1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

— lim ■ - -— ■— — —— — -jdtAt->0ДtAmo,аж|MMл ш|&t->оД£мь'134В ек торн ы й а н а л и зпереходя к пределу, получим,стремится к М и чтов силу того,I И Р ММм И м аds.что при Д/-> О точка„л,iiM'-wМ'И Ш ,At-*o btследующую формулуd'sд<? . д<эдо .-ti=W + W Si.l. чlд<* . .. .ЗГ +(V-Biad^-Если мы рассматриваем векторную функцию поля а (г,t), зависящуюот времени t, то определение частной и полной производной будет со­вершенно аналогично таковым для скаляраdfc = тв)dtAt->obtda __ Jim a(M',t-\-bt) — a(M,t) ^dt tt->oAtСвязь между частной и полной производной по t вектора анасливается так же, как для скаляра. Рассматривая а (х, у, Z,сложную функцию от t через посредство х, у, г, легко найдемуста*какt)d a __да , _^а dx , да dy , да dz_ _dtdtdx dtdy dt ‘ dz dtda .da ,da ,dar s t + vоткуда"(18)To же самое получаетсяформулы (17) следует, чтои непосредственно, ибо прежде всего изаЛ = \\т a(M ',t+ bt)- a(M ',t) , ]1ш a(M ',t)-a(M ,t) i j ММ'dttt-w^t1д*_>.оММ'д#->о Дtи, замечая, чтоlim a(M ',f)- a(M ,t)им’ХоММ'получимdada .

Щ dadaЩ ds ’ПОТОК135ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬЧлен (v, V о ) в формуле (1 5 ) и (v, V ) а в формуле (1 8 ) называютсяк о н в е к т и в н ы м и ч л е н а м и , так как они появляются только придвижении сплошной среды и связаны с переносом (конвекцией) частиц.В качестве примера рассмотрим ускорение частицы жидкости. Чтобыего вычислить, мы должны сравнивать скорости о д н о й и той ж е ч а ­с т и ц ы в два соседние момента времени § и t-\-At, поэтому векторускорения частицы жидкости выражается полной производной вектораскорости V, для которой по формуле (18) имеемdvdv , .vd r = d F +' (v’ v ) v(19)В составляющих будем иметьdvxЩdvx .» +1-dv, .dv, .dv.f ill/ОЛЧ()§ 14.

Поток вектора через поверхность. Расхождение вектора.Его аналитическое выражение. Теорема Гаусса. Источники.1.Рассмотрим поле какого-нибудь вектора а(г) = а (х , у, Z), т„ е.предположим, что для каждой точки пространства или некоторой егочасти задано значение этого вектора. Рассматривая значения этого век­тора в окрестности некоторой фиксированной точки М, мы виделив предыдущем параграфе, что изменения этого вектора вблизи точки Мхарактеризуются с точностью до бесконечно малых второго порядка ве­личинами производных вектора по всевозможным направлениям S:dads’так как, зная эти производные и рассматривая вблизи точки М сосед­нюю точку М ', лежащую на луче, имеющем напраьление единичноговектора s, мы будем иметь приближенное равенствоа (Л /) = a(/W)-f-^— ММ'.Мы видели, кроме того, что всясовокупность бесчисленного коли-daчества производных —^— по всевозможным направлениям s определяетсяdsпростой формулой ( 2 ), если известны производные поперпендикулярным направлениямdadx *dady 'dadzтремвзаимно­*•Теперь мы приступим к изучению еще некоторых величин, д о не­к о т о р о й с т е п е н и характеризующих изменения векторной функции а (г)136В ек торны й анализв окрестности рассматриваемой точки.

Этими величинами, играющиминеобычайно важную роль в векторном анализе, являются, с одной сто­роны, скалярная величина, называемая р а с х о ж д е н и е м в е к т о р а а,и с другой стороны — векторная величина, называемая в и х р е м ве к ­т о р а а.Отметим сразу же, что значение этих величин для векторного ана­лиза и для многочисленных приложений последнего тесно связано с темобстоятельством, что эти величины естественно появляются при рассмо­трении поверхностных и криволинейных интегралов от вектора а . Намногочисленных примерах мы увидим, что при изучении задач механикии физики являемся совершенно необходимым рассмотрение объемных,поверхностных и криволинейных интегралов.

