1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 49
Текст из файла (страница 49)
8)320А финныео рто го н а льн ы етен зо рыЕсли взять бесконечно малый элемент массы dm, окружающий точкуго количеством движения этого элемента массы будетМ,xdtn * [ш, г] dm.,а моментом количества движения этого элемента массыточки О будет по определению[г,xdm][г,=относительно[w , r]]fif/7icСумма всех этих моментов количеств движений и называется моментом количеств движения твердого тела; обозначая его буквой 1 , будемиметь( 16)1 = У *[г, [®, г]] dm,где интеграл распространен по всем элементам массы твердого тела.В силу формулы:* g у[г, [W, Г]] = ЮУУ- Г(г,а») = 0) {х\ + х\ 4 - х\) — •Щ4 - х 2 ю2 + * 3 а>8)легко получим, что1г = а>1У* (х\-{-х\) dm — a>2у xt x2dm — <о3J xl xsdm,= —{x\ -j- xl) dm — o>3J x2x3dm,xaxldm-{-nt J/s== — * t f x9xtdm—x3 x2dm -\-a>3J( 17){x\+x\)dm.Мы видим, что вектор момента количеств движения является линей*ной векторной функцией вектора угловой скорости.
Но тогда по предыдущей теореме коэффициенты в (1 7 ) образуют тензор, который называется т е н з о р о м м о м е н т о в и н е р ц и и ; мы его обозначим черезA i Аа А зА 1 Аг Аз] —.(1 8 )J 31 А 2 А з -гдеAt — /*есть момент инерции тела относительно осиdm.---- —---QxltаУ12 = — /*xxx2dmесть взятый с обратным знаком центробежный момент инерции или момент девиации относительно осей х± и х2.
Остальные компоненты тензорамоментов инерции имеют аналогичное значение.Формулы (1 7 ) могут быть теперь записаны в весьма простом виде1 = (А <■>)(1 9 )У м н ож ен иятен зо рана321векторили в составляющихЛ =/ п ю1*/12e)2 "1" •/13003*h —Л1ш14" Л2Ш2 “Ь Лзш8>( 20)— /з!ш1 + Л г т2 "Ь Лз^з-Отметим, что тензор моментов инерции, очевидно, симметринё.и..,В качестве второго примера рассмотрим поле вектора а"Тг) = a (xltx2,x3).дадим радиусу-вектору г бесконечно малое приращение dt и рассмотримсоответствующее приращение da вектора а. Для проекций этого вектора da мы будем иметь формулы:da\=dxx d x 1iIШзdx% - fda2 ,. §a2 .-j— N— dXn0*3da»3 dx,.dxd a.da qdxо dx „(21)На основании теоремы предыдущего пункта мы можем заключитьчто коэффициенты линейных соотношений (21) образуют тензор, которыйестественно назвать т е н з о р о м , - п р о и з в о д н ы м о т в е к т о р а апо в е к т о р у г, и обозначить черезda _dr ~дахдх{да2|Щдах~dx~zfggдх3щ(22 )1.СО*I"5»<?Д8дххдахдх2дщщда^дх2Этот тензор имеет очень важное значение, потому что из него могут бытьполучены все основные диференциальные операции, рассмотренные намив главе II.Формулы (21) могут теперь быть записаны в очень простом виде:(23)вполне оправдывающем обозначение производного „тензора.Введем еще в рассмотрение тензор, сопряженный с (22).
