1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 34

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 34)

Вычислить поток вектора а предыдущей задачи черезпповерхность полусферы г = R,_0 ^ 0< — .2-ккО т в е т , - jj- .КЗадача 152. Пусть шар радиуса R движется в однородной несжи­маемой жидкости с постоянной скоростью с вдоль оси Ог. Найти дви­жение жидкости, предполагая его безвихревым и считая, что на беско­нечности жидкость покоится.Р е ш е н и е .

Мы знаем из § 15, что если движение несжимаемойжидкости происходит с потенциалом скорости, тоgrad Ф,(47)div V = 0.(48)V=причемЗаметим далее, что частицы, прилегающие к поверхности шара, будутскользить вдоль этой поверхности. Следовательно, скорость какой-либо изтаких частиц относительно поверхности шара, т. е. v — ск должна ле­жать в касательной плоскости к поверхности шара, т. е. должна бытьперпендикулярна к нормали п поверхности шара:(V — ск, п ) = 0;если теперь заметить, что нормаль к поверхности шара совпадает с ра­диусом шара, то легко получим, что (черт.

63а)Vf — ccosb.(49)Предполагая, что в рассматриваемый момент центр шара находитсяв начале координат, мы приходим к выводу, что нам нужно найти в об­ласти вне шара такую функцию Ф , чтобы выполнялись равенства (47)и (48) и чтобы при r — R выполнялось бы равенство (49). Но вектор азадачи 150 как раз обладает такими свой­2ствами, ибо, как мы видели, a — grad ^ иdiv а = 0, а при r = R мы имеем2kйar = Jp cos0Следовательно, принимая2k.cR3ф = с - т - '• А = - Г >мы получаемв видерешениеvT= c l -y-jпредложеннойCO S0,задачиtfg = — сsin0,vf *=0.При этом при г= о о получается, как и должно быть, v = 0.(50)216В ек т о рн ы й анализЗадача 153.

Найти решения уравнения ЛапласаД* = 0,зависящие только от г или только от 8 или только от <р, где г, б и <рсферические координаты.—От ве т . ^ = Лlg tg - j, <}>= Л-{-5ср.Задача 154. Имеется однородное тело, ограниченное двумя концен­трическими сферами с центром в 0 и с радиусами а и Ь, где а< Ь.Найти установившееся распределение температуры в этом теле, еслиизвестно, что на внутренней поверхности тела г = а температура Тподдерживается равной постоянной температуре Tit а на внешней поверх* ности г — Ь равной постоянной температуреи что уравнение тепло­проводности для стационарного состояния есть Д7' = 0._„Тха(Ь — г) -f- Тф\г — а) ,Ответ.

Т — —— ---- Тг — ^ — — г(Ь — а)6.Наибольшие осложнения, связанные с применением криволинейныхкоординат, коренятся в том обстоятельстве, что единичные вектора еие2,е3имеют в криволинейных координатах различные направления в разныхточках.Если мы рассмотрим две бесконечно близкие точки M (qu q2> qs) иM\q1 -j- dqv q<i-j- dq%, q\ -j- dqa), то единичные вектора в этих точкахбудут соответственноei» ®2* езиei ~Ь d&u е2 -f-е3 -j- de3.При этом конечно"<5»и т. д. Поставим себе задачей вычислить производныеdetдег dei~dq[y ~dql' dq^%Так как ех есть единичный вектор, т. е.(е „ е,) = 1,то из формулы ( 10) § 17 следует, что(еа, V ) ej -f-[eIf rot e j = 0.(52)Так как единичный вектор ех направлен по касательной к коорди­натной линии qv то<е„ ^ = - ^ ГтгМ -mК ри во л и н ей н ы е коо рд инаты217Вспоминая формулу (35), легко найдем, что1дНх1 дНх1Н3Н 1 даз еа Н ХН 2 dq,1 дНх1 дНхИ ХН 2 dq,Я ХЯ 3 <??3 3(ei.

V ) e j« [rot вр ег] =(54)и, комбинируя эту формулу с предыдущей, получим<?е,dq, ~IДля вычисления1 дН<H 2l f r 21<?//«Я 3 <fy3 3*()заметим, что аналогично формуле (53) мы имеемIWНо из формул ( 6) и (9)§ 17 легко вывести следующую формулу:2(b, v ) а = grad (a, b ) r o t [a, b] — [a, rot b] — [b, rota] — adivb-f-f- b div a-(57)Подставляя сюда a = ex, b = ea, после ряда вычислений найдемIv)e‘= 7 ? k ^ * a(58)дех _е2 дН%dq2 ~~ Н х~dq1 *(59)и, следовательно,Аналогично этому находится формуладе±dq,(60)* >Н х dqt7.Рассмотрим в заключение этого параграфа основные понятия диференциальной геометрии поверхностей.Пусть мы имеем поверхность S.

