1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 47
Текст из файла (страница 47)
На грань МВС будетЧерт. 85.IIIIIдействовать поверхностная сила — рXS cos ( п, х). В самом деле, предпо- Iложим сначала, что нормаль п составляет с осью х-о в острый угол; грань IМВС является проекцией S на плоскость yz и потому имеет вели- 1чину S cos (я , х). Внешняя нормаль к этой грани направлена в рас- Iсматриваемом случае по отрицательной оси Ох, напряжение на нее 1будет — рх, а значит поверхностнаясила на грань МВС бу- Iдет — рх5 cos (я , х). При этом нужно брать значение рв в некоторойсредней точке площадки МВС. Тот же результат получается и в томслучае, когда нормаль п составляет с осью Ох тупой угол. Совершенноаналогичное вычисление показывает, что поверхностные силы, действующие на грани1IIIMAC и МАВ, соответственно равны — p^S cos (п,у) 1и — prS cos (п, z).
Величина первого члена в равенстве (5) пропорцио- Iнальна объему тетраэдра МАВС и может быть записана в виде V q, |где q — некоторый конечный вектор. Поэтому из уравнения (5) полу- Iчаемs (р«— р *cos M i l — i i cos Й Й — p . cos (п>Щ + й = o-Пон яти еа ф и н н о гоо рто го н а л ьн о го307тен зо раРазделим это равенство на 5 и после этого устремим все ребра тетраэдра к нулю; в силу очевидного равенства .<limv = п получимР» = Р* cos (п>х) + Ру cos (п ,у ) + Рг cos (tC z ).(6)Так как направление вектора п можно йыбрать по произволу, то равенство (6) влечет за собою выполнение равенств (3), что мы и хотелипоказать.В каждой точке упругого тела будет свой тензор упругих напряжений; мы имеем таким образом поле тензоров упругих напряжений.Укажем еще раз на значение величин, входящих в уравнение (6),рх есть вектор напряжения на площадку, перпендикулярную к оси Ох\составляющие этого вектора обозначим через рхх, рху, pxt\ так как,вообще говоря, р ху и pxt не равны нулю, вектор напряжения рх будетнаклонен к плоскости yz\ его составляющая рхх дает так называемоенормальное напряжение, составляющие же р ху и р Х9 определяют касательное напряжение на площадку, перпендикулярную к оси Ох.4.Вернемся к общему определению тензора.
Пусть тензор П определен тремя векторами рг, р} и р , и пусть разложения этих векторов поортам сутьP « * ? * A .+ J A ,- f к А * |Р, = l p „ + J P „ + kPi.>(7)P. ^ i P ' t + J P ' y - l - k p ,' . }Очевидно, что тензор П может быть также определен 9 числами,которые называются к о м п о н е н т а м и т е н з о р а и записываются таблицей:f Рхх Рху Р XIП === J(8 )Рух Руу РужI Ршх Рву P i tТакие таблицы называются еще иногда м а т р и ц а м и .Условимся, для сокращения письма, переименовать координаты х, у, zв хх, х%, ха, орты i, j , к в lv ia, i8; тогда для вектора а мы будемиметь разложение по ортам•• ■ ■ iA + l A + l A Вместо( 9)рх, ру, ря теперь надо писать рх, р2, р8; тогда будем иметьП = iiPi + ^Ра 4 " «зРз •Наконец компоненты тензора надо обозначать через/ = 1, 2, 3), так что будем иметьPi i Pi а РюП = I р лi Pi а Рм I(1°)p kl {k — 1, 2, 3;fPei( 11)Рйъ Рая20*А финные308о рто го н а л ьн ы етен зо рытак что* 2*1«11«12«13*2«21«22«23«31«32«33СО*1*Так например, /?28 есть третий компонент вектора р2.
В старых обозначениях это будет р , т. е. z -ая составляющая вектора ру.Иногда удобно тензор П, заданный таблицей девяти чисел (11), обозначать через [Рм). Аналогично вектор а можно обозначать через \ак).5.В § 4 мы рассмотрели вопрос о преобразовании компонентов векторпри переходе от одной координатной системы к другой; поставим тот жевопрос для компонентов тензора. Напомним таблицу § 4, дающую косинусы углов, составляемых осями двух координатных систем Оххх^х9и Оххх^хъ] мы напишем эту таблицу в несколько другом виде, болееудобном для сокращенного писания формула{к = cos (х\,х^).Проекции вектора а на оси координат99х. ,х\,хй обозначим для крат-9999а 1}а 2,а д.
