1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Итак функция ф имеет на бесконечности определенное зн ачение. Н о ведь вектор b = grad 4* не изменится, если мы значения функциивсю ду изменим на одно и то ж е число. В ведем поэтому вм есто фдругую функциюУ(М) = У(М) —ф (о о ),тогда опять будетb = grad у,Ау = 0,( 82)2f—\grad ф |</?1+ х ’наконец из формулы ( 8 1 ) при М ' — со вы текает, что1 Т (А 0 | аГ 2Ldr/,в силусказанного(8 3 )\RXRНо2Lв конце п.
5 , из условий (8 2 ) и ( 5 3 )вы текает, что f = 0 и следовательно b = 0 , т. е. а: = а2 что и д оказы ваетединственность решения ( 7 6 ) .Д окаж ем теперь, что вектор а, определенный формулами ( 7 6 ) и ( 7 7 ),удовлетворяет условию ( 7 9 ).
П реж де всего, мы имеемgradp <р(х , у , г ) —JД * С) Г d V ,как это следует из формулы ( 5 5 ). Вычислим далееrot А = -г— rotp4тге/w (5, г|, С) d Vяro t.w(Q)dV;246В ектор н ы йанализприменим теперь формулуrot(<{4i) =положив в ней4»r o tu-f- [ g r a d ф,u = w (Q ), причемu],заметим, что поскольку ди-ференцирование производится по точке Р, а вектор ш (&, yj, С) от точкине зависит, этот вектор должен считаться постоянным. Итак*grad у , w (Q )ГР• « » ].В результате мы получаем, чтоp(Q)r+ tw(Q)-ri(84)ООПринимая теперь во внимание условия (7 8 ), легко выведем, чтоIа(х, y , z ) \ < - £ - f'гд е R = VОбозначимdV,(8 5 )соСа, г 2 == (х — Q * - f (у — ?|)2 + (z — С)2, d V = d U i jdC.расстояние точки Р(х, у, z) до начала координат, т.
е.У x2-j-y2-j-z2через и и заметим, что интеграл в правой части (8 5 ),очевидно, может зависеть только от и:1d V = * f{u ),S Rt+Xr*(86)Возьмем на радиусе ОР точку Р', отстоящую от начала координатна расстоянии, равном единице. Для точки Р' мы имеем/-jy iT F id V ’ = / (1 ).ОI IооСопоставим теперь всякому элементу объема d V интеграла ( 86 ),элемент объема d V ' , получающийся из d V преобразованием подобия,переводящим точку Р в Р'. Ясно, что тогда окажетсяОР = и • ОР'd V < = u 3d VR — uR'/ ■ -и / ,*Оп ределени евекторапоегови хрюи ра схо ж д ен и ю247и, с л е д о в а т е л ь н о ,/09^/2 + Хг ,2СОИтак\a{x,y,z)\< тт2 тси та это и есть то неравенство (7 9 ), которое мы хотели доказать.Итак найденное нами решение есть единственное, удовлетворяющееусловию (79),Если этого условия не поставить, то решений системы (7 5 ) полу*чится бесконечно много> Например системаdiv а = Оrot а = Оимеет такие решения:а = const,a ^ x i —yj,a = xj -j-yt ит.
д.Но конечно все эти решения не удовлетворяют условию (79).Заметим, что в формуле (7 6 ) первый вектор справа есть потенциальный, а второй — соленоидальный. Таким образом, как следствие полученных результатов, мы нашли возможность разложения вектора ана сумму двух векторов, из которых один будет потенциальным, а другой — соленоидальным.9.Переходим к решению третьей задачи, поставленной нами вышев п. 3. Эта задача состоит в отыскании вектора а, удовлетворяющеговнутри области V условиям(88 )а на границеSэтой области условиюая= /(М )наS.(8 9 )Из системы ( 88 ) следует, чтоа *= grad <р,А ?-О ,(90)а из уравнения (89), что(9 1 )248Векто рн ы йанализТаким образом необходимо определить гармоническую функцию <р,нормальная производная которой принимает заданные значения на по*верхности 5 (задача Неймана).На ряду с этим мы рассмотрим и задачу Дирихле, в которой условие (91) заменено условием9=f(M )наS,(92)так что заданы значения самой функции 9 на поверхности S.
