1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 30
Текст из файла (страница 30)
е. мы должны написать[ V , [a, b j ] = (bc>v ) а — bc ( у , а).Точно такие же рассуждения приводят к формуле[ V , [ае, Ъ] ] = ас (V , b )— (ае, V ) b .Складывая оба эти выражения и откидывая ненужные теперь значки с,мы придем к формуле[ V , [a, b] ] = (b, V ) а — b ( V , a) -f а (V , b) — (а, V ) bили, что то же,rot [a, b] = (b, V ) а — (a, V )b -J- a div b — b div а.(б)В качестве следующего примера вычислим grad (а, Ь). Прежде всегоимеемgrad (a, b) = V (a, b) = V (a, be) - f V (ae,b ).Но из (5) ясно, что мы имеем формулуВ (С , А ) * А (В , С ) — [С , [А, В ] ]или, произведя циклическую перестановку А, В, СС (А , В ) = В (С, А ) — [А , [В, С] ];(7)переставим в этой формуле А с В :С (В, А ) = А (С, В ) — [В , [А, С] ] .( 8)Положим в формуле (7) (т = V , А = а , В — Ь й, тогда получимV (a, Ье) = Ь Д У ,а ) + [[ Ь е, у ] , а ],эта формула верна, но непригодна для нас, так как в правой частистоит сложная операция [ [Ь, У ] , а ] , а мы хотим все выразить черезболее простые операции.
Поэтому применим формулу ( 8), положив С = V ,В = bt,'A = а и взяв ее в формеС (В , A ) = iB , С) A -j- [В , [С, А ]];в результате получимV (bf, а) — (Ь с) У ) a -J- [Ь,, [ У , а] ] ,-184В екто рн ы й анализТочно так же мывыведем,применяяформулу(7)с С »— V ,А«*=а„ В — bV (а „ b) - (а,, V ) b 4- [ас, [V , Ь] ].Складывая оба выражения и отбрасывая ненужные теперь значки с,получимV (a , b) = (b, V ) a + [ b , [ V , a ] ] - f (a, V ) b 4 - [ a , [ V ,b ] }или, что то же,grad (a, b) = (b, V ) а(а, V ) b - f [b, rot а] 4- [a, rot b ).(9)Положим, в частности, в этой формуле Ь = а. В результате получимgrad-y = (а, V ) а 4- [a, rot а ] .(10)2.
Операции grad, div, rot, (v, V ) могут быть названы диферен-циальными операциями первого порядка.Рассмотрим теперь основные диференциальные операции второгопорядка. Так как*grad<р и rota суть векторы, к ним можно применитьоперации div и rot, в результате получаем четыре операции div grad<p,rot grad <p, divrota, rot rota; к расхождению же div а можно применитьтолько операцию grad, в результате получится grad diva. Мы уже видели (§ 14), что\divgrad? = (V , V<p) = (V , V ) ? = уз<р = Д<р.(И )Далее, по формулам (21) и (26) предыдущего параграфа, вихрь градиента и расхождение вихря равны нулю:rot grad <р=div rota =0,0.. ( 12)Х^З)Символическим способом эти формулы получаются моментально, ибоrot grad <?= [ V , V <f] = f V , V ] <р= О,так как векторное произведение двух одинаковых векторов равно нулю.Точно так жеdiv rota = (V , [ V ,a ] ) * » 0,так как скалярно-векторное произведение трех векторов, иэ которых дваодинаковы, обращается в нуль. Однако, такой вывод формул (12) и (13)нужно признать скорее мнемоническим правилом, чем строгим доказательством, так как обращение с символическим вектором V требуетИзвестной осторожности,Н ек о т о р ы е ф о рм у л ы с д и ф ерен ц и а л ьн ы м и о п ера ц и ям и185Рассмотрим еще несколько важных для дальнейшего формул.
Пусть9 и ^ две скалярные функции точки. Составим векторa —*cpgracty.(14)Тогда по формуле (2) будем иметь(grad cp, grad Ц =* 9 A ty Щ (graddiv I f grad ty) = ©div gradgrad <}»). (15)Применим теперь формулу ГауссаJ diva dV=^> andS\vазаметим, что в рассматриваемом случаедфв результате получим так называемую формулу Грина/+ (gradср,grad ф )} d V ={ф ср ^ d S ,(17)которая при <{<= 9 превращается в формулу/{<fA'-P + (grad (p )a}d V '= (f(18)а при f ■« 1 — в формулуIПоменяем теперь в формуле (17) 9 и | местами и вычтем получившуюся в результате формулу/Щ - f (grad 4», grad 9) } dV = | .ф^ dSвиз формулы (17). Мы найдем тогда вторую формулу Грина(20)Конечно, при всех этих выводах предполагается, что те функции,с которыми приходится иметь дело, также, как их производные, которые встречаются в формулах, являются непрерывными функциями в рас*сматриваемой области.
