1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Так как на элементповерхности dS действует по вышесказанному сила давления— ptidS,то главный вектор поверхностных сил будет равен_(j)pndS.вСогласно началу Даламбера, получаем равенство^ ( t r - t ^ ) d V - < £ p n i S = 0.УПрименяемГаусса(49)8теперьформулу (6 ) п. 1 § 15, аналогичнуюг.Ф pndS — I grad pdV,sформулеУв результате получаемлdvpF — P~dt — grad-Pj d V — O,и так как это равенство справедливо для любого объема V, то необходимо должно быть,а\pF — p rfF —g ra d /7 = = 0или^= F—1-grad p.(50)Это и есть основное уравнение гидродинамики идеальной жидкости.Часто его пишут еще в форме^ r + ( v , V ) v = F --- jj- grad/;,(51)используя известное нам соотношение между полной и частной производными вектора (§ 13, п.
2).В качестве последнего примера рассмотрим электростатическое поле.Мы уже знаем (§ 12, п. 6 ), что электрическое напряжение Е, т. е. сила,действующая на единичный заряд положительного электричества, помещенный в данной точке, имеет потенциал:Е = — grad <р.Вычислим поток этого вектора через некоторую замкнутуюность S] по теореме Гаусса этот поток равен§ EndS = f diy E dV,(52)поверх(53)О ператор Га м и льто н а169Но мы имели ранее (§ 12 п.
6 ), что в случае электростатическогополя, создаваемого п зарядами ev е2 , . . . е п, находящимися в точках М „. . . М„, потенциал имеет выражение(54)где г„ г2 , . . . г„ расстояния от точек M v М 2 ...М „ до переменнойточки Му в которой вычисляется значение потенциала. Следовательно,в этом случаеЕ = — grad(55)Сравнивая это выражение с выражением (18) § 14 и принимая вовнимание формулу (2 0 ) того же параграфа, мы легко увидим, что(56)где сумма правой части распространена на те заряды, которые находятся внутри поверхности.Представим себе теперь заряды, непрерывно распределенные в пространстве, и пусть р означает плотность этих зарядов, тогда в элементе dV будет находиться рdV зарядов, а внутри поверхности S! будет/ pdV зарядов. В этом случае формула (56) должна быть заиметьсяvменена следующей(57)Vsсравнивая ее с формулой (53), мы видим, что можно принятьdiv Е = 4 тер,(58)т.
е. расхождение вектора электрической силы, можно т рак т овать как умноженную на 4~ плотность зарядов, непрерывнораспреоеленных в пространстве. Так какdiv Е = — div grad ® — — Дер,тоД® =s — 4тср;(5S)уравнение такого типа называется уравнением Пуассона. Там, где зарядов нет, т. е. где р = 0 , онэ превращается в уравнение ЛапласаД® Ц0.(60)Все тела делятся на проводники и непроводники. Проводники обладают тем свойством, что внутри них электрическая сила обращается170В ек торны й анализв нуль: Е = 0 ; следовательно, внутри проводников grad © =вательно, потенциал © есть постоянная величина0и, следо<р = const,(61)кроме того, так как внутри проводника div Е = 0 , то р = 0 , и следовательно, внутри проводника не может быть электрических зарядов, последние должны сосредоточиваться на поверхности проводника.Задача 116. Чему равняется интеграл по замкнутой поверхности S,ограничивающей объем V(pr (a, n) dS,sгде г — радиус-вектор, а —постоянный вектор, п — вектор внешней нормали к S.Р е ш е н и е .
По формуле (13) (J)(a,n) rdS =f (ay)rdVt но по за-sдаче 103 мы имеем (а,у)г = а, следовательно (р(а,п)Гй& =sЗадача 117. Найти значение интегралаJadV =aV .v(j) (r,a)ndS.8О т в е т . Va, гденостью S.V есть величина объема, ограниченного поверх§ 16. Циркуляция вектора вдоль контура. Вихрь вектора.Его составляющие.
