1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Приведем в соответствие каждой грани Sx <S2,..., S n этой поверхности изображающийее вектэр S1} S2..., S,„ причем направление положительного обхода каждой грани определяем из направления обхода всей поверхности. Суммувекторов Sx—j—S2 -f-... + S„ мы б^дем считать вектором, представляющим нашу многогранную поверхность.Если поверхность замкнута, то за положительное направление нормали к каждой грани мы будем принимать направление внешней нормали.Если мы имеем дело с кривой поверхностью, на контуре которой задано какое-нибудь направление, то мы можем определить представляющий эту поверхность вектор следующим образом.
Впишем в данную поверхность многогранную поверхность с очень малыми гранями, определимдля нее представляющий ее вектор и перейдем к пределу, устремляя всеграни к нулю; полученный вектор и называется вектором данной поверхности.4.Докажем теперь важную теорему: Вектор замкнутой поверх-ности всегда равен нулю.Докажем теорему сначала для тетраэдра.Достаточно доказать, что любая проекция вектора поверхности тетраэдра равна нулю. Спроектируем его на какую-нибудь плоскость, наН . В. К о ш . — Вввторно* исчисление4В ек т о р н а я50алгебрапример, плоскость ху, в проекции мы получим треугольный (черт.
32,а)или четырехугольный контур (черт. 32, Ь).Каждый треугольник проекции представляется вектором, направлен*ным по положительной или отрицательной оси г, смотря по тому, составляет ли внешняя нормаль к той грани, проекция которой рассматривается, с осью Z острый или тупой угол.В случае черт. 32,а треугольники ВАС, BDA, DCA представляютсявекторами, направленными противоположно вектору BCD-, ибо если грань,отвечающая BCD смотрит в одну сторону оси г, то три другие гранибудут направлены в другую сторону оси г.
А так какпл. BCD = пл. ВАС -j- нл. BD A-\-nn. DCA,то сумма векторов проекций граней тетраэдра равнанулю, так что для этого случая теорема доказана.Точно так же разбирается случай черт 32,^; в этомслучае треугольники ВАС, BDA представляются векторами, направленными противоположно векторамтреугольников BCD, CAD', в соответствии с этимздесь имеется соотношение;пл. В А С “j- пл. BDA — пл.
BCD -]- пл. CAD.Итак, проекция вектора поверхности тетраэдрана плоскость х у равна нулю; так как за плоскостьх у можно принять любую плоскость, то проекциявектора поверхности тетраэдра на любую плоскость равна нулю, а значитсамый вектор тождественно равен нулю.Теперь докажем теорему для замкнутого многогранника. Мы всегдаможем разбить последний на ряд тетраэдров. Применим теорему длякаждого из последних и сложим результаты, тогда получится, что суммавекторов всех граней многогранника плюс сумма векторов по всем добавочным граням, которые мы провели при разбитии многогранника натетраэдры, равна нулю. Но рассмотрим какую-нибудь добавочную грань;она будет служить гранью для двух тетраэдров, причем один раз мыдолжна за внешнюю нормаль к ней брать одно направление нормали, адругой раз как раз противоположное.
Поэтому сумма векторов, отвечающих добавочным граням, тождественно равна нулю, так что суммавекторов по всем граням замкнутого многогранника или, что то же, вектор замкнутого многогранника, равен нулю.Непосредственным следствием отсюда является вывод, что вектор всякой замкнутой поверхности равен нулю, ибо, вписывая в эту поверхностьряд многогранников с гранями, стремящимися к нулю, мы будем получать равные нулю векторы этих многогранников, а, следовательно, и в пределе получим для вектора замкнутой поверхности нуль.Только что доказанная теорема допускает очень простую физическуюинтерпретацию. Рассмотрим несжимаемую жидкость, находящуюся в покое, причем никакие внешние силы на нее не действуют.
По законуПаскаля гидростатическое давление всюду будет одним и тем же; обоЧерт. 32.В екторноеиливнеш нееп ро и зв ед ен и е двух61векторовзначим его через р. Выделим теперь некоторый объем жидкости, ограниченный произвольной поверхностью S\ так как выделенный объем жидкости находится в равновесии, то геометрическая сумма всех приложенных к нему сил должна равняться нулю.
Но внешних сил нет, следовательно на выделенный объем будут действовать только силы гидростатического давления. Рассмотрим какую-нибудь малую часть поверхности,ограничивающей выделенный объем; пусть эта часть поверхности представляется вектором Slf тогда действующая на эту часть поверхностисила будет равна nSx и будет направлена по нормали к поверхностивнутрь поверхности, т.
