1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 45
Текст из файла (страница 45)
с .<. [д]<И"(84)или запаздывающие потенциалы двойного слоя, получающиеся от рас*пределения запаздывающих дублетов вдоль некоторой поверхности S. Приэтом запаздывающий потенциал дублета определяется следующим образом. Допустим, что запаздывающий потенциал, происходящий от источника, находящегося в точке Q (черт.
6 8 ) естьр(и, U — £ )г’294Векто рн ы йанализсдвинем этот ж е самый источник, с его распределением интенсивности во времени, в бесконечно близкое положение Q ' и образуем разностьР (s, Vtt ----*— “ j-p~(85)>т. e. у источника в Q ' будем брать то запаздывание, которое соответствует именно положению Q '. Обозначим опять QQ = г ' — г = dx—Щ s's и положим, что при бесконечном сближении источников р растеттаким образом, что lim ер (£, к], С,t) — m ($, т), С, С).£->0Разность (85) будет, очевидно, в пределе равнад ~71 дт (*’дsС’ * — с") дг_dtdscrэто выражение мы условимся обозначать через_ _ i—5sr[ m] —з-----------ascrdmdtdr_ds *В соответствии с формулой (86) под запаздывающимдвойного слоя мы должны понимать выражение(86)потенциалом1' dr\ 1■8л■ гШсг L d t .
—dn jIрВ § 19 мы вывели формулу, выражающую значение гармоническойфункции <р внутри некоторой области V через значения функции <р и еенормальной производной на границе .S этой области:?(Р)4it Т\Г dt,Мы выведем теперь для случая, когда функция <р удовлетворяет волновому уравнениюА?аналогичную формулу1с»^dt3П’(8 8 )П ерем ен н ы еполявсплошнойсгадк295или, несколько подробнее,<р(Р.t) .14itГ (1[?]дпд?дпсгdtЭта формула имеет место, если точка Р лежит внутри поверхности6’; если же Р лежит вне поверхности S, то интеграл в правой частиформулы (90) обращается в нуль.Прежде чем доказывать формулу (89), выясним ее смысл.
Мы предположили, что внутри поверхности 5 выполняется уравнение (88); этозначит, иными словами, что внутри поверхности 5 источники отсутствуют; следовательно все имеющиеся источники находятся вне поверхности S. Но правая часть формулы (89) представляет сумму потенциалов простого и двойного слоя; иными словами формула (89) дает выражение значений функции о внутри поверхности 5 через фиктивныеисточники, распределенные по поверхности S.С такой точки зрения формула (89) является математическим выражением принципа Гюйгенса в форме, приданной последнему Кирхгоффом, которому принадлежит формула (89).Перейдем теперь к доказательству формулы (89).
Для этого применимформулу (43) § 19 к функции [<р] =т\, С, t ------ Г—J = <? | Q ,t ----- j j j j >где г = PQ — расстояние между неподвижной точкойточкой QР и переменнойГ yA [y]dV -{-=(91)Под знакоминтеграла[?]рассматривается, какфункцияточкиQ (S, т], С), входящей как явно, так и через посредство г, поэтому, вычисляя по правилу диференцирования сложных функций, находимgrad[<?] = grad <р | q ,t ----- Г—\= [grad о] — —отсюда следует, что на поверхности?[®]ждп *** [g ra d r;(92)S1 ____1 Г <7? 1с [ dt~5пJdtJдг_'Введем теперь для большей ясности сферические координатыс центром в точке Р и введем сверх того обозначение(93)г, 6, ф296Векто рн ы йанализтогда легко будет вычислить значение функции Д[<р], где[<?]=?(q , t ---- =<p(r, 0, ф, т).В самом деле по формуле (41)сящим от г§ 18мы имеем, считаях не завидуА .___f/ а дг Vдг)й( 5,п9 ж)1г'г sin 0<?01да<рг9 sin5 б ()$.(95)Но если нам надо вычислить Д [<pf, то т является функцией (94) от г,поэтому в этом случаед [ср ] __ду , ду_ /дгдг ‘ dz \1 \ ___ дус )дг\ дус ~дх*дг \дг )дг I \ дгс дг )л ( j t t ___ 1 ду \1 J L ( r i d?\ о ^ д*ус дх [ \ дгс д х )Г д г[дг)с дг дхг 3 д2у2гдус дх++ Т9Сравнивая эго выражение с (95), получим, что2д*ус дг дх2 ду , 1сг дх ' с9 dx2у удовлетворяет волновому уравнениюНо, по условию, функцияа(р~1 д*ус9 а.т9 *поэтому мы находим, чтоД [ср]г**2сг9дудх2 д%у .
2 д*у~сг дг дхс'2г № ’Заметим теперь лзРко устанавливаемые формулы(96)П ерем ен н ы еполявсплош ной297средетогда предыдущее равенство можно записать, воспользовавшись еще фор*мулой (2) § 17 в виде2 ду „г2 д1 div — ---------- 5-а ® ■;2дерг2г9с \ г2/г; -------- - J - div — ---------- I — , gradс dtд<осг drс dz----- f - di vi I\д<?!кг Г д? 1 \. to . / ’Применим теперь формулу Гаусса к объему V , получаемому из объема Vпутем выкидывания шара малого радиуса з с центром в точке Р и ограниченного сферой Е.