Точно так же обозначим через p l f p 2>p 3 составляющие тензора П по осям Х.лx’ ,Xz и через р к[ компоненты тензора II для системы координат Ох[ х'2 х3, т. е. величины P j ^ •кости черезВ новых обозначениях формулы (2)компактном виде:8можно ваписать в следующем(А = 1 , 2, 3).(12)1= 1Точно также формулы (3) запишутся в аналогичном виде8p i = 2*M p < .(*= 1,2,3).(13)1=1Выясним теперь, как преобразуются компоненты тензора р ы, т.
е.найдем выражение величины />., через девять величин pra (г, s = 1 ,2 ,3 ).Во время вывода, для ясности, будем пользоваться полными обозначе9ниями компонентов тензора. По самому определению=естьпроекция на осьгх1 вектора рх'к. Но по формуле (13)з•Рж* =2а * г Р * ,;^ *Пон яти еа ф и н н о гоо рто го н а л ьн о готен зо ра309беря проекции от обеих частей этого равенства на ось x'v получим всилу того, что проекция вектора ряг на ось х'г, по общей формуле (12),равназs«=iследующее равенство:зРх’кх)з2^Г= 1 8=1W nPzrfВозвращаясь к кратким обозначениям, получаем следующие основныеформулы преобразования компонентов тензора при переходе от однойкоординатной системы к другойз з22(А> ' = * ■ 2' 3)Г= 1 8=1Таким образомбинациями старых.щение формул (2)следующее второе(14)■Лновые компоненты тензора являются линейными комПолученные формулы можно рассматривать как обобдля векторов.
В соответствии с этим мы можем датьопределение понятия тензора.Если для каждой прямолинейной прямоугольной системы к оординат хг х2 xs мы имеем совокупность девяти величин р ы, расположенных в виде матрицы (11) и преобразующихся в величины p jj отвечающие другой системе координат Ох^х^х:3 поформулам (14), то совокупность этих девяти величин определяетновую величину П, называемую афинным ортогональным тензором второго ранга в пространстве трех измерений. Величины pklназываются к о м п о н е н т а м и тензора П. Эквивалентность новогоопределения тензора со старым совершенно ясна.
Мы только что получили формулы (14), являющиеся основными для нового определения тензора из формул (13), являющихся основными для старого определения.Производя вычисления в обратном порядке, мы очевидно из формул (14)можем получить формулы (13), что и доказывает наше утверждение обэквивалентности обоих определений тензора.Совершенно аналогично можно было бы определить тензоры третьего,четвертого и т. д. рангов и притом в пространстве любого числа измерений.Если мы в формулу (10) внесем выражения (7) для векторов plf ра ,р8,т о м ы получим так называемую д е в я т и ч л е н н у ю ф о р м у т е н3 ° Р а:83r i - S j U A r ,ftal 1-1<15>Конечно, пока для нас формулы (10), (11) и (15) являются толькртремя различными формами записи одного и того же цензора,А3 1 0ф инны ео рто го н а л ьн ы етен зо ры6 .
Рассмотрим еще несколько примеров тензоров.Покажем, что если для любой системы координат принятьР п — /*22— P i9 — 1» Рп — 0»то получится тензор(^ Ф 0 «1 О О0 1 О/ =(16)О 0 1который называется е д и н и ч н ы м т е н з о р о м . В самом деле, применяя формулы (1 4), мы находим длявеличинызз(Лф п,РккГ=1Г= 1равные соответственно 1 и 0 , в силу формул (5) § 4. Таким образомво всякой системе координат будетР ш = l > P'ki = °>(Л ф / ),что и доказывает наше утверждение. Очевидно, что для единичного тензораP i=*1»Рг =*9Ре =и следовательно, другой формой записи единичного тензора будет1=i j i - f - У 2 “Ь У з -( 17)В качестве второго примера возьмем два вектора а и b и составимматрицуахЬ2 ауЬъalblафab =(18)10,ф2еев силу формулза,.3у■Zu а кт а т>в=1Г=1мы будем иметьa3“ 2 2r= 1 «=1%®*А4®А JМы видим, что элементы матрицы (1 8 ) преобразуются по формулам (14), следовательно матрица (18) определяет тензор, который называется д и а д о й и обозначается через ab .
