным нам тензором, составляющими которого в любой систсме5.9•координат являются величины оа .Если в тензоре (7 ) произвестилучится инвариантсокращение индексовiA = g ij ' i = n>иk,то по­( 9)дающий, очевидно, число измерений рассматриваемого Риманова про­странства.2.В предыдущем пункте мы видели, что при помощи фундамен­тальных тензоров g llt и '.{£* можно из контравариантного вектора Л *получить ковариантный вектор At и обратно на основании формул= g lkA\А1= ^ А к.A( 10)Так как мы знаем составляющие фундаментальных тензоров в 11любойсистеме координат, то мы легко можем вычислить составляющие одногоиз векторов Л , , А1 по составляющим другого.

В виду этого предста­вляется весьма удобным рассматривать Л , и Л* не как составляющиедвух различных векторов, а как различные (соответственно ковариантные иконтравариантные) составляющие о д н о г о и т о г о ж е в е к т о р а . Со­вершенно то же самое можно сказать и про тензора любого ранга.Возьмем теперь контравариантный тензор второго ранга Л .

Тогда можноаналогично тому, как от вектора Л 1 мы пришли к векгору Alt произ­вести о п е р а ц и ю п о н и ж е н и я о д н о г о и з з н а ч к о в э т о г о т е н ­з о р а ; в самом деле, умножая этот тензор на gik и производя сокра­щение по индексам в и к, мы получим тензор< »)производя же умножение тензора Л ^ на g lk и производяпо индексам | и i, мы получим другой тензор=сокращение(12)Э лем ен ты392общ ейтео ри итен зо ро вПринятый в формулах (1 1 ) и (1 2 ) способ обозначения смешанныхтензоров отчетливо указывает на то, какой именно из индексов под­вергся понижению (над этим индексом наверху или под ним внизу стоитточка), и мы впредь будем часто пользоваться этим способом.Не трудно аналогичным приемом опустить и второй индекс тензораА ,для этого достаточно составить выражение(1 3 )Обратно, отсоставимAi]tможновернутьсякА?иАа>.Всамомделе,пользуясь теперь формулами (8 ), легко установим, чтоAug * = A'l(К)Аналогично этому можно доказать, что(1 5 )Совокупность всех полученных нами формул и позволяет рассматри­вать А°^, А *., А \ , Aik как контравариантные, смешанные и ковариантныесоставляющие одного и того же тензора.

Не останавливаясь на даль­нейших примерах применения процесса понижения и повышения индексов,укажем только одно простое правило, касающееся того случая, когдав некотором одночлене какой-либо значок встречается два раза, и, следо­вательно, по этому значку происходит суммирование. Мы знаем, чтов этом случае непременно один значок стоит наверху, а другой внизу(иначе рассматриваемая величина не имела бы тензорного характера).Так вот в этом случае мы можем верхний значок суммирования опуститьвниз с тем, чтобы нижний значок суммирования поднять наверх. Нагример(1 6 )Доказательство этой теоремы предоставляется в качестве упражнениячитателю.Заметим в заключение этого пункта, что мы можем рассматриватьпоненты фундаментального тензора, ибо процесс повышения и пониже­ния индексов применим и к этому тензору, например(1 7 )При этом, как мы видели выше, процесс повышения эначка произ­водится при помощи тензора g lH, процесс понижения при помощи тен-Ф ун д ам ентальны йsopagik .Применение же тензораg*тен зо р393производит, как легко видеть, толькозамену одного значка другим, например<1 8 >поэтому g* называют еще т е н з о р о м п о д с т а н о в к и .3.

Перейдем теперь к приложениям.В основу наших рассуждений мы положим фундаментальную формуd& = gik (х\• •. ,хп) dx'dx*,(1 9 )определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точкамиРиманова пространства /?„. Про квадратичную форму (1 9 ) мы будемпредполагать, что она принимает только положительные значения, и чтоона произошла указанным в § 3 0 образом.

А именно мы будем считать,что мы имеем т -мерное Эвклидово пространство Ет, в котором поло­жение какой-либо точки определяется прямолинейными прямоугольнымикоординатами y lty 2 , . . . , ут, и что в этом пространстве мы рассма­триваем подпространство R n, определенное формуламиу х= у1. .. ,хп)|(20)Ут= У т(х\ .

