1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 46
Текст из файла (страница 46)
<ЭН1 dr ot Hrot rotE = -------- rot- 37 - ==--------------зт— fсdtсdtвоспользовавшись еще тем, чтоrot rot Е = grad div Е — A E =» — A E,получим окончательно для E следующее уравнение:АС4 о т й Е , 1 д*ЕЛЕ==“ ^ - 5 Г + 7 5 - л г -„ , вч(и 6 >Такое же самое уравнение получается и для Н. Уравнение типа (116)называется т е л е г р а ф н ы м у ра в не ние : * : .Если токи отсутствуют (о = 0), то оно вырождается в волновое уравнение...д е= 4 -Ж<117>со скоростью распространения с’, по электромагнитной теории светас есть скорость распространения света.Если в (116) можно пренебречь вторым членом, т. е. токами смещения, то получится уравнение типа уравнения теплопроводности4 яо дЕ~ зг*“ с?”.<1 1 8 )наконец в случае стационарных процессов получается уравнение ЛапласаАЕ — 0.(119)302Векто рн ы йанализРассмотрение вопроса об энергии электромагнитного поля приводитк введению важного вектора6 - - £ [ Е ,Н] ,(120)который называется вектором Пойнтинга и дает по величине и направлению поток энергии.
Чтобы это показать, вспомним прежде всего,что энергия электрического поля определяется интеграломЕ2 dV;точно также энергия магнитного поля определяется выражениемH2dV.Вычислим теперь изменение полной энергии электромагнитного поля,заключенной в объеме V, ограниченном поверхностью S. Мы имеемГ ( E > + H ‘) d V .( 121)Применим теперь уравнения (112) и (113):dWdtс4гс{ (Е ,rotН) — (Н ,rot Е)}dV —o& dV .(122)Так какdiv [Е, Н] = (rot Е, Н) — (Е, rot Н ),тосJ {(Е , rotH) — (Н, to\E ))dV = ----- j div [Е, W )dV^= —Jdiv<5dV*= — (£&ndS.rУравнение (122) принимает поэтому вид(1 2 3 )П ерем ен н ы еНо интегралполявсп лош н ойсредеf oE2dV представляет собою джоулево тепло, т. е.то количество электрической энергии, которое в объемев303V переходиттепловую энергию. Ясно, что ср <2>n dS дает то количество внергии,акоторое уходит через поверхность 5 .
Правда это рассуждение относитсятолько к замкнутой поверхности S, но обобщая его и на случай незамкнутой поверхности S можно сказать, что распространение электромагнитной энергии определяется вектором (120), т. е. что электромагнитнаяэнергия распространяется в направлении, перпендикулярном как к электрической, так и к магнитной силе, причем через каждую площадкупроходит количество энергии, которое, будучи отнесено к единице времени, равно потоку вектора Пойнтинга через эту площадку.ГЛАВАIII.АФИННЫЕ ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ТЕНЗОРЫ.§22. Понятие афинного ортогонального тензора.
Примерытензоров.1.Многие задачи геометрии, механики и физики приводят к понтию тензора, которое имеет более сложный характер, нежели понятиевектора, и является некоторым его обобщением.Однако в то время как для каждого вектора мы имеем простую геометрическую интерпретацию в виде направленного отрезка, для тензоровподобного простого наглядного представления мы не имеем. Представляется поэтому необходимым дать новое определение вектора, путеместественного обобщения которого можно охватить и более сложныйслучай тензора.Допустим, что мы имеем прямолинейную прямоугольную систему координат Oxyz (в общей теории тензоров рассматривают любые криволинейные координаты, но мы раз навсегда условимся, что будем употреблять в этой главе только прямолинейные прямоугольные системыкоординат).
Проекции некоторого вектора а на оси этой системы координат обозначим, как обычно, через ах, ау, at, так чтоа = iae -f- ja y-J- ka„.(0Возьмем теперь другую систему координат Ox'y'z', тогда проекциитого же самого вектора а на новые оси координат будут, согласно § 4,выражаться формулами:ax>=axcos (x, x') -j- ay cos (_y, x') -j- at cos (г, x')<V =ax cos (x, f ) 4 - ay cos (y, y') j |a , cos(z,y')(2)at>— ax cos (x, zf) - f ay cos (y^z') - f a , cos (z^z*)При этом совершенно очевидно, что, если, наоборот, рассмотреть двавектора, из которых один определен в системе координат Oxyz и имеетпроекции ae, ау, ая, а другой определен в системе координат Ox'y'z'и имеет проекции ах>, а<, а,>, связанные с ат, ау, а, линейными соотношениями (2), то эти два вектора являются совершенно тождествен*ными.
