1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 22
Текст из файла (страница 22)
е. что так называемая диэлектрическая постоянная е и магнит*ная проницаемость ji равны единице.Если мы имеем в точках Mltзаряды elf eit...e n и еслирасстояния точки Р до точек Mv Л/2»• •обозначить через. . rntП рои звод н а я век торато мы получим для потенциалавыражениеполя,понаправлениюпроисходящегоот этих зарядов,п* = Н г +11293 - ' + 7 *= 2i=lт -1<31>§ 13.
Производная вектора по направлению. Градиент одноговектора по другому.1.Будем теперь изучать векторное поле некоторого вектора а (г) —a (x,y,z). Иными словами, будем предполагать, что в каждой точкерассматриваемой нами области пространства задан вектор а.Нашей задачей является рассмотрение различного рода диференциальных операций с полем вектора а.Мы видели, рассматривая скалярное поле функции ср, что изменениефункции ср в окрестности некоторой точки М характеризуется векторомgrad ср. Этот вектор grad ср играет по отношению к функции ср (г) ту жероль, как обыкновенная производная f'(x ) некоторой функции f{x)играет по отношению к этой самой функции. С этой точки зрения и поотношению к вектору а казалось бы естественным ввести такую величину, которая играла бы роль производной, однако такой подход вывелбы нас за рамки векторного анализа.
Дело в том, что в то время, как срявляется скаляром, grad ср является уже вектором; подобно этому величина, которая могла бы играть роль производной для вектора а, оказывается уже тензором.Не желая уже сейчас вводить в рассмотрение тензоры, мы должныпоэтому несколько ограничить себя. Так, мы подошли к понятию grad ср,рассматривая сначала производную ср по направлению. Сейчас нам при*дется ограничиться исключительно только рассмотрением производныхот вектора а (г) по какому-либо направлению S.Как и в предыдущем параграфе, возьмем какую-либо точку М ипроведем через нее прямую, имеющую направление единичного вектора Sили кривую, касательная к которой в точке М имеет направление s.На этой прямой или кривой возьмем соседнюю с М точку М ', причемпусть длина дуги М М ' равна As.
Составим теперь отношение разностизначений вектора а в точках М ' и М к As:г(М ' ) — а (Л1) .Asпредел этого отношения при As-»- 0 (если таковой существует) называется производной вектора а по направлению s в рассматриваемойточке М и обозначается черезда„а ( М ') — а (М)Если на нашей дуге, начинающейся в точке М, мы будем отсчитывать длину дуги от точки М и обозначим ее через s, то а (х} у, г)U.
Е. К о ч и н. — Векторное исчисление9В ек торны й анал из130будет сложной функцией от s через посредство х, у, z и потому пообычному правилу диференцирования сложных функций мы будем иметьда __ да dx . да dy . да dz tdsдх dsду ds * dz ds *ноdx_. --'•V dy= cos(s ,x)\ ~,— .— cos (s, y);dz= cos (s, z),поэтому мы получаем соотношениеда-fc- =,cos (s, х)да .-j- +cos (s,y)да .,да-f cos (s,z) -d- ,(о\Щdyсовершенно аналогичное формуле (3) предыдущего параграфа для—.В предыдущем параграфе мы имели формулу ( 8 )~ W ~ (s>по аналогии с этим мы введем обозначениеi i = (s,v)a.(3)#Рациональность такого обозначения может быть обоснована следующим образом.
Составим скалярное произведение вектораs = i cos (s, х) -j-j cos (s, y) -j- k cos (s, z)щи символического вектора_• д . . д . ,дv - |^ + ^ ' 5 7 + k Й ? ’в результате мы получим новый диференциальный оператор(s, V ) = cos(s, х) —применение которогоCOS(s ,y) -0 - - f соз (s, z)—,к вектору а дает по формуле (3) как раз(4)da;поэтому обозначение (3) является совершенно естественным.Рассмотрим теперь несколько более общую операцию, а именно,введем понятие градиента вектора а по вектору V, который обозначается символом (v, V ) a . Чтобы определить эхот вектор мы можемпоступить, например, таким образом.