По причинам, которые сейчас выяснятся, его очень удобно обозначить черезgrad а *■= va —Н.В.К о ч в в — Векторнойдахдххдахдх2дахЩзиочиоленя»да2дщда*дх2да2дх%да.дххда»дх2да3дхз(24)81320А финныео рто го н а льн ы етен зо рыЕсли взять бесконечно малый элемент массы dm, окружающий точкуго количеством движения этого элемента массы будет\dm *[со, г]М,dm,а моментом количества движения этого элемента массыточки О будет по определениюотносительно[г, \dm] = [г, [ю, xS\dm<Сумма всех этих моментов количеств движений и называется моментом количеств движения твердого тела; обозначая его буквой 1 , будемиметь1 = у [г , [to, г ]] d m ,(1 6 )где интеграл распространен по всем элементам массы твердого тела.В силу формулы:^у[г,ЦI I =иг2— г (г, ш) = о) (xl + х\ + * * ) — r fa % - f х 2 ш2 + * 3 ю8)легко получим, чтоlxP * » J (x l-\ -x 3) dm — о»2j f x xx 2d m — <s>bJx l x idm,l 2 = — ®i fx 2 x xd m -\ -*t J(x\ + x\) dm — o>3Jls = — ш1 Jx b x t dm —x 3 x 2dm -f- ®3Jx 2x 3dm ,Д{x[ -\-x\)dm .Мы видим, что вектор момента количеств движения является линейной векторной функцией, вектора угловой скорости.
Но тогда по предыдущей теореме коэффициенты в (1 7 ) образуют тензор, который называется т е н з о р о м м о м е н т о в и н е р ц и и ; мы его обозначим черезA i Аг/ =is(18)•Ая ^22 /гз•'81 •'32 ^33гдеdm -есть момент инерции тела относительно оси Охи а/13 = — J x xx 2dmесть взятый с обратным знаком центробежный момент инерции или момент девиации относительно осей х х и л;й. Остальные компоненты тензорамоментов инерции имеют аналогичное значение.Формулы (1 7 ) могут быть теперь записаны в весьма простом виде1 = (У,о>)(1 9 )У м н ож ен иетен зо рана321векторили в составляющихЛ = / пЮ!(20)^2 == Л 1ш1 “Ь Л г ш2 Н~ Л зш8>1з — Н Ш + Ла ®2 “Ь Л зшз-Отметим, что тензор моментов инерции, очевидно, симметричен..В качестве второго примера рассмотрим поле вектораа(г) = а (х1}х2,ха).дадим радиусу-вектору г бесконечно малое приращение dr и рассмотримсоответствующее приращение da вектора а.
Для проекций этого вектора da мы будем иметь формулы:daxda.daxdaxdx3,dx§dadx^+^dx.dx2(21)йаг A ,V * 8.d;ca^3dadadxI ! dxоdda3- йИхг2+ i l l ^з-На основании теоремы предыдущего пункта мы можем заключитьчто коэффициенты линейных соотношений (21) образуют тензор, которыйестественно назвать т е н з о р о м , - п р о и з в о д н ы м о т в е к т о р а апо в е к т о р у г, и обозначить черездахdxxda2дххdaadxtdadrдах d a ,dx2 ~d%daa d a 2dx2 dxзda£ da3dx| ~dx^(2 2 )Этот тензор имеет очень важное значение, потому что из него могут бытьполучены все основные диференциальные операции, рассмотренные намив главе II.Формулы (21) могут теперь быть записаны в очень простом виде:***(§• ■ ■ *)■<23>вполне оправдывающем обозначение производного тензора.Введем еще в рассмотрение тензор, сопряженный с (22). По причинам, которые сейчас выяснятся, его очень удобно обозначить черезdaxgrad a * * vadx,da,dx2da,~dxlВ.
В.К о ч о в — Вакторноииочиоленх*da2dxjdaadxada2dxt<4dXidatdxzd^dxa(24)81322А финныеТак какd&iвании (23)о рто го н а л ьн ы етен зо ры= (^а)е, то в силу формулы (11) будем иметь на осноda. = (dr, grad а) *== (dr, уа).(26)Полученная формула вполне аналогична формулеdo — (dr, grad <р) = (dr, v«p).Более того, если va рассматривать как символическую диаду, в которой первым вектором служит символический вектор у, а вторым вектором служит а, и если применить формальное правило скалярногоумножения вектора на диаду, то мы получим из (25)Лda = (dr, v) а = (dr, grad) а,(26)но эта формула есть как раз формула (9) § 13. Заменяя в формулах (25)и (26) dr на какой-либо вектор v, мы придем к формуле(v, va) = (v,v)а,(27)так что градиент вектора а по вектору v есть скалярное произведениевектора v на тензор уа, сопряженный с тензором, производным отвектора а по вектору г.Конечно, формулу (27) можно еще переписать в силу формулы (11)da, чи того, что - г - = (va)e в виде:dr(\ v ) a = ( - f - ' v) -(28)Отметим совершенно очевидную формулу- £ = /•(29)daНаконец, разложим производный тензор ^ г на симметричную и антисимметричную части.
