1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Доказать формулы[а, [Ь, [с, d]]] = (b, d) [а, с] — (Ь, с) [a, d],[а, [Ь, [с, d] ]] = (а, [с, d]) b - ( a , Ь) [с, d].Задача 65. Доказать формулу([а, Ь], [[с, d], [е, f]]) = ([a, b], e)(f, [с, d ])- ([a, b], f)(e, [с, d]).§8.Векторные уравнения.1.В силу двойственности понятия об умножении векторов нельзяпоставить вопроса о действии деления векторов в обычном смысле слова.Приходится заменять это действие решением различных векторных уравнений, как например,(г, а) = /геили(г, а] = Ь,где г есть неизвестный вектор.Рассмотрим в этом параграфе несколько вопросов теории векторныхуравнений.Мы уже ранее при определении действия вычитания векторов рассмотрели уравнениег+ а = Ь( 1)и показали, что его решением являетсяУравнениег = b — а.(2 )(г, а ) = т(3)имеет бесчисленное множество решений, так как оно определяет толькотсоставляющую вектора г в направлении вектора а: га — — , составляющая же в направлении, перпендикулярном к а, остается совершеннопроизвольной.
Таким образом, если рассматривать г как радиус-векгорнекоторой точки М относительно начала координат О, то геометриче70В ек торная а л гебраское место концов всех векторов г, удовлетворяющих уравнению (3),будет плоскостью, перпендикулярной к вектору а и отстоящей от начала ко*тординат на расстоянии — .Причина такой неопределенности решения векторного уравнения (3)заключается в том, что вектор полностью определяется тремя составляющими, а уравнение (3) дает только одну алгебраическую зависимость между этими тремя составляющими(4)где х, у, z — составляющие вектора г.2.Полностью вектор г может быть определен из системы двух векторных уравнений, дающих скалярное и векторное произведение г на а:(г, а ) = т ,[г, а] = Ь,(б)где, конечно, b должно быть перпендикулярно к а.Для решения этой системы применим формулу (18) § 7, дающуюразложение вектора г на две составляющих, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к а:r= ^a + i r [a' tr, а]].Подставляя сюда данные выражения (г, а) и [г, а], найдем единственное решение системы (5), в видета[а, Ь](б)(проверка показывает, что это г действительно удовлетворяет системе).Такая определенность решения получилась благодаря тому, что система (5) равносильна трем алгебраическим уравнениям, служащим дляопределения трех составляющих вектора г:a„x -f- ауу■atxЛуХ-a%z — т,а иУ — а уг— Ьх,+ axz = by,ахУ(7)А-(Из трех последних уравнений этой системы одно является следствиемдвух других, в чем легко убедиться, умножая их соответственно на ах,ау, а„, складывая результаты и принимая во внимание соотношение (а, Ь) == « А + дДf « А = °)-В ек торны е уравнения71Таким образом решение трех линейных уравнений системы (7) естьта„х=2I2а„Ь,— а А*< +а1+<2а * + а к + а«та.,ajb.+(8)Vта~ ~ Г+< + 4 + <' < + < + <Если мы хотим найти общее решение уравнения (3)(г, а) = от,(3)то должны считать b произвольным (мы можем в данном случае отбросить условие (Ь, а) = 0, так как в [Ь, а] параллельная а составляющаявектора b все равно пропадает), так что общее решение уравнения (3)можно написать в видег = ^ + ( а .
В],(9)где В — произвольный вектор.Если же мы ищем решение уравнения[г, а] = Ь{(Ь, а) =(10 )0 },тто должны считать т произвольным, так что, вводя вместо р цпроизвольный параметр (t, будем иметь:___ [а, Ь]ма.(П)Очевидно, это есть уравнение прямой, параллельной вектору а.3. Поставим теперь задачу решить систему уравнений:(г, а) = «, |(г, Ь) = р,(1 2 )(г, с) = т,где а, b и С образуют систему трех некомпланарных векторов, необходимым и достаточным условием чего является(а, [Ь, с ] ) * 0 .(13)Геометрическое значение решения этой системы легко выяснить, еслисчитать г радиусом-вектором некоторой точки относительно началакоординат. Тогда конец г должен лежать в трех плоскостях, определяемых каждым из уравнений системы, так что задача сводится к нахожде*нию точки пересечения трех плоскостей.72В ек торн а я алгебраМы начнем с решения более простой системы, а именно1,(г, а) =|(г, Ь) = 0,(г, с) = О, J(14)Дв* последних уравнения указывают на перпендикулярность г какк Ь, так и к с , следовательно, на параллельность г вектору [Ь, с], такчтоТ= т[Ъ, с],где т — подлежащий определению скаляр, который можнопервого уравнения системы (14)т { а, [Ь, с]) =откудатнайти из1,(а, [Ь, с])’Таким образом решение системы (14) есть..
