1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Главны е оси тензора. Главны е значения тен зора. Инварианты тензора.1. Рассмотрим какой-либо тензор П и пусть(П, а) = Ь.Если вектор b коллинеарен вектору а, т. е. если вектор а после преобразования изменяет только свою величину, не изменяя своего направления, то направление вектора а называется г л а в н ы м н а п р а в л е н и е м т е н з о р а . Если при этом Ь = Ха, то величина X называетсяг л а в н ы м з н а ч е н и е м т е н з о р а . Оно показывает, во сколько разтензор увеличивает векторы, направленные по главным осям тензора;направление таких векторов тензор не меняет. Мы воспользуемся этойколлинеарностью векторов а и Ь = (П , а) для отыскания главных значений и главных осей тензора.Итак пусть тензор задан в некоторой системе координат своими компонентами р к1 и пусть а имеет главное направление, которому отвечаетглавное значение X; тогда по самому определению(П, а) — Ха,(1)что равносильно трем уравнениямPna i'\~P\bai~\~Piba 3 ~ ^ а 1>jPtl^i ~Г, Рччаг “f" />28®8 ==! ^ 2 »|/73ia l 4 - / 78 7 « 2 + / ?88«8 = ^ 3 -J(2 )Получились три линейных однородных уравнения относительно а 1(а 2, а 3.
Эта система уравнений может иметь решение, отличное от нуля,только если се определитель равен нулюPi аР\ьр, 1/>2а — */>23Рй\/>83А}3Рп^= 0 .^(3 )Г лавны еоси343тен зо раИз полученного кубического уравнения нужно определить X, а тогдаиз системы (2 ) можно определить отношения щ : а 2 : а 3г т. е.
главноенаправление тензора, отвечающее взятому корню X уравнения (3 ).2 . В случае симметричного тензора П мы сопоставляли ему по*верхность/>11*1 ” Ь Р ц Х 2РйЗХ \ " Ь <^ 'P l2 X l X 2 “ 1” ^ Р 2 3 Х 2Х 3^ P s iX aX l =причем указывали, что поверхность эта не зависит от выбора координат.Но известно, что уравнение (4 )можно привести к виду4 * 1 “ЬнадлежащимК Х1выборомосейx v х 2, х 3\ xl - 1 -С5 )Таким образом в этой системе координат все элементы тензора,кроме диагональных, обращаются в нуль и сам тензор принимает простейший вид( X, 0 °]П =IОХ2 0I 0В соответствии с этимиметь весьма простой вид01(6 )Xg |и преобразование вектора Ь = (П , а ) будетЬг =Х1а 1 |Ь% =X jf l j>(7 )— X3tt8 jОчевидно, что для симметричноготензоранаправления осейх и хэи х а являются главными направлениями, а величины Х1( Х2 и Х3 — соответствующими главными значениями.В случае симметричного тензора существуют таким образом три глав*ных направления и три главных значения, так что уравнение (3 ) имеетпри рн = р 1к три вещественных корня.В качестве примера рассмотрим преобразование1 = (У, to),(8 )определяющее главный момент количеств движения твердого тела, вращающегося около О, взятый относительно начала координат, черезугловую скорость (о.
Беря за оси координат главные оси эллипсоидаинерции и обозначая через J it, /8 главные моменты инерции, будемиметь/j — J j® j,/д “ Уаш2»/з ~ Л 0)Ь‘(9 )344Афинныеорто го н а льн ы етен зо рыПрименим ур-ния ( 9 ) для вывода уравнений Эйлера для вращениятвердого тела около начала координат из закона моментов количествдвижения:^СО)где L есть главный момент внешних сил относительно начала координат.Так как мы хотим относить движение к главным осям эллипсоида инерции, неподвижно связанным с твердым телом, то для вычислениядолжны воспользоваться формулой ( 12) § 10:dl_a>3/2 и т.
д.dtСоставляемуравнения(1 0 ),подставляя в•4СdКВа<.Bg(1 1 )dl-у - выражеdt( 9) для 1:них вместония ( 11), в которые, в свою очередь, вставлены значенияЛd\—гтыы+ (Л — /г)= ^1»g i (Л — Л)==( 12)flЛdva,dt(ЛU.Л ) ®1®2Уравнения ( 1 2 ) и называются уравнениями Эйлера вращения твердогогела около неподвижной точки.3 . Возвращ аясь к общему тензору П, развернем кубическое уравнение ( 3 ) по убывающим степеням X:Р 22Р 32Р2з РзаР\ 1 Рч\Р\2 РчЬа)+Pn PaxPiaPaa“hРиРиРи= 0.(1 3 )P хаP -ггPaaМы знаем, что корни этого уравнения Хь Х2 и Х3 не должны зави сеть от выбора координатной системы.