. . , х п) jПодставляя в формулуmd s ^ = ^ d y [t0=1( 21)определяющую расстояние между двумя бесконечно близкими точкамив Эвклидовом пространстве, выражения (2 0 ) для функций у , мы и по­лучим формулу (1 9 ), в которой, как было показано в § 30, коэффи­циенты gu имеют следующие значения:JZ ду ду0=1*•<**...... <22>При этом мы всюду будем писать знак суммирования, если оно про­исходит в пределах от 1 до т.Нашей первой задачей будет изучение метрики пространства /?„, т.

е.рассмотрение того, какое значение имеет длина какого-либо векторав пространстве Rnt и какое значение имеет угол между двумя векторамив этом пространстве. При этом мы будем исходить из известной намметрики нашего трехмерного Эвклидова пространства, которая весьмалегко обобщается на случай Эвклидова пространства т. измерений.Итак, возьмем какой-либо контравариантный вектор А*. Легко найтитакой бесконечно малый вектор dx', который имеет то же направление,что и вектор А\ точнее говоря, вектор dx *, составляющие которого про­порциональны составляющим вектора А1:dxl — \A'.(23)394Э лем ен тыо бщ ейтео риитен зо ро вТак как при переходе от одной координатной системы к другой со­ставляющие векторов dx* и А4 преобразуются по одним и тем же фор­мулам, то величина X при этом изменении координат остается инва­риантной.Вектору dx 4 отвечает в пространстве Ет бесконечно малый вектор dxс составляющими dy , длина которого равна d s.Естественно поэтому з а д л и н у в е к т о р а dx1 п р и н я т ь в ы р а ­ж е н и е д л я ds, о п р е д е л я е м о е ф о р м у л о й (1 9 ).Так как составляющие вектора Л 4 в X раз меньше составляющихвектора dx*, то и длину вектора А 1 следует принять в X раз меньше,чем ds.

Но при выполнении условий (2 3 ) мы имеем, чтоds* = VgikAlAk.Отсюда вытекает, что за длину векторажениеА*следует принятьвыра­<26)Заметим, что так как векторус составляющимиdx 4отвечает в пространствеЕт векторЧтобы определить значение угла между двумя векторами Л 4 и В 4 в про­странстве Rn, рассмотрим предварительно вопрос о скалярном произве­дении этих двух векторов., •Вектору А будет соответствовать в пространстве Ет вектор а с со ­ставляющими (2 8 ), то«чо также вектору В 4 будет соответствовать вектор bс составляющими(29)Ф ун д ам ентальны й395тен зо рСоставляя по обычному правилу скалярное произведение двух векторова и Ь , получимЛ(а, Ь) = 2 « А =Л дуS. ду: „£ ду ду(3 0 )Таким образом под скалярным произведением векторов А1 и В *следует понимать следующие выражения, равные м ежду собойв силу формул (2 5 ):gilA,B, = AtB, = A,B ,= ^ A ,B ,.(31)Теперь не составит никакого труда найти угол между двумя векто­рами А1 и ВЛ, понимая под этим угол & между соответствующими этимвекторам векторами а и b в пространстве Ет.

В самом деле, мы, оче­видно, имеемC0S9 = ^аЬе * А'В‘V g Jl'A * Vg.fi'B'— '/g"A,B'А%V А'А, V В'В,— .(3 2 )VVM AОтметим в частности условие ортогональности двух векторовg*A'Bk = A'Bi— f A A= 0.А ‘и В :(33)4.Переходя к дальнейшим приложениям тензорной алгебры, мыв целях простоты изложения допустим, что мы имеем дело с Эвкли­довым трехмерным пространством, в котором введены произвольныекриволинейные координаты лг1, £*, JC3.Рассуждения предыдущего пункта остаются в этом частном случаев полной силе; однако в данном случае их можно еще сильно упростить.Основным признаком Эвклидова пространства является то обстоя­тельство, что хотя в общих криволинейных координатах выражение дляds2 имеет форму (19), существуют такие прямолинейные прямоугольныесистемы координат у х, y s , у 3, что ds2 принимает формуdS2 = dy\ -f- dy\ -f- dy23 ,и что, следовательно, составляющие фундаментального тензорасистеме будут иметь вид(3 4 )в этой(35)В общем же Римлновом трехмерном пространстве привести ds*к форме (3 4 ) нельзя, и только, если включить это пространство в Эвкли­дово пространство более высокого числа измерений, можно привести ds*к форме (21).

Характеристики

Список файлов книги