. .[Ь, С](а, [Ь, с])'рЦОбозначим этот вектор через а*.Точ::о также можно найти решение двух других систем, а именно:(г, а) = 0 |(г, Ь) = 1 1(г, с) = 0 J(г, а) =0|(г ,Ь ) = 0,(г, с) = 1 |(16)в виде векторов Ь* и с*К*__a)“ (а, [Ь, с])*jj. __ [а, Ь]“ (а, [Ь, с])*/imЩТри вектора а*, Ь* и с*[Ь. с]„»=[С,а]с, =М(а, [Ь, с])'(а, [Ь,с])’(а, [Ь, с])(18)называются взаимными с а, b и с векторами.Они получились у нас как решение трех систем уравнений:(а*, а) =1,(а*, Ь) = О,(а*, с) = 0,(Ь*,а) =0,(b * ,b )= l,(Ь*,с) = 0,(с* ,а ) =0,\(с*, Ъ) — О, I(с*, с) = 1.
J(19)Теперь легко убедиться, что векторГ = «а * + £ Ь * - Н с *( 20 )В ек торны е уравнения73является решением данной системы уравнений(г, а) = а, ](г, Ь) = р,J•(Г, С) = у. )В самом деле, проверим, например, первое уравнение(г, а) = (аа*-4-рЬ*-|-'Тс*> а ) = а ( а * , a)-j-P(b*, а) + ?(<:*, а) = а.Это решение единственное. В самом деле, если бы имелось два решения г' и г" предложенной системы, то разность г' — г" была бы решением системы(г'— г", а) = О(г' — г", Ь) = О(г '- г ", с) = 0,т.
е. вектор г7 — г" был бы перпендикулярен зараз к трем некомпланарным векторам а, b и с, что невозможно.Особенно просто определить систему взаимных векторов для системыортогональных ортов i, j и к. В самом деле, вычислим:i* ' a n r b = “ ’ l i l = i ’ J* = , ' k * = k -(2 ,)Таким образом, в этом случае взаимные векторы совпадают с исходными векторами.4.Докажем теперь, что и обратно: векторы а, Ь, С являются взаимными для системы векторов а*, Ь* и с*. Отметим, прежде всего, чтовекторы а*, Ь* и с* некомпланарны. Если бы а*, Ь* и с* были компланарны, то один из них можно было выразить через два других поформуле видас* = та* -f- пЬ* ,но тогда по скалярном умножении на с, мы получили бы противоречие1 = (с*, с) — т (а*, с) -f-п (Ь* с) = 0 .Докажем некомпланарность векторов а, Ь, С еще другим способом,а именно, непосредственным вычислением(а* №*.с *]> = (а, [ь, С]/[Ь.
с], [[с, а], [а, Ь]]),но в задаче 59 было найдено, что([Ь, с], [[с, а], [а, Ь]]) —(а, [Ь, с])«,поэтому(а* [Ь* с* ] )=(22)74В е к т о р н а я а л гебр аРаз (а*, [Ь*, с*]) ф 0 векторы а*, Ь*, с* не могут быть компланарными.По 1утно мы получили, что объем параллелепипеда, построенного на векторах а*, Ь*, с*, обратен объему параллелепипеда с ребрами а, b и с ичто векторы а*, Ь*, С* образуют систему координат того же вида (правую или левую), что и а, Ъ, С.Теперь доказательство взаимности векторов а, Ь, С с векторамиа*, Ь*, с* не представит никаких затруднений. Достаточно сгруппировать уравнения системы (19) в три системы, относя в каждую три уравнения, стоящие в одной и той же строке, чтобы сразу увидать, что векторы а, Ь, с взаимны с векторами а*, Ь* и с*.5.Еще в самом начале курса мы видели, что всякий вектор d может быть разложен по трем некомпланарным векторам а, b и с :d = ma-f-rtb-{-/>c.(23)При помощи взаимных векторов очень легко найти коэффициентыэтого разложения.
В самом деле, умножим обе части уравнения скалярно на а*, тогда, так как(а, а*) =1,(Ь, а*) =0,(с, а*) = О,мы сразу получимт — (d, а*).(24)Точно также найдемя = (d, Ь*)\р = (d, с*). )(25)Значитd = (d, а*) а + (d, b*)b - f (d, с*) с =^(d,[b, c])a-h(d, [с, a])b-{-(d, [а, Ь])с(а, [Ь, с])(26)Эта формула другим путам была нами получена в задаче 58.
Получили пример определения 3-х скаляров из одного векторного уравнения. Прием решения состоит, как видим, в скалярном умножении на 3некомпланарных вектора.Разлагая d по векторам а*, Ь*, с*, мы точно также получили быd = (d, a)a*- f (d, b)b* + (d, с)с*.(27)Полученные формулы имеют тесную связь с решением системы трехуравнений с тремя неизвестными. В самом деле, ур-ние (23) равносильнотрем алгебраическим уравнениям:da = max-\-nba-\-pcx,dy— may-f-nbv-\-pcy,dt = ma,-\-nb,-\-pct ,(2 8 )В ек торн ы е уравнения7 5с тремя неизвестными т , п и р.
Мы нашли решение в видеdxdyd,т — (d, а*) =bxby b.cx cy c.(d, [Ь, с])(а, [Ь, с])&я CLy f l j(2 9 )bxby beca cy c.и две аналогичных формулы для п и р. Таким образом мы восстано*вили решение системы трех уравнений с тремя неизвестными при помощи определителей.6 ..В § 6 мы ввели понятие о главном векторе R и о главном моменте L„ относительно точки О системы сил, приложенных к твердомутелу:R = F 1 + F2+ . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