Симметричный тензор естьjJ«Гдахдхх(& |\дхх 1 дх2{ Ж I1[д х , 1 дхада2\ 1 ,( д а , 1 даадхг ) 2 1\дх3 1 дххда3да21 1( да22 '[ дх , 1 дх2дх2дал1 j1да3 , да2 \дха )дха2\[дх 21 / дах2 1\ дх2!11(30)и в том случае, когда вектор а (г) представляет вектор смещения частицупругого тела, называется д е ф о р м а ц и о н н ы м т е н з о р о м .У м н ож ен иетен зо рана323векто рАнтисимметричная же часть производного тензора есть1[d aО — ю„ ш2<og 0 — o>jOla ID, О\2 ( * - VaH(31)где, как легко вычислить, вектор w равено)IIrot а .(32)Отсюда легко заключить, что тензорdaсимметричен только в томслучае, когда а есть потенциальный вектор а = grad ср. В этом случаеочевидно:а2©д2'?дх\dxldxad'2©d grad ©dxVV t>=dxLdx3#©dx±dx2dx\d2yd2<pdxt dx3 dx2dx3(33)dx2dxзd3<pdx234. Скалярное произведение симметричного или антисимметричноготензора нз вектор обладает некоторыми особенностями, которые полезноотметить.От умножения симметричного тензора П на вектор а как справа, таки слева, получается один и тот же результат.В самом деле, мы имеем в силу формулы (11) и в силу симметричности тензора П(а, П) = (ГТ„ а) = (П, а).(34)Если, образовать квадратичную формуF —РцХ1Р&Х2 + ^83*3 ~1~ ^Pl2XlX2~Ь ^Pl3XlX3~Ь ^Рг3Х2Х3>где рщ— компоненты симметричного тензора П, то мы будем иметь очевидные равенства:/ТТ\1 дР,.(П»/ттч(II.
г)а/тт<~ 2 дх — Pux i “Г Л Л gi1 dF.(П, Г)3 —Ш ИШ1 dF—РпХ*.Pi 3*1 +./ >23Х 2 "т*Рзйх&>эквивалентные одному векторному равенству1<гг, r ) = — grad F.(36)Л*А324финныео рто го н а л ьн ы етен зо рыВозьмем теперь антисимметричный тензор(0 — о>8А= \о8I --- ®2ш2 )0 — <о1 }Ш10(37)IУмножая его на вектор а справа, мы получим вектор b = (Д> а) с соста*вляющимиЬ, — Ana v- j“ -^12Я2 ■’Р ^13 Д3 “ — Ш8Й2 “Ь ®зя 8>b<i = — <*>1^3 “ hьъ = — ШоЙ! - j -шз а 1»“ 1^2,откуда видно, что( А а ) = [ю, а].(38)Совершенно аналогичное вычисление показывает, что(а,А) = [а, о»] = — (Л , а).(39)Таким образом результаты скалярного умножения антисимметричноготензора А на вектор а справа и слева отличаются только знаком. Этовпрочем является непосредственным следствием формулы (11) и формулы (9) § 23.Пусть вектор а (г) есть вектор смещения частицы упругого тела,тогда, как мы знаем- dr^ - = Ф +1А,где• ~ И £+ 4есть симметричный тензор деформаций, аантисимметричный тензор.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
