1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 40
Текст из файла (страница 40)
В самом деле, если точка Р стремится к Q, оставаясьс положительной стороны поверхности разрыва, и если мы выделим оченьмалую часть поверхности Е г, окружающую точку Q , тобудет виднаиз точки Р под телесным углом, очень мало отличающимся от 2 тг, и потому <р(Р) будет очень мало отличаться от—*ч( Q ) — ^Г(i-r jв пределе, если устремить сначала Р к Q , а затемк нулю, получим¥ + = - 4 ^ “ i / 71dQ-тЕсли же точка Р стремится к Q , оставаясь с отрицательной стороныповерхности 2 , то из Р будет видна отрицательная сторонаи потому' ? - = + Т ’ 1~ к / ч * ® Поэтому получаем*1(*)Т + — ? _ = — "*]•(1 9 )Вектор, равный произведению ср+ — ф_ на единичный вектор нормали п „ можно назвать поверхностным градиентом , так как он характеризует изменение функции <р при переходе через поверхность £ , подобно тому как gradхарактеризует изменение функциипри переходе точки в соседние положения.5.До сих пор мы рассматривали безвихревые поля, происходящиот некоторого распределения источников.
Рассмотрим теперь случай,Ра зли ч н ы евекто рн ы еполя261когда задано некоторое распределение вихрей, а источники отсутствуют.В § 19 мы видели, что если вихри вектора а заданы формулойrot а = © ( х ,у , г),( 20 )а источники отсутствуют, то сам вектор а определяется формулой( 21 )а = rot А ,гдеQ dV(22)Как простейший случай рассмотрим тот, когда имеется только однавихревая нить в виде замкнутой линии L ’, напряжение вихревой нитиобозначим через Г.Обозначим через dS (черт. 7 3 ) поперечное сечениевихревой трубки, через ds направленный элементкривой L; если единичный орт касательной к кривойL в точке Q обозначить через S j, то будет ds = ds • s (;вихрь в точке Q имеет то же направление касательной к вихревой нити, значит ш = а> • s : , наконец напряжение вихревой нити есть произведение из площади поперечного сечения трубки dS на величинувихря (о, значит Г = ю dS.
Наконец, очевидно, чтообъем элемента вихревой трубки равен d V = d S •ds(произведение из площади основания элементарногоцилиндрика dS на его высоту ds).В ф-ле (22) надо проинтегрировать только по элементам объема,вставляющим вихревую трубку L, так как никаких других вихрей нет.Но для элемента вихревой трубки имеем: ш d V == a>st •dS •ds §=f= о) dS •ds •Sj == T ds, поэтому выражение для А принимает видCTds1A“ s /(2 3 )~Заметим теперь, что напряжение вихревой трубки Г есть величинаюстоянная вдоль всей трубки (§ 16), поэтому Г можно вынести за знакштеграла, и мы получимАЛ Г*4VL г ’(2 4 )(следовательно(2 6 )Формулой (2 5 ) и определяется поле вектора а, создаваемое вихревойрубкой L напряжения Г-262Векто рн ы йанализФормуле (2 5 ) можно дать другой вид.
Для этого заметим, чтоr0tI^=^TOt(^'^Воспользуемся теперь формулой (3 ) § 1 7 :rot («р а) = <f rot а —|—[grad <р,а],положив в ней<р = — , a = ds; заметим при этом, что переменной точкой очевидно считается точка Р, так что вектор а должен рассматриваться как постоянный, и следовательно надо положить r o ta = 0 . Итакrotj =grad у , r f s j(2 7 )“ ^ / [ gra<1T ' rfs]-(28)и значита41ЪВспоминая еще выражение, 1гgrad — = — — =г,можем переписать формулу (2 8 ) в следующем виде:Г_4тгОбозначим через а угол между векторами s , и г , тргда та частьвектора а, которая происходит от элемента вихревой нити ds, будетопределяться формулой(30)показывающей, что указанная часть вектора а перпендикулярна какк элементу вихревой нити ds, так и к прямой PQ, соединяющей точку,где определяется значение вектора а с элементом вихревой нити; численное же значение вектора da будет. .
.Г flfssin a/0, ч<31>Формулы (2 9 ), (3 0 ) и (3 1 ) играют большую роль в электромагнетизме, а именно, там показывается, что если L есть проводник, по коГторому течет электрический ток силою -г- , а в точке Р находится единич-шРа зли ч н ы евекторн ы е263поляный положительный магнитный полюс, то на последний будет действовать сила, равная как раз а , если пользоваться правою системой координат— в этом состоит закон Био-Савара.
Таким образом электрическиетоки являются вихревыми нитями для магнитного поля.6.Проведем теперь какую-нибудь поверхность 2 , контуром которойслужит наша вихревая нить, и покажем, что векторное поле, создаваемое вихревою нитью напряжения Г, и поле, создаваемое равномерно распределенными по поверхности £ дублетами плотности Г, совершеннотождественны вне поверхности £ . В электромагнетизме этому обстоятельству соответствует теорема Ампера, утверждающая, что магнитноеполе, создаваемое электрическим током силою /, совершенно такое же,как магнитное поле, создаваемое магнитным листком, контуром которогоявляется проводник, по которому течет ток, и который равномерно намагничен, причем поверхностная плотность магнетизма равна J.drДля доказательства возьмем выражение(1 8 ) для векторного поля, создаваемого равномерно распределенными дублетамиа = — 4^ g *a d 2(1 8 )и постараемся привести это выражение к виду(2 9 ).
Вычислим для этого приращение телесного угла dQ, получающееся, когда точка Рсмещается в соседнее положение Р ', причемЧерт. 74.lp p ' = dr.Очевидно то же самое приращение dQ получится, если мы точку Роставим в покое, но зато весь контур L (черт.