Значение последних былоуже до некоторой степени выяснено в § 1 2 , где мы видели, например,что криволинейный интеграл от вектора силы лает значение работы,совершаемой этой силой, и что обращение в нуль криволинейного инте­грала от вектора а по любому замкнутому пути указывает на то, чтовектор а есть вектор потенциальный, т. е. является градиентом некото­рой скалярной функции <р. Откладывая дальнейшее изучение свойствкриволинейных интегралов и связанных с этим свойств вихря вектора,мы рассмотрим в настоящем параграфе вопрос о поверхностных инте­гралах, о расхождении вектора и об его свойствах.2 .Возьмем в пространстве некоторую поверхность S, замкнутую илинезамкнутую.

Определим теперь п о в е р х н о с т н ы й и н т е г р а л в е к ­т о р а а п о п о в е р х н о с т и S или, как его чаще называют, п о т о квектораа через п ове рхн ост ьS следующим образом. В каж­дой точке поверхности проведем единичный вектор нормали п; мы усло­вимся при этом в том случае, когда поверхность S — замкнутая, брать всег­да направление внешней нормали; в том же случае, когда поверхностьS — незамкнутая, мы будем брать по произволу одно из двух направленийнормали (оговаривая, конечно, какое из этих двух направлений мы вы­бираемj, однако так, чтобы направление нормали изменялось бы непре­рывно, когда мы переходим от какой-либо точки поверхности к со ­седним.Если а — значение вектора в некоторой точке М поверхности S,а п — единичный вектор нормали к поверхности в той же точке, то,как всегда, черезап = (a, n ) = ахcos (п Г *) + avcos Ш У) + а .

cos (п> г)мы обозначаем проекцию вектора а на направление нормали, т. е. нор­мальную составляющую вектора а .°азделим теперь поверхность S на большое число малых элементов;каждый из последних изображается, как это было выяснено в § 6 , век­тором AS. Например, если мы впишем в поверхность 5 многограннуюповерхность, каждая грань ее будет изображаться вектором, направлен­ным по нормали к этой грани и равным по величине площади этойграни. Составим для каждого элемента скалярное произведение (a, AS)н образуемсумму \ (a, AS), распространенную по всем элементам по-ПОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ137верхностн.

Эга сумма стремится к пределу, когда все элементы поверх­ности стремятся к нулю, если только сделать предположение (котороемы всегда будем считать выполненным), что поверхность может бытьразделена на конечное число кусков, каждый из которых обладает не*прерывной кривизной, и на каждом из которых вектор а меняется не­прерывным образом.

Получаемый предел обозначается через(1 )и называется п о в е р х н о с т н ы м и н т е г р а л о м в е к т о р а а по п о ­в е р х н о с т и 5 или п о т о к о м в е к т о р а а ч е р е з п о в е р х н о с т ь S.Если численную величину элемента поверхности dS мы обозначимчерез dS, то мы, очевидно, будем иметьdS = ndSи поэтому(a, dS) = (a, n) dS = апdS.Поток вектора а через поверхность Щ может быть поэтому записантакже в одной из следующих формJ(a, dS) = J and S =sf (a, n ) r fS = f [axcos (iQc) -f ayc°s (tCy) -f8S' -f-at cos (n, z)] dS(2)Наконец, вводят следующие обозначенияcos (п, х) dS = dydz,cos (п, у) dS = dzdx,cos (n, z) dS — dxdy,понимая, например, под dydz проекцию элемента dS на плоскость yz,взятую с надлежащим знаком (положительным, если нормаль к поверх­ности в той точке, в которой рассматривается элемент, образует с осью хострый угол, и отрицательным, если угол нормали с осью — тупой)Тогда поверхностный интеграл принимает следующий вид:f (a, dS) = J { a xd y d z a ydzdx-\~atdxdy).[b)sВычисление поверхностных интегралов производится по обычным пра­вилам вычисления двойных интегралов.3.Рассмотрим сейчас d качестве примеров несколько поверхностныхинтегралов, которые понадобятся нам в дальнейшем.Векторны й138анализ1)Пусть вектор а есть постоянный вектор а0.

