1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В этом последнем подслучае мы будем говорить, что и н т е н с и в н о с т и в е к т о р н ы х т р у б о кобладаютсвойством сохраняемости.Докажем теперь две следующих теоремы.Покажем прежде всего, что условие, необходимое и достаточное для того, чтобы сохранялись как векторные линии вектора а,так и интенсивности векторных трубок, состоит в выполненииравенства-д 2—(а, V ) v -J- a div v = О(28 )во в с е й р а с с м а т р и в а е м о й о б л а с т и для в с е х р а с с м а т р и в а е м ы х м о м е н т о в в р е м е н и t.Покажем сначала необходимость условия (2 8 ).
Итак, предположим,что векторные линии обладают свойством сохраняемости, так же как иинтенсивности векторных трубок. Возьмем теперь в какой нибудь моментсовершенно произвольную поверхность S0, ограниченную контуром С0. Будем рассматривать эту поверхность S0, как жидкую. Проведячерез точки контура С 0 векторные линии, образуем векторную трубку К0,которая с течением времени будет деформироваться, но все время, поусловию, будет оставаться векторной трубкой Kt (черт. 8 2 ). При этом поверхность So- являющаяся сечением первоначальной векторной трубки, тожебудет деформироваться, но тоже будет все время оставаться сечением Stновой векторной трубки.
Так как интенсивность векторной трубки естьне что иное, как поток вектора а через сечение St этой трубки:и так как интенсивность векторной трубки по условиюсохраняется, то должно выполняться условие (24), а следовательно иусловие (25) для произвольной поверхности S0- Выбирая любую точку280Векто рн ы йанализи в ней любое направление п, возьмем малую площадку S, перпендикулярную к этому направлению, и применим к ней формулу (2 5 ); мы получим тогда, что(а > V ') V + a d i v v , n j = 0(2 9 )для произвольного направления п.
Отсюда непосредственно следуетусловие (2 8 ).0Докажем теперь достаточность условия (2 8 ). Предположим, что условие (2 8 ) выполнено, и рассмотрим в момент t0 некоторую векторную поверхность Ео> т. е. такую поверхность, в каждой точке которой вектора ^гежит в касательной плоскости к этой поверхности. Докажем, чтожидкая поверхность £о> деформируясь, все время остается векторнойповерхностьюВ самом деле, ограничим на поверхности Щ кусокэтой поверхности So произвольной кривой Г 0 и рассмотрим потоктора а через £<,; очевидно, что—Г a ,,r fS = 0 ,Щовек(3 0 )—ибо в каждой точке 2 о будет ап = 0 , так как вектор а лежит в касательной плоскости к поверхности £ 0 .Применяя теперь формулу (2 3 ) и замечая, что правая часть этойформулы равна, по условию (2 8 ), нулю, получим, что1 /мs= 0 ;<31)Нследовательно интегралfЧво все время движения сохраняет по-стоянное значение, а так как в момент t0 этот интеграл равнялся по (3 0 )нулю, то во все время движения должно выполняться равенство4f a nd£ =%0.(3 2 )Но это может быть, в силу произвола выбора куска£<п о ве р хн о с ти2 t, только тогда, когда в каждой точке поверхности £ , выполняетсяравенство ап = 0 , т.
е. когда в каждой точке поверхности £ t вектор алежит в касательной плоскости к этой поверхности. Но это, по определению, и означает, что поверхностьесть векторная поверхность.Нетрудно теперь видеть, что при соблюдении условия (2 8 ) каждаяжидкая линия L будет все время векторной линией, если она являетсявекторной линией в какой-нибудь момент t0. В самом деле, через положение L0 жидкой линии к моменту 10 можно провести две векторныхроверхности 2^ и 2 0 , пересекающихся по линииL0.К моментуtжид-П ерем ен н ы е п о л явсп лош н ойср еде281кие поверхности £0 и £ 0 перейдут в положения Е , и, которые,повышедоказанному, тоже являются векторными поверхностями.
Жидкаялиния L0t являющаяся пересечением жидких поверхностей £ 0 и Е 0 , перейдет к моментуtв линиюLtпересечения жидких поверхностей Е . иL". Линия L. является векторной, в самом деле в каждой точке этойлинии вектор а должен лежать как в касательной плоскости к поверх*ности Е ( , так и в касательной плоскости к поверхности Е , , а следовательно он должен быть направлен по касательной к линии Lt. А это последнее обстоятельство и является определяющим свойством векторнойлинии.Итак, при выполнении условия (28) векторные линии обладают свойством сохраняемости.