Если бынам были известны одновременно значения на поверхности S как самойгармонической функции 9 , так и ее нормальной производной, то значение функции 9 в любой точке внутри области V определилось бымоментально на основании формулы (47):д1<Р (х>У'г) = ^ ф у ^dS— — ( £ -^ r < ? d S .(93)Пусть нам известны только значения функции 9 на поверхностиS.Тогда, очевидно нужно постараться исключить из формулы (93)Для этого попытаемся отыскать такую функцию g(x, у, z\ 6, т\, С)=*= g(P,Q), которая, будучи рассматриваема как функция от 5, У), С, удовлетворяет уравнению ЛапласаAQg = 0 ,(94)и которая на поверхности 5 принимает значения, равные-------- :g=----- — на поверхностиS.(95)Функция"G(x, у, z\ Е,*|, С ) = ~ + ^ ( * .
у,г\ 5,т), С)(96)называется при этих условиях ф у н к ц и е й Г р и н а . Как видим, для ееопределения опять надо решить задачу Дирихле, но только при совершенно определенных граничных значениях функции.Применим теперь к гармоническим функциям 9 и g формулу Грина (38).Так как Д9 = Д^==Го, то эта формула дает нам равенствоh f ‘ & dS~ k f $ i ' dS- 08.SКомбинируя эту формулу с формулой (93), можем переписать последнюю в виде»<*• >> z )= v A a %^ - 5О п ределен и евектор апоегови хрюи р асхо ж д ен и ю249Но так как по самому определению функции ГринаG(P, Q) =» 0 ,еслиQлежит наS,то получаем окончательное п р е д с т а в л е н и егармоническойф у н к ц и и ср ч е р е з е е г р а н и ч н ы е з н а ч е н и я :? ( x ,y ,z ) = - l ( £ ^ f ( Q ) a s .(9 7 )SВ этой формулеdGестьзначениенормальнойпроизводнойотфункции Грина, рассматриваемой как функция точки Q в точкеQ (£» ’ Ь Q поверхности S.Дадим пример решения задачи Дирихле при помощи функции Грина.Допустим, что поверхность S есть сфера радиуса а с центром в началекоординат.
Пусть мы хотим определить значение функции ср в точкеР (х , у, г), лежащей внутри этой сферы и отстоящей от центра этойсферы на расстоянии OP— R • Обозначим через Р* точку, симметричную с точкой Р относительно сферы S, т. е. точку, лежащую на продолжении радиуса ОР и отстоящую от точки О на расстоянии ОР*,таком, чтоОР* •О Р = а ? .Координатами точки Р*, очевидно, будута?х|Л?’а 2уcPzX *+ y 2-j-Z*.У ~ X2-i-y2 + Zz ’*Обозначим еще через r* = P*Q расстояние переменной точки Qпространства от точки Р*. Заметим теперь, что если точка Q лежитна поверхности сферы S, то, согласно задаче 4 0 § 5, мы имеем соотношениег*гаR— = -7 г„.1аRr*— — - ft* наилиг1Но функция — , а, следовательно, иГаW„S..(9 8 )4, очевидно, являются гар-ионическими функциями от точки Q внутри сферы S.
Сравнивая соотношение (9 8 ) с формулой (9 5 ), мы видим, что можно принятьУ> z'yTi» ty — SiFt Q) ~И...........- ....affr* ~OP •P*Q ~V a* — 2a2 (x\ -\-y-t\+ zl) + (л* -fj/2 - f г2) (52- fи, следовательно,(9 9 )- f С»).0 (Л=( Io e )260Векто рн ы йанализВычисляем теперьгде г =PQ,г * = P *Q ; поэтому при обозначениях черт. 67,дп~~^П'dG. ~cos aaf*/?glradQG) “cos 8г *8 ’принимая теперь во внимание, согласно черт.