7 4 ) сместим в новое положение V параллельно самому себе на отрезок — dr, так что например точка Q перейдет в положение Q ', причем QQ' = — dr. Между Lи L ' образуется поверхность, которая и будет видна под углом dQ. Элемент этой поверхности, образованный при смещении элемента ds кривой L, представляется очевидно вектором [ — dr, ds] — [ds, d r] ; проекция последнего вектора на направление QP равна очевидно ([ate, dr] г,);деля это выражение на квадрат расстояния PQ, мы и получим телесный угол, под которым видна из точки Р площадка, построенная навекторахdsиQQ':dr],([a?S,Г|)г2Все же изменение телесного углаdQ== ГГ ([ds,([<&, dr],d r],VQг ,) =_Г|)'2будетШЙ Щ [i*i,[r„ <fc])Cldr,Jra264Векто рн ы йанализили окончательно(3 2 )откуда можно заключить, чтоgradQи значит_(3 3 )'LЯ *л C [d s,4тс/r j(3 4 )Если взять т] = Г, то это выражение полностью совпадет с формулой (2 9 ), что и доказывает высказанное выше утверждение.Отметим, что поля, создаваемые вихревой линией и дублетами, с о вершенно одинаковы только вне поверхности £ ; поэтому в области внеповерхности Е можно пользоваться в обоих случаях любой из формулrdsг(2 5 )a=i i totJ т<Lа = _(3 5 )4 ^ gradQ ’однако на самой поверхности 2 Дело обстоит несколькоиначе: функция Q для случая дублетов терпит рдзрыв,как мы видели выше, в случае же вихревой нити никаЧерт.
75.кого разрыва быть не может, ибо самой поверхности Ев этом случае не существует, она была введена намиискусственно. Зато в случае вихревой нити функция Q получается многозначной; если заставить точку обойти контур К, охватывающий одинраз контур Z,, как показано на черт.
7 5 , то при правой системе координат функция Q получит приращение — 4тс; это видно непосредственно,но может быть также легко доказано на основании теоремы Стокса; в самом деле, вычислим циркуляцию вектора а по контуру К'.J(a , dr)——^ J(grad S , dr)= —^f dQ,кна прираще4irние телесного угла Q. С другой стороны, по теореме Стокса циркуляцияпо контуру К равна потоку вихря вектора а через поверхность, опирающуюся на этот контур.
Но контур /( охватывает единственный вихрьнапряжения Г, значиткак видно это приращение равно произведению из-- I f л - г.Ра зли ч н ы евекто рн ы еполя265откуда и получается/л—4 ir ,(3 6 )7.В п. 3 был рассмотрен случай распределения источников по по*верхности и было показано, что в этом случае вектор терпит на этойповерхности разрыв в своей нормальной составляющей.Сейчас мы предположим, что вихри заполняют некоторую поверхность Е, и покажем, что вызываемое такими вихрями векторное поле терпит на поверхности Е разрыв непрерывности. Итак, предположим, чтоповерхность Е покрыта вихрями и пусть плоскость черт.
76 сечет нормально вихревую линию, проходящую через точку Q , и пусть вихреваялиния смотрит на нас (мы пользуемся на черт. 76 правой системой координат). Обозначим еще через п , единичныйвектор нормали к поверхности Е и назовемп,ту сторону поверхности Е, куда смотритвектор П]» положительной, а противоположную сторону отрицательной. Проведем, как777A ^Z v /M y yуказано на чертеже, контур ABCD в видеV //77 /2 2прямоугольника, стороны которого АВ == CD = dl бесконечно малы и параллельныкак между собой, так и поверхности Е, другиеЧерт.
76.же стороны этого прямоугольника, перпендикулярные к поверхности 2 , обозначим черезAD = В С = dh и тоже предположим бесконечно малыми. Мы предположим, что общая интенсивность вихрей, лежащих на поверхности и расположенных между AD и ВС, равна w dl, т. е. мы будем считать плотностьвихрей равной w.Обозначим через а+ и а- значения вектора а в двух точках, бесконечно близких к точке Q и лежащих соответственно с положительнойи отрицательной стороны поверхности Е , и установим связь между этимизначениями и вихрями, расположенными на поверхности Е. Применим дляэтого формулу § 16:/*ro t a dV—J*[dS, а ].(37)Возьмем объем V следующего вида: сместим прямоугольник ABCDвдоль вихревой нити, проходящей через Q, т.
е. перпендикулярно к плоскости чертежа на отрезок ds. При этом смещении прямоугольник ABCDопишет параллелепипед с ребрами dl, ds, dh, который мы и возьмем заобъем V. Если за высоту этого параллелепипеда взять dh, то однооснование его будет лежать с положительной стороны поверхности Е ,а другое с отрицательной, площадь обоих оснований будет равнаdS = dlds,3 объем всего параллелепипеда будетV —dldsdh.266Векто рн ы йанализЕсли высоту параллелепипеда dh считать очень малой в сравнениис размерами dl и ds, то в формуле (3 7 ) интегралом по боковой поверхности параллелепипеда можно будет пренебречь, далее, основание, лежащее с положительной стороны поверхности 2 , представляется векторомdl ds пх, другое же основание представляется вектором — dl ds flj, поэтому для правой части формулы (3 7 ) получаем выражениеdlds— dl ds [tij, а- ] .Левая же часть формулы (3 7 ) очевидно равна wлучаем равенствоdl ds.(38)Поэтому и поw = [щ, а+ 1— [п„ а“ ] .илиw = [nlf а+ — а“ ] ,(39)которое связывает вихри, распределенные по поверхности 2 с разрывомвектора а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