С другой стороны, известны с о отношения между корнями и коэффициентами уравнения:А —Р п -\-рж “Ь Рза — \ “Ь ^2 + *з>Р22 Р'23РюРзз+PwPvtPxb/я =PixP& PnРпРюР'МР п PalР 13РззРпРцР 12 Рзз— ^ Л 4 - х , х 3 4 - х 2 х3>\( 14)Главны еоси345тен зо раПоэтому величины / 1г / а и / 3 не изменяются п р и п р е о б р а зо в а н и икоординат. Эти величины называются и н в а р и а н т а м и т е н з о р а . П р ипомощи этих инвариантов мы можем составить б есч и сл ен н о е м нож ест водругих инвариантов. Так например, инвариантом является в ел и ч и н аI ? — 2Л — Pu~i~ Р22 ~h Рзз ~ r 2P12P21 ~h 2 P 2 3P32 ~h 2Л А, 9—..
O.К ~h К ~h \•С1 5 )Составляя инвариант / , для производного тензорапо формуле (22) § 2 4da* , da., , da*I—. 9,мы получимг..^ r + ^ 7 + ^ = dIvadaТаким образом рассмотрение тензора - г -(1 6 )привелонаск,_ Л(v , V ) а ,rot а и diva, т. е. ко всем основным диференциальным оп ер ац и я м в е к торного анализа.Те тензоры, у которых инвариант Д обращ ается в нуль, н азы в аю тсяд е в и а т о р а м и .
Покажем, как можно из лю бого т е н зо р а П п о л уч и тьдевиатор. Для этого достаточно, введя обозначение a = / * = Р ц -\ -P 22~\~-j-/73S, рассмотреть новый тензорГГ = П ------ \-0iI.(17)ОУ этого тензора диагональными элементами б уд ут величины11Р и ----- о~а» Р 22------з" Л»/*8313сумма которых равна нулю.О б р азу ем еще инвариант 1Х для тензора П = А В , являю щ егося п р о изведением двух тензоров А и В .
Для определения э т о гот е н з о р а мыимели формулы (5) § 2 5 :зРы = 2 я*А<( * . ' = 1. 2, 3)С18)Г=1поэтому инвариантом 1г для тензора П будет выражение[i £a ^ *r*.k = l r= lкоторое целесообразно назвать б и с к а л я р н ы мпроизведениемт е н з о р о в Л и 5 . М ы будем обозначать его черезз((Л , Я )) =2в2k « l Г < а1( 1 9 )346А финны ео рто го н а л ьн ы етен зо рыВ = А выражение (19) делается аналогичным (15).Задача 187. Вычислить инварианты для диады ab .ПриОтвет.
/, == (а, Ь), /а ==0, /3 = 0.Задача 188.Вычислить инварианты для антисимметричного тензора,которому соответствует вектор ш.О т в е т . /, = 0, /9 = юа, /3 = 0.Задача 189. Показать, что если а , Ь, с — три некомпланарныхвектора иПа = а',ПЬ = Ь',Пс = с',(а% [У, с-])/.ОО-(а, [Ь, с])’(20)(а, [Ь ', с ']) + (Ь, [с ', а '1) + (с, [а', Ь '])/а (П )!(а, [Ь, с])/ /тт, _(а', [Ь, с ]) +l()(Ъ'г [с,а ]) +(с',[а, Ы )(а, [Ь, с])Р е ш е н и е . Пусть вектор г = аа -f- pbимеет главное направление, тогда Пг = Хг, где X главное значение, т. е.П (аа -j- pb —j- Tfc) = X (аа -}- pb -j- TfC)илиаал- j- (ЗЬ7 - jилиус* =X (аа -j- РЬ —j- ^с)а (а' — Ха) —J- Э (b ' — XD) 4 " y (с ' — Хс) = 0.Таким образом три вектораа ' — Ха, Ь ' — ХЬ, с ' — Хскомпланарны, что может быть только, если(а ' — Ха, [Ь' — ХЬ, с ' — Хс]) — 0.Раскрывая это скалярно-векторное произведение, получим уравнениетретьей степени от X:(а', [Ь', с']) - X { (а, [Ь', с']) 4 - (а', [Ь, с']) 4~ (а', [Ь', с ] ) } ++ X* { (а', [Ь, с]) 4 - (а, [Ь', с ] ) + ( а , [Ь, с '] ) } - X* (а, [Ь, с]) = О,сравнивая последнее с уравнениями (13) и (14), получим требуемые в задаче выражения.Задача 190.
