1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 17
Текст из файла (страница 17)
, hs ,ттГ = a cos — I -4- а sm — J-I----к.Вычисляемdrа . sas , , h ,= -----sin — i n ---- cos — j H----к,dsmm1 mm1 md*raS .a , S ,— - cos— 1 ---- - sm — j,ds2m2mmamad*rs .assm— l ---s-cos —**jO*** •j.dss~msmmm°Наконец определяем R и T:1R?г/ d*d?r\ds2 ’a2 /' s ,„s \m4 \COS /гаSn m )d*гd?v\ds22 /g2m4 *a/?1TОТ2a2 —f—/г2 ’a2d?r( cos2 — -j- sin2—mb \mmds2 * ds3dBr( dx_d?xds2' ds* ) __ a2h mK __\ds ’a2Id * rdftx \\ds2 | ds2 /Wk) k == -^-r- k ,Jm6h ______ h_m2«2 + Л2 *Таким образом кривизна и кручение винтовой линии постоянны.Кроме т о г о при положительном h у нас получилось положительное кручение. Н о при положительном h и левой системе координат мы имеемлевую винтовую линию.
Таким образом при левой системе координатлевая винтовая линия имеет положительное кручение, в правой жесистеме координат положительным кручением будет обладать праваявинтовая линия.Задача 75. Доказать, что если взять близкую к точке М 0 точкукривой М , отстоящую от М0 на бесконечно малом расстоянии 8s, торасстояния точки М от нормальной,, спрямляющей и соприкасающейсяплоскостей к кривой в точке М 0 будут соответственно порядка 8s, 8s2,8s3. При этом спрямляющей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к главной нормали, т. е. проходящая через в и Ь.Для доказательства разложим радиус-вектор точки в ряд Тейлора:r= r« + ('S )o8s+ 4 - ( S ) 48s>+ T ( ^ ) o8s*+ —НЕ.
К о ч н и , — Векторное исчисление798ноВ ек торны й_dr = <Jiанализd4пtPr1 dnds'2R * ds3R ds1 dRR 2 ds1I ___ l + J U ____ L « „ ,R ^ T]R> ds“ 7? j(no формуле (37) дляrfn \I, следовательно,ь.r - ,* - ''» 8‘ + 2 « .n ° !b ,+ e li_ ^ » Jl ; * 1 Д .Г.8s. + . .Rlds"°lЗаметим теперь, что расстояние точки М до нормальной плоскости" ■Уравно проекции AJ0M — T— Г0 на касательную, т. е. равно(г — Г0, <*о) = (70, 90) 8s + . . . = o s + . . . ,расстояние до спрямляющей плоскости равно проекции Л10М на главную нормаль:(г — г0, п0) = 7г^- (п 0, По) 852- ! - . . , = - ^ 8s2 + .
. .2R02/?о(так как член (<т0, n0) 8s = 0 пропадает). Наконец, расстояние до соприкасающейся плоскости равно проекции М0М на бинормаль(Г — Г0,Ь0) =8s8-}-•••»так как остальные члены разложения, в силу равенств (?0, Ь0) = 0 и(п0, Ь0) = 0 пропадают.Задача 76. Найти выражение для(а, [Ь, с])»Ответ.[%'1Ь’ с1) + (, >[ ж ’ с]) + ('а' [ ь' w ] )Задача 77. Найти выражение для --гг [а, [Ь, с ] }.Отв е т.da ...~dt ' |Ь' °1а,db~dt ’ Са,Ь,dc^dtЗадача 78. Точка движется по винтовой линии с постоянной скоростью v, найти ее ускорение.П ерем енны е век торы , за в и с я щ и еотск алярного99а ргум ентаТак как v = const, то касательное ускорение равно нулю; остаетсяФ1аодно нормальное ускорение-^т-, и так как по задаче 74 -тг = —,Н/саа + латофаW== ~ar-+ № •Задача 79.
Точка массы т движется под действием притягивающейсилы — аг. Найти движение.Составляем уравнение движенияm(Ргat*= — аг, или т г 4 - * г = 0 .Это линейное однородное уравнение можно решать тем же приемом,как и скалярное. А именно, чтобы избежать мнимостей, ищем решениев тригонометрической форме:г = A sin А/,ctt— k \coskt, -Л г— —k? A sin kt\ut£получаем для определения k уравнение:( — mk2-j- a) A sin kt — 0, — mk3-j- а = О,---откуда* =V' иi171Таким образом A sin ( \ / ~ м естьнайдем, что и В cos f j / "решениеуравнения.Также"/^Г / является решением уравнения, где Аи В — произвольные постоянные векторы. Поэтому общее решение уравнения будетt у--- чft____шг = Asin ( I /- ^- /)4 - B cos( 1 /— tmВекторы А и В нужно определить из начальных условий, для чеговычислим сначала V:» = ; = * / ж со5(/Положим теперь t — 0:» 1/следовательно,НО,г=V« = A 1/^ s,n( / ' £*)■г0 = В,ап ’*А=т Г пг1/V v°’] / v ' VoSln( l/A^ '') + r“,:05(l/ /'^ '')-(61)7*100В екторны й анализВ общем случае, когда г0 и v 0 неколлинеарны, это есть уравнениеэллипса, потому что, если ввести косоугольные координаты, ось х которых направлена по направлению Го, а ось у по направлению v0, тоуравнение траектории в декартовых координатах найдется исключением tиз уравнений:х = г0 COSв видеv2«а« оа - " 1*mvВекторы г и v дают во всякий момент времени направления сопряженных диаметров эллипса (61), ибо вектор V параллелен касательнойк эллипсу в конце радиуса-вектора г, а диаметр, сопряженный с г, какраз параллелен этой касательной.Чтобы найти величину сопряженного с г диаметра, заметим, что, .