Составим формально скалярноепроизведение вектораv = te'.+J«V + kz'i131П рои зв од н а я вектора по направлениюи символического вектора V ; в результатеоператорполучим диференциальныйпоэтому под вектором (v, V ) a мы будем понимать вектор/(v, V) а - Vda ,K+да,да^ + Л-зг,..(в)Если вектор v имеет то же направление, что единичный вектор S,так чтоV= VS,где v = \x\есть модуль вектора V, то мы будем иметь/чve= v cos (s, x)\ vy— v cos (s, y); vt — v cos (s, z),и поэтомуили, что то же,{/>>COS (8, X)да+ COS ($,У)~^ 4- cos (S, Z)da |(v ,V )a = z ^ .(7)Итак (v, V ) а есть производная вектора а по направлениювектора v, умноженная на величину вектора v.Беря в формуле ( 6 ) за вектор v бесконечно малый векторdx ass IflfAT-(- jrfy 4- kdz,мы получим( * .V ) a - < f c | | + ^ | i+ ,f c | | j(8)и так как справа стоит da., то получаем весьма важную формулу(dx, v ) a = fi?a,(9)очевидно, аналогичную формулеdy = (dx, V ?).Проектируя обе части формулы (6 ) на оси координат, получим составляющие градиента одного вектора по другому:,,_ ч ,да, ,да.
,да,да„да„да„{ ( » ,V ) a J ,- « .- E/ + « , - ^ + *.-3r' .ifг- n »I (» . gda. .да. ,да.а ). - V. Щ + V, * * + V.-Щ.!(Ю)132В ек торны й анализМежду прочим, из этих формул следует, что{(V, v)a}* = (v, V aJ(И )и аналогичные формулы для осей у и z.Рассмотрим следующий пример. Пусть в пространстве задана системалиний, так что через каждую точку пространства проходит одна итолько одна линия системы. Пусть а есть единичный вектор касательнойк линии, проходящей через рассматриваемую точку. Выясним геометрическое значение (а, V)®П о самому определениюгде производная берется по направлению касательной к линии; но в п.§ 9 было выяснено [формула (37)], чтода6пdsгде п — единичный вектор главной нормали, а— радиусдля линии, проходящей через рассматриваемую точку.
ИтакЗадача 103.кривизныНайти, чему равно (с, V ) г, где г есть радиус-вектор.О т в е т : с.2.Градиент одного вектора по другому часто встречается в вычислениях. Мы сейчас остановимся на одном важном применении этогопонятия.Допустим, что мы имеем движение некоторой сплошной среды, например жидкости, и пусть поле скоростей в этом движении дается функцией v (Г, t), так что v есть вектор скорости частицы жидкости, п роходящей в момент времени t через точку М (г). Рассмотрим некоторуюскалярную функцию поля ср (г, t), например температуру различныхчастиц жидкости, причем мы предполагаем, что эта функция зависит иот времени t.Если мы желаем изучать изменение функции <р за некоторый промежуток времени, то мы можем поступать двояким способом, а именно,мы можем рассматривать изменение <р в д а н н о м м е с т е , или же мыможем рассматривать его д л я д а н н о й ч а с т и ц ы .
Разницу между этимидвумя изменениями можно уяснить на следующем примере. Если мы измеряем изменение температуры на поверхности земли, то мы получаем,очевидно, изменение температуры в данном месте. Если же мы находимсяна воздушном шаре, который уравновесился в воздухе и движется вместес воздушным потоком, то изменение температуры, измеряемое на этомшаре, может, очевидно, быть рассматриваемо как изменение температурыдля частиц воздушного потока.П ро и зв о д н а яповектораИзменение <р в данном месте характеризуется ч а с т н о йной и л и л о к а л ь н о й п р о и з в о д н о й ср п о t:Цdt=Urnл(->о133направлениюили м е ст (12)Дспри вычислении которой радиус-вектор точки М рассматривается какпостоянный.Чтобы охарактеризовать изменение ср для данной частицы за п ром ежуток времени Дt, мы должны за приращение ср взять разн ост ь междузначением функции ср в момент щШьД? в том положении частицы М ',в котором она находится в этот момент, и значением функции в момент tв начальном положении ее М .
Предел отношения этого приращ енияк Д / п р и А ^ - > 0 называется п о л н о й или и н д и в и д у а л ь н о й или с у б с т а н ц и о н а л ь н о й производной ср по t и обозначаетсяАat=„ш Йшд;->оа(13)Чтобы установить связь между частной и полной производными,проще всего заметить, что когда мы составляем полную производную отфункции ср (х, у, Z, t), то мы должны считать х, у , Z функциями от t,ибо частица, имеющая координаты х, у, Z, перемещается с о ск о ро ст ь юV, причем=Н о, рассматриваяполучимdxcp(x, y,d y __ dy jd t~ d tdydt=z, t)dx ,dx dt ', dy,d x V*dcpdyкакdzсложнуюя.<14>функциюотt,dy dy , ds dzdy dt ‘ dz dtdy, dydydz V*илиЭто же соотношение можно получить и более непосредственно.Прежде всегоdy _ Цгп <р(M'tt - f ДО — ср (М', f)v.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