Показать, что еслитоП = iiPi 4 " 1яРг 4* ^вРз’J 1 — (h> Pi) 4 “ (>а» Рг) 4 " (<з* Рз)»4 = (Ч. [Рг. Pel) 4" (U, [Рз» Pil) 4 " Оз. [Pi. Рз])> [/ з — (P l.[? 2, Рз!)-1(21)Г лавны еоси347тен зо раЗадача 191. Показать, что если инварианты тензора П суть/8, то тензор П удовлетворяет уравнению11г /.,П8 — АП» + / 2П — / , = 0 .(2 2 )Р е ш е н и е . Пусть n = i 1p 1 -| -i 2p 9 + l 8p 8 = p 1i 1 4 - p j 2 - f Р Л *дем исходить из тождества задачи 176a [b, c ] - f b [с, a] - f с [а, Ь ] т (а, [Ь, с ] )/,Бу(23)верного, как указано в задаче 1 7 7 , для любых трех векторов а , Ь, с.Заметим, что это тождество можно представить в следующей форме(ali —J—bia — c i3> ii [b, с] —f-12 [с, а]-{~Ь [a, b]) = (a, [b, с])/(24)ибо по формуле (1 0 ) § 2 5 левые части формул (2 3 ) и (2 4 ) тождественнымежду собою.
Обозначая теперь через X произвольный параметр положимa = P i— XI,, b = р2 — Xia, с = р ,— Xi8и заметим, что при этих обозначенияхa ii —{—b i 2 —j- CI3 === p jl j И- p 2ia -f~ Ра^з —»1[Ь, С] + ьгдеК0, Кх,— Xlgl8 = П — X/,[с, а] +1, [а, Ь] = Kb+XKt + VK*— некоторые тензора; наконецPllрцР\й(а , [b, С ] > =iPSiР п — ^РюР2ЪРзз= /, — X/a += D (П — X /) =^XVi — Xз.Мы видим, что формула ( 2 4 ) приводит нас к следующему тож деству(П — X 1,К0+Х/С, + > % ) = (/, — X/, + Х2Д —Приравнивая коэффициенты при одинаковыхчастях этого тож д ества, находим равенстваV ) /.степеняхПДГо = / 3/, П/Ci — К0 = — h i , П/С2 — Ki = lil,X в обеих— Кг = — IУмножая обе части этих равенств слева соответственно на 1, П, П2, П3>получимПАГ0 = / 3/ , П 2К Х— П К 0 = — /,П , Пз/Га — П 2К 1 = ^ П 8, — Пз/Са = — П3;при сложении этих равенств, все члены, стоящ ие слева, сократятся и мыполучимУ — /,П + Д О — П » - 4что и составляет требуемое тож дество.Задача 192.
Разлагая тензорn c = » iP i +i*P2 +M VPll Pi3 PinPii Ргг PtsPmPn Pit348А финныво рто го на льны етен зо рына симметричную и антисимметричную часть, мы можем сопоставитьпоследней, как указано в § 2 3 , аксиальный вектор ш. Показать, что— 2w = (/?23—р 32) i i + i p g i —p n ) U+ iP u — Pti)—ijjl[‘ 2. Psl - h Рз. Рз]-[ i i.P i ] +Показать далее, что для любого представления тензора П в видесуммы трех диад: n = q t Tj Ц - q 2r 2 -f - q 3r 3 имеет место равенство— 2(о = [q lt r j - f [q 2, r 2] +[q 3, r 3]и что обращение вектора <о в нуль есть необходимое и достаточноеусловие симметричности тензора. Отметим попутно, что квадрат величинывектора ю является очевидно тоже инвариантом тензора П,§ 28. Диференцированиетензорапо скалярному аргументу.1.Переходя к изучению переменных тензоров, мы, как и в векторноанализе, начнем с рассмотрения того случая, когда независимой переменной является скалярный аргумент t, например, время.
Итак, пустьнам задан тензор П (t), изменяющийся вместе с t и представляющийнекоторую функцию t. Как всегда, задание тензора П (t) может бытьосуществлено или при помощи задания его девяти составляющих:f Р п ( 0 Pi а ( 0 P iз (*)П (0 =]\ Р21 it) р 22 (t) р 23 (t) } ,I Ры (О Р 32 (0 Раз Щ i(1 )в функции времени или же при помощи задания в диадной формеП(t) =ij p j(t) - J - i2 Pa( 0 -f* 1з Рзit),(2 )или в более общей диадной формеП(t) =q , (<) г ,(I) +q,(t) r„ ( 0+ q3(t) r ,(<).(3 )He останавливаясь на понятии непрерывности функции, понятиипредела и т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