V , Г тпмоменту t-\— —у— отвечает радиус-векторг'=‘г[1+тУГ'r ) = Asi" (l/ r ж * + т )++ Bc0S( j /£ ' +£ t).t ) = A ,:0 S ( j /(62)поэтомуv«=/v).так что радиус-вектор (62) имеет как раз направление v, а значит этои есть сопряженный с г полудисметр как по величине, так и по направлению.Докажем два свойства сопряженных диаметров.1.Сумма квадратов двух сопряженных полуди аметров есть величинапостоянная, т. е. не зависит от того, какую именно пару сопряженныхполудиаметров мы взяли.В самом деле,^ = (г, г) = (A, A) sin2 1 | / ^ -%■() ++ 2 (Л , B ) s in ( | / £ * ) c o s ( j / - £ ;) +И-(В.B )c o s * (j/П ерем енные векторы , з а в и с я щ и е от ск алярного аргумента101^ = (г „ г 1) = (А, A ) c o s * ( ^ / £ < ) -- а » , в)5щ([/£ <) ++ (В, B ) s w ( | / ^ t ) .Складывая, получимr2 -f-rJ = (A, А) + (В, В) = const.2.Площадь параллелограма, построенного на двух сопряженныхдиаметрах, есть величина постоянная.
Эта теорема является следствиемпостоянства [г, r j:[г, r j = [a sin ( | / ^ ) + B c o s ( j / J - < ) , A c o s ( j / J - < ) -- . Ц / * ] - * « { - ( / £ ,) + ** ( | / £-*)} == [В, A] = const.= 0, то at = const.Задача 80. Показать, что еслиЗадача 81.
Дано, что радиус-вектор точки есть г (t) == г (cos <pi -f-J-sin cpj), где г и ® суть функции времени t, найти проекции vr и vскорости v на направление радиуса и направление, перпендикулярноек нему. Найти проекции wr и wi ускорения w на те же направления.Ответ.vf = г, v =r<p, wr — r — пр3,= /* ? -f-2лр.Задача 82.
Точка движется равномерно со скоростью v по кругурадиуса г с центром в начале координат, показать, что ускорение точкиестьw= —v4гЗадача 83. Показать, что формулы Френе (37) могут быть получены из общей формулыda .,если в последней последовательно заменить а на 9, п, Ь. Найти вектор 0).Ответ.9,ЬВ ек торны й102анализЗадача 84.
Пусть твердое тело вращается около неподвижной i очки О, так что единичные векторы i, j, к, направленные по осям координатного триэдра Oxyz, связанного неизменно с твердым телом,являются функциями времени t. Доказать равенство0(di_М.
_Л_Т\\dt ’ _ dt *dtj§10. Д и ф ерен ц и ров ан и ев ек т ора, от н е се н н ог ок подвижнойсистеме координат.1.В механике, особенно в динамике твердого тела, часто приходится встречаться с диференцированием вектора, заданного по отношению к подвижной системе координат, чаще всего связанной неизменнос движущимся твердым телом. Правила такого диференцирования мысейчас и рассмотрим.В предыдущем параграфе мы рассмотрели движение точки, н е и з<м е н н о с в я з а н н о й с п о д в и ж н о й с и с т е м о й, и нашли, чтоее скорость и ускорение выражаются формуламиV= V0+ [u>, г],w = w 0-f-[w, г ] -j-[со, [ю, г]].(1)Теперь мы предположим, что точка М движется относительно подвижной координатной системы так, что, если единичные орты подвижной системы координат обозначить через i, j, к, ее начало— через О ,то вектор О М — г будет иметь в подвижной системе координаты x(t\y(t), z(t), являющиеся функциями времени:r = *i-|-j/j-|-2k.(2)Но так как система подвижная, то единичные орты !, j, к самибудут функциями времени, как было выяснено в § 9.Введем еще неподвижную точку О и обозначим через г0— радиусвек юр точки О относительно О и через г — радиус-вектор точки Мотносительно точки О.Тогда очевидно будетг==Гр-Ь Г = Го-f х\-J-zk,ибо в треугольнике О О М , сторона ОМ есть вектор г, стороны 0 0(3)иг0 и г.А б с о л ю т н а я с к о р о с т ь точки М, которую мы будем обозначать чер ■jv c, получается, как обычно, диференцированием радиусавектора г оч.осигельно неподвижной точки О по времени:ОМ — векторы103ДИФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ВЕКТОРАЕсли быX, V, Z были постоянными, мы получили бы скоростьrfr0 , „ d\ ,dt ~, „rfkdt ' ^ dt 1zdt(5)точки, неизменно связанной с подвижной системой координат, почемуэта часть абсолютной скорости называется п е р е н о с н о й с к о р о с т ь юдвижения точки и обозначается через v4.