Составляющими этого тензорапо осям Хих 3 являются очевидноPi ®Ь)Райз b ,P j = = (ijb«Сло ж ен и еира зл о ж ен и е311тен зо ро вОбратим внимание, что диадаb ^ i Ьха ъ Ьга а |IMi ha* Va I(19)M l ^8^2 ^8^3 Jотлична от диады ab .Допустим, что мы имеем тензор П с компонентами р м и рассмотримтаблицу с элементами %^Ш&рщ Покажем, что матрица с элем ен там и^тоже определяет тензор.
В самом деле, проверим формулы (14):S3Я]Ц == Plk ==33^Ir^ksPr»Г=1 8=1з з®/г*Лв^«гr= l S— 1*8=1 r= 1Так как по значкам г и s происходит суммирование, то мы можем гобозначить через s ns через г; но тогда ясно, что формула (14) для величин qu имеет место, и следовательно мы действительно получили тензор, который обозначается через|Пс == IРм Ри Pai1РХъ Ры Р&j(20)1 Pm Р<а Рая iи называется т е н з о р о м , с о п р я ж е н н ы м с т е н з о р о м П. Такнапример, диада ( 19) является сопряженной с диадой (18).Очевидно, что тензором, сопряженным с тензором Пс> является тензор П:***1(П ,). = П.(21)§ 23. Сложение и разложение тензоров.1.ментами__ЛГОпределим сумму двух тензоров: П с элементами— ГГр ы и II с элеp 'v как тензор П с элементамиу РHi= Pki^ P kv\(ОЧто П действительно является тензором, следует из линейности соотношения (1) и линейности формул преобразования компонентов тензора ( 14) § 22.Так какзззР * ==РьтГ=з1PfcГ=1кгPfc 1=3Phr^r)Г=1то очевидно, что составляющие тензора П по осям x vляются путем сложения составляющих тензоров П ' и П ':Р й“Pk + Pfc-xv Хд опреде(2)312Афинныео рто го н а л ьн ы етен зо рыТ о ч н о так же очевидно, что если мы умножим все элементы р кХ некоторого тензора П на один и тот же скаляр X, то в результате мыполучим новый тензор, которого компонентами будут )рк{.
Этот тензорестественно обозначить через ХП. Составляющими этого тензора по осямjc x, АГа, ха, очевидно, будут являться X р „ X pg, X р8 .2. Тензор ГГ, обладающий тем свойством, чтоРы—Рш(^» ^“1» 2, 3 )(3)т. е. значение любого компонента которого не меняется от перестановкизначков этого компонента, называется с^ п о у у ц щ д ^ у а у | JEL&A3AP<Q мТаким образом компоненты симметричного тензора, симметричные относительно главной диагонали таблицы тензора, равны между собой. Поэтому симметричный тензор определяется шестью величинами, а не девятью, как общий тензор.
Заметим, ч т о *и з ^ о р м у л (1 4 ) § 22 легкоможно вывести, что если формулы (3) имеют место для одной какойнибудь координатной системы, то эти формулы будут справедливыи в любой координатной системе. Очевидно далее, что симметричныйтензор является сопряженным самому себе:ПС= П.(4)Тензор П, обладающий тем свойством, что для любых значков Л и /Рп~PikФ*1» 2, 3 )(5)т.
е. значение любого компонента которого от перестановки значковэтого компонента меняется на прямо противоположное, называется а н т и с и м м е т р и ч н ы м т е н з о р о м . Очевидно, что элементы антисимметричного тензора, стоящие на главной диагонали, равны нулю: р кк = 0 , ибо.Ръъ — — Pick' Элементы же, симметричные относительно главной диагонали, 'р’гтны по величине, но противоположны по знаку.Если ввести обозначения®г —Рьч—Рчъч ®2 —Рт = —Раи ®з ~ Р п ~Ри>то таблица антисимметричного тензора примет видО — ®з®20 — ю1ф8(б )Таким образом антисимметричный тензор определяется только тремявеличинамиш2 ш3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