Поэтому мы можем дать следующее новое о п р е д е л е н и е в е к т о р а , совершенно эквивалентное прежнему определению.Пон яти елф и н н о гоо рто го н а л ьн о готен зо ра305Если для каждой прямолинейной, прямоугольной системы координат Oxyz мы имеем совок пность трех величин ах, ау, аш,преобразующихся по формулам (2) в величины ах>, ау>, а г>, отвечающие другой системе координат Ох'у'г', то совокупностьэтих трех величин определяет новую величину а, называемуюафинным ортогональным вектором. Величины ах, а , аг называютсяс о с т а в л я ю щ и м и этого вектора а по осям Ox, Оу, Oz.В § 4, п. 1 мы уже упоминали о необходимостинового определения вектора и мы фактически егоустановлении понятий grad <р (§ 12, п.
1) и rot а (§2.Обобщая данное выше определение вектора,зора.введения такогоиспользовали при16).введем понятие тен-Если для каждой прямолинейной прямоугольной системыкоординат Oxyz мы имеем совокупность трех векторов рх, ру,р„ преобразующихся в вектора рх-, ру>, р,», отвечающие другойсистеме координат Ox’yfz' по формуламр*' =Рхc°s ( * 7 * 0 - f р„ cos ( £ х 0 -f- pf cos(гГх'),( 3)Ру' = P . cos {х^у') + Р» cos (у у') - f р, cos (гГ / )>Р.- = Р , cos( х У ) + р„ cos ( j J V ) 4 - р, cos (/Гг'),то совокупность этих трех векторов определяет новую величину П, называемую афинным ортогональным тензором второгоранга. Вектора рх, р у, р,, могут быть названы с о с т а в л я ю щ и м итензора П по осям Ох, Оу, Oz.
Часто афинные ортогональные тензоравторого ранга называют еще а ф и н н о р а м и . Мы будем называть ихв этой главе просто тензорами. По аналогии с обозначением вектора (1)мижно условиться ввести для тензоров обозначениеn = ip , + jp„ + kpf ;(4)но только нужно помнить, что при таком обозначении порядок, в котором мы пишем вектора, играет существенную роль (можно было быусловиться обозначать тензор П через p^i —J—р j —j—p4k, но наше обозначение больше отвечает общепринятому).3.В качестве примера приведем т е н з о р у п р у г и х н ап р я ж е и и й.
Рассмотрим упругое тело, внутри которого вырежем мысленнообъем V, ограниченный поверхностью 5 (черт. 85). На каждый элементdS этой поверхности будет действовать со стороны частиц тела, лежащих вне объема V, сила, происходящая от деформации тела. Эта силапропорциональна величине площадки dS и зависит от направления нормали п к рассматриваемому элементу; обозначим ее через р„ dS. Вектор рп, представляющий, очевидно, силу, отнесенную к единице площади и зависящий от направления нормали л, называется напряжениемьа площадку dS с нормалью п.
Отметим, что, вообще говоря, напряжение рп на площадку с нормалью п не будет перпендикулярно к пло: направления, что п. В каждой20Азо вфинныео рто го н а л ьн ы етен зо рыточке упругого тела каждому направлению п отвечает свой вектор напряжения р„. Следовательно, для каждой системы координат мы можемопределить вектора рх, р , ря. Докажем, что полученные таким образомвектора определяют тензор П, который и называется тензором упругихнапряжений; для этого, по определению тензора, достаточно доказатьсправедливость равенств (3).Обозначим через F внешнюю силу, действующую на единицу массытела, через w — ускорение точки тела, через р— плотность. Тогда массаэлемента объема dV будет рdV, внешняя сила, действующая на этотэлемент, будет равна р F dV, и, наконец, сила инерции будет равна —— pw dV.
По началу Даламбера главный вектор внешних сил и силинерции, приложенных к элементам объема V, и поверхностных сил,приложенных к элементам поверхности S,*должен равняться нулю:/*р (F — w)v+ Уd V -|-pnd S — 0. (5)Применим это уравнение к бесконечно малому тетраэдру МАВ С,построенному при рассматриваемой точке М таким образом, что его триграни параллельны координатным плоскостям, а четвертая грань, величины S, перпендикулярна к вектору п (черт. 86). На грань ABC будетдействовать поверхностная сила pnS (причем значение вектора рп нужнобрать в некоторой средней точке площадки ABC).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