Тогда положение каждой точки Мэтой поверхности может быть определено двумя криволинейными коор­динатами qx и qit так что радиус-вектор г точки М является функциейот qx и q2, иными словами координаты точки М будут функциямиот ^ и q2:x = x (q i, Щ jУ = У (? 1, Яз)IZ ~ Z (4\! ft)* '(61)218В ек т о рн ы й анализЛинии поверхности S, на которых одна из координат qx и q2 со­храняет постоянное значение, а меняется только другая координата, на­зываются к о о р д и н а т н ы м и л и н и я м и . Единичные векторы, на*правленные по касательным к координатным линиям qx и qit обозначимопять через ех и е2*Составив вектор— , мы легко убедимся в том, что он имеет напра-дгвление elt а вектор -щ- имеет направление еа:дтН хех,dqxдт(62 )'■ еа.dq*Однако, мы не будем теперь предполагать криволинейные коорди­наты qxи q2 ортогональными.

Перемещению точки из положения M (qx, q2)в бесконечно близкое положение M \qx-J- dqv q%-J- dqj) соответствуетприращение радиуса-вектораdr = -^-dqx-\--^-dqi ,dqx(63)V1 1квадрат абсолютной величины которого равенdrds2 = {d rf = (dr, dr) = ^-^~,)dqidq*+dq 2+ ( & ) '*Введем теперь обозначения[ i f r ' H q l)= H '~ g" (-‘7u(64)[ 4k\~^)I дтдт \\dq2 J=g, ^v?i)тогда для квадрата диференциала длины дуги кривой, находящейся наповерхности, получим выражениеds8= gxxdq\-f 2gx2dqxdq2+ g2%dq\,(65)которое называется п е р в о й о с н о в н о й ф о р м о й Г а у с с а .Если единичный вектор нормали к поверхности в точке М обозна­чить через п, то вектор п должен быть перпендикулярен как к векдт„тору -з— , лежащему в касательной плоскости к поверхности, так и к век-dqxК ри во л и н ей н ы е коо рдинатыторудг* следовательно вектор пвект°Р 9219имеет то же направление, что иГ_дг__дг_-\[ dqx ’dq^yНо так как, по условию, П — единичный вектор, то должно быть’ дгп=М г'|Г дт| М’дг ‘dq%.дт 'дЯъ.(66)Заметим теперь, что по формуле (22) § 7dr \ ( дтЩ ) \ dqt ’ dq%)Г дгдг I я№ Г ’ ~&h\ ~/_**L\\ l? idq* J\ dq2dq%)g ll gl2g\2 §12и, следовательно, если ввести обозначениеg = V 8п8л — й *(67)то‘ дгдг ] |\dqt * <tya J j\dtg(68)dr 1gдЯчJ(69)Легко далее вычислить угол а между координатной линией qx икоординатной линией q2, проходящими через рассматриваемую точку М.В самом деле, мы, очевидно, имеем, что^ia==( ^ ’ ~ d ^ \ ~ HlH^ ev ei)==HiH2(:osa==Vg7l Vg72cos(iи, следовательно,4Tiacos а:(70)У £ц V giaОтсюда, в частности, следует, что qx и q2 образуют ортогональнуюсистему криволинейных координат тогда и только тогда, когдаMS I(7 1 )220В екто рн ы йанализЕсли мы рассмотрим две бесконечно близкие координатные линии qxи qx-\-dqx и две бесконечно близкие координатные линии q^ и qz-\-dq%tто эти четыре линии ограничивают бесконечно малый параллелограм,который, очевидно, может быть по величине и направлению представленвекторомdS =дг ,дг .Lj § Щdq2дгдг ]~dq~' ~dql_дт_.

дЧ\dq2.dq\dq% ——ndq\dc[2 " ■gdqxdq$V>(72)так что численное значение величины площадки дается формулойd S = gdqxdq3 = ]/ gxxgzt— £xzdqxdqr(73)§ 19. Определение вектора по его вихрю и расхождению.1. Нашей главной задачей до сих пор было всестороннее изучениезаданного поля скалярной величины ср или векторной величины а. Мырассмотрели целый ряд различных диференциальных операций, которыев том или ином отношении характеризуют данное поле.