Образуем теперь какую-нибудь векторную трубкуК0, соответствующую моменту времени t0, и вычислим ее интенсивностьГ , = / KdS, где S0— сечение трубки Х0. К моменту t трубка A"0Я*перейдет в векторную трубку Kt с интенсивностью Y = J a ndS, где 5 ,то сечение трубки Kt, в которое перешлажидкая поверхность S0.Применим опять (23) и воспользуемся (28), в результате получим, чтоШОТ= 0dtи следовательно Г == const === Г0, т. е.интенсивность векторной трубки сохраняется во все время движения.Таким образом при соблюденииусловия (28) интенсивности векторныхтрубок обладают свойством сохраняемости. Высказанная нами теорема доказана полностью.Докажем теперь вторую теорему, а именно, чтоЧеРт- 82условие, необходи мое для сохраняемости векторных линий вектора а состоитв выполнении равенстваda.— (а, V ) v, а = 0(33)dtво всей рассматриваемой области для всех рассматриваемыхмоментов времени t.Заметим прежде всего, что если сохраняются векторные линии, тоочевидно сохраняются и векторные поверхности и обратно.Итак, предположим, что векторные поверхности обладают свойствомсохраняемости; возьмем в момент tQ какую-нибудь векторную поверх*282Векто рн ы йанализность S q и выделим на ней произвольный кусок Е0, тогда поопределению векторной поверхностисамомуУ* and£ = 0.К моментуtжидкая поверхность £ 0 перейдетв поверхность1^,пусловию векторную, а Eq перейдет в S <.
Ясно, чтоf M s = o,ъа тогда из формулы (23) следует, чтоv)v+adivv>п) —°fTtдля любойвекторной/“поверхности Е,. Отсюда сразу выводим, что— (а, V ) v + a d i v v, n j = 0для любого векторап, перпендикулярного к а , так как всегдаможно провести малую векторную поверхность Е„ перпендикулярнуюв данной точке к такому вектору п.Итак, все составляющие вектора— (а, V ) v - f - a d i wпо направлениям, перпендикулярным к а, равны нулю, а следовательноэтот вектор должен иметь то же направление, что и вектор а . Следовательно(*» V ) v + a d i v v , a J = 0 ,(3 4 )каковое условие совершенно эквивалентно условию (3 3 ).Впоследствии мы докажем и достаточность условия (3 3 ) для сохраняемости векторных линий вектора а.6.В качестве простого примера выведем условия сохраняемости лний тока.
Линиями тока называются векторные линии вектора скорости V,так что их диференциальными уравнениями являютсяdx_dy_dzv ,(x ,y ,z ,t) ~ v~{x, у, z ,t ) ~ ~v, (x, y, z, t)(3 6 )Перем ен н ы еполявсплошной283средеПолагая в формуле (3 3 ) a = v и замечая, что по уравнению ( 2 )dvdv>^ - - ( v , v ) v = -5 r .можем переписать условие сохраняемости линий тока в виде[4?> v] = o<36>или;;'где Х ( г , 0 — скалярная функция координат и времен».другую функцию р. (г,равенствомтВведем вместо X,д lg р.1 dttJ\dtХ= - ~ - =■£-, \i = eJ »dtv atи положимV = fiW,тогда для определения w получим уравнение.ф,sdww + t‘ W.= l| ‘wилиdt’еотсюда видно, что w не зависит от t и является, следовательно, функцией только от х , у , г .
Итак, общим решением уравнения (3 6 ) являетсяv ( r ,0 = K M )w ( r ),где ji — произвольная скалярнаявольная векторная функция от г.принимают вид(3 8 )функция от г и t, a w (г) — произПри этом уравнения линий тока (3 5 )_______dzd x _______ dyЩ Щ У , г) ~ wv{ x ,у , z) ~ w, (х ,у , г) ’откуда видно, что линии тока не зависят от времени и следовательноявляются неподвижными.Итак, мы нашли все движения, в которых сохраняются линии тока,и показали, что в этих движениях линии тока являются неподвижнымилиниями в пространстве.В качестве второго примера рассмотрим вихревые линии, т. е.
векторные линии вектора Q = rot V — вихря скорости жидкости.284Векто рн ы йанализВ § 17 мы доказали, что если идеальная Жидкость находится поддействием консервативных сил и обладает тем свойством, что плотностьжидкости является функцией от давления, то вектор & удовлетворяетуравнениюdQ—jn ------(Q ,V ) V - j- 2 d » W = 0.(3 9 )Сравнивая это уравнение с (2 8 ), мы можем теперь выяснить, что,собственно, означает уравнение (3 9 ). Оно выражает, что выхревые линииобладают свойством сохраняемости, причем интенсивности вихревыхтрубок также остаются с течением времени неизменными.Итак, мы доказали теорему Гельмгольца: в баротропной идеальной жидкости, находящейся под действием консервативныхсил, как вихревые линии, так и интенсивности вихревых трубок обладают свойством сохраняемости.7.Проведем теперь вычисление полной производной от линейногоинтеграла вектора а по какой-либо незамкнутой кривой К (черт.