Но легко видеть, что эти формулы будут верны,например, и тогда, когда вторые производные функций 9 и ф терпятна некоторой поверхности разрыв.186Векто р ны йанализИз формулы (19) вытекает следующее представление оператора Д?:Д§ dir**5Д ф = И т -£— -ту----••v+o(21)VБели теперь мы имеем поле некоторого вектора а, то мы можемопределить вектор V 8а = А а аналогичным соотношением^ (n ,V )a r f 5V 2a = Д а = lim —— и --- = lim —----- —---- .v >0vv +oV(22)Если вектор а имеет составляющие av ау, а я:а = \ах- f j Iа(23)то очевидно, чтоД а = limF -»0sV— iAa;-f- jA a ^ - f кД й„(24)так что проекциями вектора Да являются Дах, Дау, Да,.Аналогичной формуле (19) является формулаg)A a iK = § - |^ rf5 = | ( i i , V)aflf5.(25)Применим теперь символический метод к вычислению вектора rot rot аrotrota = [ V , [V , а ]]= V ( V , a ) — (V , V ) a = V ( V , a) — V ‘Ja |илиrot rot a = grad div a — Д a.(26)Дадим более строгий вывод этой формулы.
Вычислим для этого составляющую вектора rot rota по оси х:дrot-rot а = ^д j дах\ дгд L■а - а ? го1« а ахд [ даид а\I -дх — w 1 1■да, \ _ / д*а„ , д2ав \дх ) ~~ \(Ъсдудхdz )( &2ах . д-ат \\ ду*дг8 / ■Неко то ры еф о рм улыприбавляя и вычитая поrot ro ta = ( 4 ^+ —сд и ф ерен ц и ал ьн ы м ио п ерац и ям и187, получим:'- + -^-\ дх2 ^ дхду ' дхдг)( -^+ - ^ * - 4 - - ^\ дха'ду*dz2 /=d iv a - Д а.-.^так как такие же равенства имеем для осей у и z, то, умножая их соответственно на i, j, к и складывая, сразу получимrot rot а = grad div а — Да.3.Рассмотрим теперь некоторые применения выведенных в этом пара*графе формул.М ы вывели в § 16 п.
6 основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости4 f ~ H v ’ V )vВоспользовавш исьв другой формед\= F — у grad/;.(27)формулой (10), можем переписать это уравнениечА1— [v , ro tv ] + grad — = F — — gTad/7.(28)Сделаем теперь еще добавочные предположения, а именно:1.) Будем считать, что вектор внешней силы F, действующей на единицу массы жидкости, обладает потенциалом U (такие силы называютсяконсервативными) :F = — grad U ,(29)Например, если действует сила тяжести и ось z направлена вертикально вверх, тоU — gz.(30)2) Будем кроме того считать,функцией давления:чтоплотностьжидкости р являетсяр =/(/>);в этом случае жидкость называется баротропной.Это имеет место, например, для несжимаемой жидкостидалее это имеет место для тех движений газа, которыеизотерм ически, т.
е. при постоянной температуре, так какчае, как известно из физики, по закону Бойля-Мариотта,(31)(р = const);происходятв этом слуимеет месторавенство/? = / ?Гр ,т. е. — = const; наконец равенство (31) имеет место иРдля тех движений газа, которые происходят изэнтропически, т. е. так.188Векто рн ы йанализчто выполняется равенствоРсгде х « —есть отношение теплоемкостей при постоянном давленипри постоянном объеме; из термодинамики известно, что при выполнии равенства (32) движение каждой частицы жидкости происходиткакого-либо притока или отдачи тепла.Введем теперь в рассмотрение функциюс,и заметим, чтоgrad Р = F '{p ) g r a d g r a d j P = -^-grad/>.Поэтому уравнение (28), при выполнении упомянутых выше деусловий, может быть переписано так:^— [v, rot v] = — grad (£/+ Р j- ^ ) = — grad П,гдеn = t/ + P + ^ .(3Возьмем теперь какую-нибудь точку жидкости М 0 и проведем чер>нее линию тока М 0М .