Так например,рассматривая скалярное поле функции ср, мы ввели новый вектор grad ср,который наглядно показывает характер изменения ср. Точно так же, рас*сматривая поле вектора а, мы ввели новый скаляр diva и новый век­тор rota, а также ввели понятие производной вектора по направлениюи понятие градиента одного вектора по другому (v, V ) a . Все толькочто указанные диференциальные операции на ряду с другими, которыемы рассматривали выше, являются в той или другой степени аналогомпонятию производной в обыкновенном диференциальном исчислении.Можно поэтому сказать, что до сих пор мы изучали диференциальноеисчисление в области векторных величин.В настоящем параграфе мы будем решать задачу, аналогичную за»даче интегрального исчисления.

Иными словами мы поставим себе задачуотыскания поля некоторого скаляра ср или вектора а, когда известно поленекоторых диференциальных операций от этих неизвестных величин.Отметим, что в § 12 нами уже решена одна из задач такого рода:найти в некоторой области скалярную функцию ср, если для каждойточки этой области задан градиент этой функции, т. е. если намизвестно, чтоgrad ср= а,( 1)где а заданный вектор.

Мы знаем, что для решения этой задачи необ­ходимо, выбрав фиксированную точку М 0 и соединив произвольнуюпеременную точку М с точкой Л*0 кривой L, лежащей в нашей области,составить криволинейный интеграллх<р(М ) = fи.(a, dt).( 2)Определение векторапоего вихрю и расхождению221Тогда, как было показано в § 12, функция (2) будет удовлетворятьуравнению (1).

По поводу этой задачи сделаем несколько замечаний.Прежде всего заданный вектор а не может быть произвольным век­тором. В самом деле, в силу того, чтоrot grad <р= О,непременно должно бытьrot а = О,( 3)т. е. вектор а должен быть безвихревым.Далее, криволинейный интеграл (2) может оказаться многозначным,а именно, зависящим от пути интегрирования MqM. Однако это можетслучиться только в том случае, если та область, в которой мы рассма­триваем вектор а (и в которой мы предполагаем как вектор а,так и егопервые частные производные непрерывными), является многосвязной.Действительно, если область задания вектора а односвязна, и если М 0К Ми M 0LM — два пути, расположенные в этой области и ведущие из точки M Qв точку М , то мы, очевидно, имеем|ибо при пробегании пути М 0ЬМ в противоположном направлении M LM 0криволинейный интеграл меняет свой знак. Путь М 0К М можно непре­рывным образом перевести в M 0LM , не выходя при этом из пределовнашей области.

Пусть S — поверхность, образованная последовательнымиположениями MqKM при только что указанном перемещении этого пути.Тогда по теореме Стокса и в силу (3) мыимеемоткуда и вытекает, чтоf(a, dr) = [ (a, d r).MJjhlЧерт. 64.Таким образом в случае односвязной области интеграл (2) не можетзависеть от пути интегрирования.Рассмотрим теперь двусвязную область, например, внутренность тора(черт. 64). По самому определению двусвязной области, в ней можнопровести такое сечение 2 , после которого область делается одно*связной. В этой односвязной области интеграл (2) будет уже однознач­ным, обозначим его через<Ро(М ) =f (a, dr),UJKliгде М 0КМ , есть какой-либо путь, соединяющий точки М 0 и М и лежа­щий в полученной односвязной области.

Пусть теперь M 0LM любой222В екто рн ы йанализпуть в нашей двусвязной области, например изображенный на черт. 64.Тогда он может быть заменен следующим путемm 0l m k m0-\-mqk m.Обозначим циркуляцию вектора а по контуруM0L MK M0 черезja :(j) (a, dr) = fi;MaLlSXMtтогда мы, очевидно, получим, чтоf (a, dr) = \> .+ f (a, dx) = yQ{M)-\-v.м<£мы'киЗаметим теперь, что циркуляция [i будет одна и та же для всех зам­кнутых контуров, лежащих в нашей двусвязной области, один и толькоодин раз пересекающих сечение £ в направлении, указанном на черт. 64стрелкой, ибо все такие контуры могут быть непрерывной деформациейпереведены друг в друга, не выходя из пределов области.

Характеристики

Список файлов книги