Теорема Стокса.1.При изучении градиента (§интеграла вектора а вдоль кривой L: /12)мы ввели понятие линейного(a, dr) и показали, что обращениеLв нуль этого интеграла, взятого по любому замкнутому контуру, естьнеобходимое и достаточное условие того, чтобы вектор а был градиентом некоторой однозначной функции,а — gradtp,д©д<о= ф<?©...( 1)Ряссмотрим теперь поле любого вектора а (г). Более подробное изучение линейного интеграла по замкнутому контуру приводит к понятиюнекоторойдиференциальной операции, которая, будучи примененак вектору а, дает новый вектор, называемый вихрем векгора а.Итак, рассмотрим замкнутую кривую линию С и взятый по этойкривой криволинейный интеграл§ (a, dr) — j (ajtx-\ aydy-\-afdz).СQЦ и р к у л я ц и я в е к т о р а вдоль к о н т у р а171Если кривая L плоская, то она ограничивает некоторую плоскуюплощадь S, которая, согласно сказанному в § 6 , может быть представленавектором, равным по величине S и имеющим направление положительнойнормали к площадке S, т.
е. нормали, направленной в ту сторону, откуданаправление обхода контура L кажется совершающимся в ту же сторону,как направление поворота от оси х к оси у вокруг положительной оси z(при левой системе координат — по часовой стрелке). Если п есть единичный вектор положительной нормали, то мы имеемS — 5п,(3)в проекциях же на оси координат мы будем иметьS + SJL+ 3J+ SJL(4)Если мы площадку S спроектируем на плоскость ху, то получимплощадку, ограниченную контуром С е, являющимся проекцией контура С.Покажем, что эта площадка представляется какраз вектором S tk, направленным по оси z в туили другую сторону. В самом деле, в § 6 былодоказано, что величина проекции площади равнапроектируемой площади S, умноженной на косинус угла между плоскостью S и плоскостьюпроекции, в настоящем случае |cos (n, z) | иследовательно величина проекции площади равнаS |cos(п,2)| = |Sf |.С другой стороны, если п составляет с осьюz острый угол и выбрана, например, (как показано на черт.
57) левая система координат,то С, направлена по часовой стрелке (если смотреть с положительной стороны оси z), так чтовектор, представляющий ограниченную контуром УС , площадь, надо направлять по положительной у,оси z, т. е. надо брать равным |S, j k = S tкЧерт. 57.(ибо в этом случае (5 ,| = = 5 f). Если же уголп с осью z тупой, то С, обходится против часовой стрелки, и площадь проекции надо представлять вектором — |St |к,опятьравнымStк,ибовэтомслучае|St |= 5 1 cos (п, z) | == — S cos (n, z) — — 5 ,.Если С кривая, не лежащая в одной плоскости, т.
е. кривая двоякойкривизны, то она не ограничивает плоской площадки; в этом случаеможно рассмотреть кривые поверхности, ограниченные контуром С, этикривые поверхности могут быть представлены вектором S, который получается следующим образом. Проектируем контур С на три плоскостикоординат OyztOzx,Oxy] полученные проекции Сх,Су)Св огранич1ваюттри площадки, которые могут быть представлены векторами S J , S J .S.к, тогдагS « I S , + j S , + kS,.В172екто рн ы йанализВычислим теперь несколько криволинейных интегралов, которые нампонадобятся при вычислении общего криволинейного интеграла ( 2).Прежде всего очевидно, чтоиСС(6)ибо в соответствующих точках контуров С и С, координаты х и уодни и те же, и только координаты z — разные.