Тогда, если 5 замкнтая поверхность, то„ф (а0, <*S)— 0.(4)вВ самом деле, в силу постоянства вектора во, его можно вынестииз-под знака интеграла, так что можно написать$ (а0, rfS) = (a0, | dS),вно, как было установлено в § 6 ,равен нулю, т. е.«п. 4, векторф rfS =замкнутой поверхности0,(5 )sиными словами(j) cos(n, x)dS — 0, <j) cos [п, у) d S — 0, (j) cos (n, z) dS — 0,sав(6)поэтому, действительно, получаем формулу (4).2)Пусть теперь а = Г — радиусу-вектору точки. Докажем, что в этослуча嫧 ( r , d S ) = ZV,(7 )sггч V — объем, ограниченный замкну­той поверхностью S. В самом деле,рассмотрим какой-либо бесконечномалый телесный угол, выходящий пзначала координат, и пусть он выре­зает из поверхности несколько эле­ментов.Рассмотрим для опреде­ленности случай, изображенный начерт.

50, когда такой телесный уголвырезает из поверхности три эле­мента.Если радиусы-векторы из точкиО,значить через гг, Г5, Гд, а единичные векторы нормалей к этим элементамчерез П], По, п 3, то, очевидно, что (г ь H j) есть высота пирамиды с вер­шиной О и основанием M lN l = d S u поэтому(Гц < Й | )* я (г 1э H j )d S i = 3 об . OM xN ltточно также (г2, п .) есть взятая с о знаком минус высота пирамидыс вершиной О и основанием M^N^ = dS<j, поэтому(п2, dS'^) =(Гд, щ ) dS% '==3 об.

OM%N2,и точно также(г* rfSa) = 3 об. ОМ 8/Ve.П ОТОК ВЕКТОРА ЧЕРЕЗ ПОВЕРХНОСТЬ139В результате получаем(Гц r fS j -j- (Г2, <tfS2) -f- (r g> rfS8) = 3 {об. OMiN l — об. OM 2 N%+■f об. С Ш 3Л/3 } = 3 (об. A ljA fjA V V j + об. ( Щ О Дт. e. как раз утроенный объем, вырезаемый из объема, ограниченногоповерхностью S, нашим телесным углом.

Повторяя это рассуждение поотношению ко всем телесным углам с вершиной в О , мы и получимв результате суммирования формулу§ (г, dS) = 3V.3)Вычислим следующий поверхностный интеграл по замкнутой по­верхности<£ zcos(n, z) dS = у zdxdy8ви докажем, что он равен объемуV,ограниченному поверхностью S :(j) z cos (n, z) dS =V.(8)Рассуждение будет совершенно аналогичнопредыдущему, только рассечение надо произ­водить при помощи цилиндров с образую­щими, параллельными оси Z. При этом проповерхность S мы предполагаем, что прямые,параллельные осям координат, пересекают еев конечном числе точек.Рассмотрим теперь какой-нибудь цилиндр,построенный на прямоугольном бесконечномалом основании d£, лежащем в плоскостиху, и имеющий ребра, параллельные оси z(черт.

51). Пусть этот цилиндр пересекаетповерхность 5 в четырех точкахТе элементы cos (п, z) dS, которые выреза­ются цилиндром у точек М х и М3, равныdZ, ибо нормаль п к поверхности S образуетс осью z в точках Мх и Ма острые углы;/^напротив, элементы cos (n, z) dS, вырезаемыеЧерт. 51.цилиндром у точек Ма и M it надо считатьравными — ЙЕ, так как нормаль п в этихточках образует с осью z тупые углы. Обозначая 2 -вые координатыточек Мх, уИ2, М3, Мк соответственно через zv z2, z3, zit увидим, чтосумма элементов z cos (п, z) dS нашего поверхностного интеграла, со­ответствующих элементам поверхности, вырезаемым цилиндром, построен-140В ек торны й анализным на основанииравна(* !— za-j-za— zJd Z ,т.

Характеристики

Список файлов книги