Тогда получимдо co s(r.n) dSdxНа сфере 2 будетг=*=», поэтому при ■ -+• 0 подинтегральная функцияпоследнего интеграла будет порядка — , вся же площадь сферы £ равнав4 ir« a; нетрудно отсюда заключить, чтоlim•-►Оc o s (r,n )тdS = 0.ПоэтомуД [< р ]c o s (r ,n )(97)Собирая формулы (91), (93) и (97) вместе, мы и докажем формулу (90).'В качестве примера применения этой формулы примем за 5 сферурадиуса R = c t с центром в точке Р. Тогда значения запаздывающихрпотенциалов придется брать ■ момент t — —t — t «=- 0 , т. е. в начальный момент времени, и мы находим выражение <р(Р,ния 9 и ^t) черев значев начальный момент времени.Вводя сферические координаты л, 0, <}>, с центром в точке Р н замечая еще, что направление нормали п совпадает с направлением г, пай-298Векто рн ы йанализдем, что в формуле (90)dS — /?а sin bd 6 d <|»= R*d<s>,Гdy(R, М . 0 )dR&9dnгдп1сгд? — = - L IcR \dt dn1R «»е»dt0 \) tiи следовательно« - £ / / [ « й ^ й М )+ * « в' *• ° > + т ( ж ) J*•откуда получаем искомое выражение* * « - £ { « [ * / / ? ( * .* .
* .° ) < * » ] + гf/ ( £ ) _ / “} <98>11.В заключение этого параграфа рассмотрим вкратце основныуравнения теории электромагнитного поля.При рассмотрении электростатического поля уже был введен векторэлектрической силы Е и была указана его связь с плотностью р эле*ктрических зарядовdiv Е = 4кр.(9 9 )При рассмотрении электромагнитных явлений наряду с вектором Евводится вектор магнитной силы Н, дающий по величине и направлению ту силу, которая подействовала бы на единицу магнитной массы,если бы ее поместить в рассматриваемую точку пространства. При этом,однако, принимают, чтоdiv Н = 0,(1 0 0 )ибо, как учит опыт, нельзя отделить положительные магнитные зарядыот отрицательных и в каждом куске какого-либо тела полное количество магнетизма равно нулю.При рассмотрении переменных электрических и магнитных полей обнаруживается тот основной факт, что изменение магнитного поля вызывает электрическое поле и обратно, изменение электрического полявызывает магнитное поле.
Количественные выражения этих фактов даютсяуравнениями Максвелла. Последние представляют собою обобщение двухосновных экспериментальных законов электромагнетизма: вакона БиоСавара и закона индукции.Мы уже упоминали о законе Био-Савара, когда рассматривали полевихревой нити в § 20, п. 5. Мы видели, что если интенсивность вихре-Пвой нитиерем ен н ы еполявсп лош н ойсреде299L равна Г, то вызываемое этой вихревой нитью поле будет( 101)Lпричем циркуляция вектора а по контуру К, охватывающему один разв надлежащем направлении кривуюравна как раз Г( 102)Но по закону Био-Савара, если мы имеем ток силою /, текущийпо проводнику L, то он производит в окружающем пространстве магнитное поле, определяемое (в правой системе координат) по формуле(103)Lгде с — универсальная постоянная, появляющаяся в силу того, что J иН измеряются в разных единицах.Но тогда из формулы (102) ясно, что если мы заставим единицумагнитной массы обойти контур К, охватывающий один раз в положительном направлении проводникто работа силы Н будет равна(104)Формула (104) представляет просто другую формулировку законаБио-Савара.
Ее можно обобщить еще больше, если представить себе,что электрические токи имеются во всем пространстве.Если рассматривать только покоящиеся тела, то, по Максвеллу, электрический ток надо составлять из двух частей. Первая часть получаетсяв результате обобщения закона Ома, по которому плотность тока, т. е.количество электричества, протекающее через единицу поперечного сечения проводника, пропорционально падению потенциала на единицудлины, т.
е. пропорционально электрической силе Е. Итак(105)где i — вектор плотности тока, а •— коэффициент пропорциональности,называемый удельной электропроводностью. Если поверхность, опирающуюся на контур К, обозначить через S, то количество электричествапротекающее через S, будет очевидно равноindS =* С оEndS.в( 106)300Векто рн ы йанализНо, по Максвеллу, чтобы получить J, нужно прибавить к предыдущему выражению еще так называемый ток смещения, который образуется во всех тех случаях, когда меняется электрическое поле и представляется по величине и направлению вектором1 дЕ _Поэтомуj = f °E*dS+ -h fJi t dSв( ‘ 07)ви уравнение (104) принимает видф (Н , * ) - - J - r ( 4 « a £ „ + - ^ ) d S .(108)Применяя формулу Стокса, можем написать/П 4 к о En-\- —^jr 1 dS,rotn Ноткуда, в силу полной произвольности выбора поверхностипервое уравнение Максвелла:rotH = —с Е +1 —с dtS, следует(109)'’Второе уравнение Максвелла получается из обобщенного закона индукции Фарадея, по которому при изменении магнитного поля в каждомпроводнике возникает электродвижущая сила, пропорциональная скоростиизменения магнитного потока чере» поверхность, охватываемую этимпроводником.
Математически закон индукции выражается уравнениемф (Е, dr) = - ± - ^ j H .dS.Применяя его к любому контуруСтокса, получимго.„Е d S ------- 4К. и опять пользуясь формулой4/■откуда вытекает(110)/H .dS,швторое уравнение Максвелла:1 -щII-.rot Е = ----- ~г.(111)П ер ем ен н ы еполясп лош н ойвсредеПерепишем еще раз все полученные уравнения, причем предположимеще, для простоты, что плотность электрических зарядов р равна нулю:( 112)ГСЕ—-L ™ ,(ИЗ)div Е = 0,(114)divH = 0.(115)Покажем прежде всего, что для векторов Е и Н можно получить независимые и притом совершенно одинаковые уравнения.В самом деле, диференцируя (112) по времени и беря от (113) операцию rot, найдем, считая о и с постоянными числами,<?Н_ 4тго <ЭЕ Г0"dt~ dt1 diEс дР *'1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