Но легко видеть, чтогде у х и у 3 означают ординаты точек Ж , иНо (ух— у 2) dx естькак раз часть площади, отвечающая элементу dx\ суммируя по всемэлементам, найдем:*(j) ydx = — 5 ,и, следовательно,(8 )счто и требовалось доказать. Точно так же доказывается, что(9)2.Возьмем теперь фиксированную точку пространства М, которуюудобства ради, перенесем на время в начало координат. Рассмотрим далеерасположенный вблизи точки М бесконечно малый контур С, на котором задано определенное направление обхода. Предположим наконец,что соответствующий всем поверхностям, натянутым на этот контур С,вектор S = 5 n стремится по величине к 0 , а по направлению — к фиксированному направлению, орт которого обозначим через Пп.Ци ркул яц и явекто равдо ль173ко н тураПоставим теперь задачу вычислить значение линейного интегралавектора а вдоль С или, как его называют иначе, циркуляцию а вдоль С:(j) (a, dr) = £ (axdx -f ciydy -f- a j i z ).ооТочнее говоря, вычислим значение следующего предела:(j> (a, d r)lims->о(j) (axdx + aydy -f- atdz): lim( 10)S">0когда контур С стягивается, к точке М .Достаточно найти, чему равняется(j) ax(x,y,z)dxlim 'S-»оРазлагая ах(х, у , z) в ряд Тейлора по степеням х, у, z и ограничиваясь только членами первой степени, будем иметьа^х,у, z) = ах(0 , 0 , 0) - f х~\~У, .^ / о + еаЩ+даdzгде индекс О указывает, что нужно брать значение указанных произ_дададаводных в точке М (как всегда производныеи т# д*предполагаем непрерывными) и где г1} е2, е3 означают бесконечно малыевеличины.Проинтегрируем вдоль кривой С, причем постоянные множители вынесем за знаки интегралов§ ах(х,у,z) dx = ах(0,0 , 0) § d x + № A j> xdx-\С''° 0С4[ту)о§ydx+( ж )о$Ых+оОС ${хч+л + ге“) л -Применим выведенные выше формулыф dx = <S>xdx = 0, <§>ydx = — S e- — S cos(n, z)t& z d x = S t — Scos (rCy)\174Векторный анализпредположим далее, что контур С обладает таким свойством, что еслинаибольшее расстояние точек контура от М обозначить через р, тодлина контура будет порядка р, а величина S порядка f»а, тогда легковидеть, чтоф (x*j -|- уз2 -|- гв8) dx = S*,огде •— бесконечно малая величина.
Итак1J -ф а* (X ,y , z ) dшx =cos j | | § + (cos (£ у ) + a>ооткуда в пределе при 5 —►О получимlim й а*^Х/ даЛ, /&аАл= Ч rfj)»C0S("“'2) + ( d ? lC0S|аналогично получаем еще две формулы (циклической перестановкой х, у, г):^ а<АУlira в 9/дада \^(даА-'**•,оа- ^ )co s (п „ * ) + ( - Д с о з ( п о2),limS->0Складывая все три выражения и отбрасывая значок О, получим следующую формулу:spa,dr)/да,д а\^[дах= ( « Г — 5f ) cos (" ' •*) +/да„д а\^+ (d 3 r_ ^ r j " s(n' z)-да\^I ? ) cos (п-» +(|1)Таким образом, подобно тому, как значение^ позволяет вычислить срв соседних с М точках, лежащих на определенной прямой, значениетолько что найденного выражения позволяет вычислить приближенноциркуляцию по любому достаточно малому контуру, окружающемуточку М и лежащему в плоскости, перпендикулярной к вектору п.3.Принимая во внимание, что если мы имеем вектор А, проекции которого на оси координат суть Ах, Ау, As, то проекция его на любоенаправление п будет равнаА» “ А* cos (iO O + A cos (n^y) + A, cos (пТг),Ц и ркул яц и я век т о ра вдоль кон тура175Мы можем заключить в силу формулы ( 11), что если ввести вектор rotaс проекциямида.да,,= dzдх’rot.a =412)дахдау9дхдуто проекция этого вектора на любое направление п (в том числе и нанаправления х, у, z) будет определяться формулой{л, dr)Hmj»_____s-*o5t _(13)— rox» a -Э та последняя формула дает определение любой проекциивектора rota и притом, как видно, совершенно независимое отвыбора координатной системы.Полученный нами вектор rot а называется вихрем вектора а; обоз*начение его rot а происходит от латинского слова rotor (вращатель).Часто вихрь вектора а обозначают через curl (читается кёрль, что значит по-английски локон, завиток).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