8 3 ):/ ( a , dr).к(40)Полное изменение этого интеграла за промежуток времени dt слагается из двух частей; одна часть, происходящая от изменения вектора аза времяdtна величинуdt ,очевидно равна*1*к .вторая же часть, происходящая от изменения жидкого контурамежуток времени dt, равна очевидно(41)за про*d<Ji = j (a, dr) — J (a, dr) ,(4 2 )кJf,где К\ — положение жидкого контура к моменту t -f- dt. Если конечныеточки к ~ ~ у р а К суть А и В, а конечные точки контура К\ — Аг и В\то, принимая еще направление контура К\ от А' к В' 'з а положительное,мы увидим, что контуры Ки В'В — — VBdt, — К и АА' = \Adt образую т замкнутый контур, ограничивающий некоторую поверхность Е.Применим к этому контуру формулу Стокса:J£(rot a,dZ) — f (a, dr) — JК,К(a ,dr) — (ав, \в) dt -f - (aA,v A) dt.Заметим теперь, что, как видно из черт.
8 3 , элемент поверхностипредставляется по величине и направлению векторомdZ = [\dt, dr](4 3 )П ерем ен н ы еполявсп лош н ой285средеи поэтомуJ(ro ta,xdT>) = Jк[vdt, dr]) = dt fк(ro ta ,([ro ta .v ],dr).В силу этой формулы и в силу (43) равенство (42) принимает вид1= dt Г [([rot a ,v], dr) + {лв, \в) — (аА, vA)l(44)ки следовательно, мы полунаем следующее выражение для полной производной от линейного интегралаd_dt/ (Мг)=/(ж +КК-f- [rot a, v ] ,d r j -f— (aA, v x).(45)Если контур К замкнутый,то точки В и А совпадают, и поэтому предыдущая формула сильноупрощается(a,dr) =4 - [rot a, v],кdr J .(46)кВ случае незамкнутого контура К формуле (45) можно дать другойвид.
Для этого воспользуемся очевидным равенством(«в» vB) — (а д, у д ) =fк(grad (a, v),dr),(47)тогда вместо (45) получимJк(a,dr) = J ( —к-(- [rot a, v] + grad (a, v),dr J .(48)Подинтегральному выражению можно придать другой вид, если воспользоваться формулой из § 17:grad (a, v) = (v , V ) а(а , V ) v - f [a, rot v] - f [v, rot a].-B самом деле мы получаемЛевщЯд~Ь lrot a, v] -j-g ra d (a, v) = ^ 4 - ( v , V ) a + (a, V ) v 4 ~4 " (a, r o tv ];286Векто рн ы йанализна основании формулы (2) первые два члена справа можно соединитьвместе, так что получитсялаfjо^ - f [ r o t a , v]-f-grad Щ, V) = - ^ - f ( a , V ) v - j- [ a , rotv]и значит^Г (a,кJdr) =( ^ - f (a, V ) v - f [a, rotv], rfrj .(49)к8.В качестве применения последней формулы, рассмотрим вопрос оизменении циркуляции скорости в жидкости.
С этой целью, положимв (49) a = v и заметим, что по § 17 (10) мы имеем формулу(у, V ) v - f [ v , rot v] = grad - у .Поэтому из (49) получаемit jк(v- * > “kf [ it ' dt) + j* к(s radT ’ * ) •(50)Если контур К замкнутый, то последний интеграл пропадает, и мыполучаем простую и вместе с тем важную формулу:Л) = < £ (^ , * ) ,к,(51)кпроизводная по времени от циркуляции скорости по замкнутому жидкому контуру К равна циркуляции от ускорения по тому же контуру.составляющую содержание следующей теоремы:В виду важности формулы (51) дадим другое доказательство ее.Для ясности, будем направленный элемент кривой К обозначатьчерез 8г, а не через dr как до сих пор, и введем обозначениег= ф (т,Ьг).КСоставляем теперь полную производную по времени от Г, для чегоберем полную производную по времени от каждого элемента этого интеграла (нужно брать полную производную, ибо мы считаем линию Кжидкой).I— d t - = \ 7t'Докажем теперь, чтоI v dir\8г/ + \ у , л 7 -П ерем ен н ы еполявсплошнойа самом деле, если (черт.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