В предыдущем параграфе мынашли для нее следующее выражение:V, = V0 + [ю, г],(6)где Vo— абсолютная скорость начала О подвижной системы, ш— вектормгновенной угловой скорости подвижной системы координат.Выясним теперь значение трех последних членов формулы (4).Рассмотрим положение подвижной системы в момент t. Отметимкроме точки М еще ту точку М ', связанную с подвижной системой,в которой будет находиться точка Ж в момент tДt, тогда векторММ' представит, очевидно, вектор относительного перемещения точкиММ'М, a lira —-j-r— будет в е к т о р о м о т н о с и т е л ь н о й4<->0 Дtт о ч ки М.
Мы будем его обозначать через v r. Так какскоростиММ' = Длг! -{-Ayj + Дгк,тоvr = х\-j-^i -f- zk.Поэтому формула (4) приводит к теореме:(7)вектор абсолютнойскорости точки равен сумме векторов переносной, и относительной скорости:v„= v,- j- vr.(8)Если начало подвижной системы координат О совпадает с О, тог = г, v 0 — О, v„ == [to, г], и мы получаем формулуva= r = vr-f [<о, г],(9)откудаvr = г — [to, г].( 10)2.Возьмем теперь любой вектор а yt). Отложим его от начала Оподвижной системы координат, которое мы предположим совпадающимс б , и будем рассматривать конец вектора а, как движущуюся точку.Тогда относительную скорость конца вектора а можно назвать относительной производной вектора а; обозначая ее в отличие от абсолюшоЛпроизводной-^ через Д ?- ,dtdtнайдем имеющую очень важное значениеВ ек торны й анализ104ф орм ул уааdtda"It,.dad'a , r,al> St = i r + 1"-a1'i» i)Если проекции вектора а на подвижные орты I, j, к обозначитьчерез ах, ау, ае, то относительная производная будет иметь компонентыах, а а в, поэтому мы получаем следующую систему трех скалярныхуравнений:^ = « .
4 «у*.Ydaт~dt .Iddaa[Цdt(12 )J—-туая-Выведем, наконец, формулу, дающую связь между абсолютным и относительным ускорением. Продиференцируем формулу (4)w = (Каd*r 0dt,d4 .rf»jdt*/ dx di . tfy rfj . dz dk\ . / cPx . . cPy . ,<й2, \ /1Q.+ 2 ( ¥ й + 1 | + ¥ 1 ) + ( ¥ ' + # М < 13)Если д:, j;, г постоянны, то их первые и вторые производные равнынулю. Поэтому первые четыре члена правой части дают ускорение точки,неизменно связанной с подвижной системой координат, поэтому эта частьабсолютного ускорения называется пе р е н о с ным у с к о р е н и е м иобозначается через w«:w.rf*r0dt2dt2 *(14)Выражение для we дается формулой (1):we== w 0 -j- [w, r] + [tt),[0), r]].(15)Последние три члена формулы (12) представляют, очевидно, относительное ускорение точки М, которое обычно обозначается через wr:wr = 3ci -fjj-f-zk.(16)Наконец, чтобы истолковать три средних члена формулы (13), вспомним, что мы имеем формулу. ..d] , _dkФ у н к ц и и от в е к т о рн о го а ргум ента106dxdyUL141'1* rbdzзначит, заменяя г на v r, вектор с компонентами —гг, ~ут , —гг » получаем:\dt dt ^dt dt ^dt dt j1jэто выражение называется у с к о р е н и е м К о р и о л и с а и обозначаетсячерез w e.Таким образом получаем теорему: вектор абсолютного ускоренияточки является суммой трех векторов: вектора переносногоускорения, вектора относительного ускорения и вектора ускорения Кориолиса:\we = w , + w r -i-we.(18)§ 1 1 .
Функции от векторного аргумента. Скалярное и векторное поле. Поверхности уровня. Векторные линии.1. До сих пор мы рассматривали векторы или постоянные или изменяющиеся в зависимости от скалярного аргумента (времени). Теперь мырассмотрим более сложный случай, когда с каждой точкой пространства(или части пространства) связывается значение некоторого скаляра иливектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