Составляя криволинейный интеграл по этой лнии тока от обеих частей предыдущего равенства, получиммммI ( w ,dT) ‘~M,f(tv,rotvl’ d r ) = —Mtf(gradП , dr).(35м„Но в каждой точке линии тока касательная к ней имеет то же направление, что и вектор скорости V, т. е.поэтому на линии тока М 0М( [v, rot v], dr) = (rot v, [dr, v ] ) — 0;в результате равенство (37) принимает видмлгI д\dt%, dr j = —ГЩ= П (Ж р) — П (М ),(38)Н еко т о ры еф о рм улысд и ф ерен ц и а л ьн ы м и189о п ерац и ям иВ частности, в случае стационарного движения, т. е.
движения, в коом V, р и р не зависят от времени t, а могут зависеть только отфдинат х, у, Z, мы будем иметь, что щ - = 0 и, следовательно:П (A J) = П(Л10) = const,(39)е. в случае стационарного движения идеальной баротропнойедкости, находящейся под действием консервативных сил,ыъ каждой линии то к а сумма(40)сраняет постоянное значение.
Это равенство называется уравнеем Бернулли ; при этом U называется потенциальной энергией,—внутренней энергией и —кинетической энергией (отнесен-1 к единице массы). Таким образом, при указанных условиях суммазётнческой, потенциальной и внутренней энергий сохраняет постоянноешение вдоль линиии тока. Например, для случая несжимаемой жид:ти, находящейся под действием силы тяжести, будем иметь(41)Возвращаясь к уравнению (35), т. е. считая условия 1) и 2) выполшыми, сделаем теперь другое предположение, а именно, что рассматваемое нами движение жидкости является безвихревым, т. е.
чтоv — grad (p.(42)Мы знаем, что в этом случаеrot v = 0 ,(43)лее мы имеем очевидное равенство(44)следовательно, равенство (35) принимает видgrad•куда следует, ч= — grad Пcty , т._тоне зависит от положения точки и можетвисеть только от времени, так что(4 5 )190В екто рн ы йанализво всей области, занятой жидкостью • Это равенство называетсяинтегралом Коши; оно имеет место для безвихревых движенийидеальной баротропной жидкости, находящейся под действиемконсервативных сил.Если жидкость несжимаема, то получим% .+ u + i+ T - « f >(«>и можем отсюда найти р. Мы знаем, что в этом случае уравнение неразрывности имеет видdiv V = 0(47)или, если воспользоваться (42),Д? = 0._(48)Рассмотрим теперь случай сжимаемой жидкости.
В этом случае уравнение неразрывности имеет вид (§ 15, формула 42)gradp)-j-pdiv v = 0или(grad'f, grad p) 4 -рд<р==0./.(49) -_..■■■ чУравнение же (45) принимает вид-fР + у (&rad <р)2= g(t)(50)и так как Р есть определенная функция от р, то получилось два уравнения с двумя неизвестными функциями р и ср.Остановимся в частности на случае малых колебаний сжимаемой жидкости при отсутствии внешних сил.
Таким образом надо положить U = 0и кроме того надо пренебречь всюду квадратами производных в сравнении с их первыми степенями. В результате получим:^•4-рД ? = 0,(51)^ +Р =(52)тСделаем теперь замену функции ?, положивt? = ф+ /1Неко то ры еф о рм улысд и ферен ц и альн ы м ио п ера ц и ям и191огда очевидно будетдодФА.о ==А Ф,с поэтому предыдущая система примет вид:^+ ДФ = 0,(53)дФж + р=0Продиференцировав последнее уравнение потt,получимд2Ф . д РпW + S t = °-<55>од Р __ др__________dt'dtdp д р __ dp d i g рp dp dtdp dtд р __ j1f(p) dtак как колебания газа предполагаются малыми, то р и р мало отличайся от значений р 0 и р0, соответствующих состоянию покоя.Обозначим через с2 значение-2 __/КД\(56)С --Ш 'ычисленное для значений р0 и р0 величин р и р, тогда можем считать, чтодРdt= с*-д Igрdt(57)в силу уравнения (53) будем иметьдР— =- с2Дф.(58)Гоэтому уравнение (55) приводит нас к уравнению для функции Ф( РФ__С2Лф = 0,(59)оторое носит название волнового уравнения.Вернемся еще раз к уравнению (35), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