67, чтог cos а — а — R cos 6,г cos J3 == a cos 0 — R,аг1 ~ R 'Р9легко найдем, чтоdGа8 — R*дпаг9Поэтому для сферы решение задачи Дирихле дается так называемым интеграломПуассона(а 2 — /?2) Х9 (Q)dS*(Р )4ъаf(101)R = OP, г —PQ.Рассмотрим теперь вопрос о решении поставленной в самом началеэтого пункта задачи Неймана. В этом случае на поверхности S заданызначения нормальной производной искомой гармонической функции у,и потому нужно попытаться исключить из формулы (93) входящие в неезначения функции <р на поверхности. Для этого попытаемся найти такуюфункцию Н(х, у, г\ 5, ij, С) = Н(Р, Q), которая удовлетворяет следующимусловиям: функциягдеh(P, Q) = И(Р , Q ) ------L ,(102)рассматриваемая как функция точки Q, есть гармоническая внутрифункция, далее на поверхности S производная функции Н по нормалиимеет постоянное значение и именно равноSдН4itЖ~S’где S есть величина площади всей поверхности S.деления функции h нужно опять решить задачувершенно определенных граничных условиях.
Мыусловиями функция h определяется с точностью(103)Как видим, для опреНеймана, но при сознаем уже, что этимидо произвольной по»О п ределен иевектор астояняой. Можно п о л н о с т ь ювание, чтобыпо егои р асхож д ен и ювихрюопределитьН,251если поставить еще требо& H (P,Q )dS=* 0 .О 04)Комбинируя теперь равенство (93) с равенствомT A h£ dS- l j > ^ ds=°'В4Sвытекающим из формулы Грина (3 8 ) (ибо ДЛ = Д<р = 0 ), мы получим,чтотЬв силу условия (1 0 3 ) последний интеграл правой части будет произвольной постоянной величиной<р(Q )dS =const.Следовательно, мы получаем окончательное представление гармонической функции <р через граничные значения ее нормальнойпроизводной:? ( P ) = ^ :£ f f ( P , Q ) ^ - d S + C.S(1 0 5 )Сделаем по поводу задачи Неймана одно замечание, а именно: значения нормальной производнойзадаваться на поверхностиусловиемSдуonгармонической функции не могутпроизвольно, так как они всегда связаныр-вдпdS = 0 , '(106)вытекающим из формулы (19) § 17.10.Теперь мы можем полностью решить задачу об определениивектора по его вихрю и расхождению для случая конечной области.Пусть нам нужно найти вектор а для точек области V, ограниченнойповерхностью S, если известно, чтоdiv а = р (х,у, z) внутри V— ы(х, у, г) внутри Va n—f{M ) на поверхности S,rot а|J(107)262В екто рн ы йгде р, ь> иусловиюfанализ— известные функции, причем функция§f(M )dS =Jp ( £ , v), С)dV,в7f(M)удовлетворяет(108)а функция «о — условиюdiv со = 0 .(109)Далее мы считаем, как всегда, что функции р и to непрерывны вместес частными производными всюду кроме, быть может, конечного числаповерхностей.В случае, если to внутри объема V терпит на некоторой поверхностиразрыв, мы потребуем, чтобы нормальная составляющая вектора со оставалась непрерывной.Мы найдем решение системы (107) в виде суммы трех векторовa ( P ) = grad<f>-j-r°tA -}-grad<J>.Прежде всего, полагая р = 0 вне объема7V составляем( 110)функцию<•»>С векторным потенциалом А поступить столь же просто, т.
е. положить ю = 0 вне объема V и затем применить формулы п. 7 мы не можем,так как, вообще говоря, на поверхности S нормальная составляющаявектора вихря ©п ф 0 , и если мы положим а>= 0 вне объема К, то наповерхности S нормальная составляющая вектора to будет терпеть разрыви рассуждения п. 7 перестанут быть верными. Поэтому мы должны поступить следующим образом: мы построим вектор to вне объема Vтаким образом, чтобы на поверхности S величина оап не терпела разрыва, и чтобы на бесконечности удовлетворялись условия (63); и возьмемзатема (х,(и г )Такой вектор ш можно получить, например, следующим образом:примем, что вне объема V to = grad X, тогда на поверхности S должнобытьж = ><и з >где справа стоит нормальная составляющая заданного внутри V вектора to.Так как div to = 0 , то функция X должна удовлетворять уравнениюДХ = 0О п р ед ел ен и е век то р а п о е говихрюи263р асхож д ен и юИтак, нужно определить функцию х> гармоническую вне объема Vи удовлетворяющую условию (1 1 3 ), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