е. как раз противоположно вектору Sr Значитдействующая на рассматриваемую часть поверхности сила равна — p S {.Поэтому геометрическая сумма всех сил, действующих на поверхность S,только множителем — р отличается от геометрической суммы всех векторов Slf равной вектору замкнутой поверхности S. И так как геометрическаясумма всех сил по вышесказанному равнанулю, то и вектор замкнутой поверхностиS должен равняться нулю.5.Применим только что доказаннуютеорему для вывода формулы (8):[а, b — с] = [a, b]-f-[aj с].(8)Построим для этого геометрическуюсумму векторов Ь |1 § р и на получившемсятаким образом (черт. 33) /\А В С построимпризму ребра которой равны и параллельнывектору а.
Вектор полученной замкнутойповерхности, равный, по только-что доказанному нулю, составляется изпяти членов. Два члена, отвечающие граням ABC и А'В'С ', очевидновзаимно уничтожаются, ибо площади этих граней равны, а внешние нормали к ним как раз противоположны; три остальные грани при пользовании левой системой координат и при расположении векторов, указанном на чертеже, чего всегда можно добиться перестановкой векторовЬ и с, дают соответственно векторы:грань СС'А'А . . . [а, Ь],„ А А 'В 'В .., Щ с],я В В 'С С .. [а, — (b-j“ c)]>ибо когда мы, смотря извне, обходим, например, грань СС'А'А пострелке часов, то вектор Ь = С 'А' следует за вектором а = СС'.
Складывая три полученных вектора, мы должны получить нуль, так что[a, b] —J—[а, с] — [а, Ь + с] = 0,откуда[а, b -{- с] = [а, Ь] + [а, с],что и требовалось доказать.4*В екторная52алгебраб.Образуем векторные произведения основных ортов; прежде всего,в силу (4), имеем[It П — [j.k] = 0;(14)далее, непосредственно из самого определения векторного произведения)вытекают формулы[ i.j] = k,[j. k] = I,[k, i] = j,\[j, i] = — k, [k, j] == —i, [i, k] = — j.
/WПри помощи этих формул легко найти составляющие [а,. Ь], еслиизвестны составляющие а и Ь; в самом деле, вычислим[а, Ь] = [яJ -|- ау) -f- я,к>4" by\ 4*— аА [Ь П 4"4 ~ахЬу [\, j] + aj>%[i, k ] - j- a A U > *1-\~ayby [j. j] 4 * a A [ji feI4-4-«A tk>4 -f aA [kt Я+ aA tk>Ч-(l6)В силу формул (14) и (15) произойдут большие сокращения:[a, b] = i {aybt — atby) + j (ашЬя — axbt) 4- k (amby— aybx),(17)откуда[a, b \K= aybt — atby> ][a, b], = flA“ ЯА» }[a, b]t = axby— aybx, I(18>Укажем, как непосредственное приложение этих формул, вывод условий параллельности двух векторов а и Ь, заданных своими составляющими. В этом случае [а, Ь] = 0, приравнивая составляющие э.тоговектора нулю, получим:£=£=£(а||ь)’* (19)т.
е. соответствующие составляющие двух параллельных векторов пропорциональны.Этот результат, впрочем, ясен и из того обстоятельства, что в силуколлинеарности векторов а и b один из них выражается произведениемдругого на скалярный множитель: b = Ха, откудаЬх = Ь а х, Ьу — \а у, Ьц— \a t,что равносильно (19).Из формул (18) можно вывести, далее, ряд соотношений, связывающих косинусы углов, составляемых осями двух прямоугольных системкоординат (черт. 20). В самом деле, возьмем, например, за вектор аорт i, а за вектор b орт j, тогда вектором [а, Ь} будет служить к, еслиновая система O xyz ориентирована так же, как старая и — к, если новая система будет ориентирована противоположно старой. Выписывая изВ екторноеиливнеш нееп р о и з в е д е н и е дв ухвекто ро втаблицы девяти косинусов § 4 компоненты векторов i, j, квляя их о формулы (18), мы найдем:53и подста(20)где верхний знак берется при одинаковой ориентации старых и новыхосей, нижний — при разной.
Циклической перестановкой значков 1, 2и 3 мы можем получить еще шесть новых формул.Составим таблицу важнейших свойств векторного произведения.1)[а, Ь] = с, с = a b s in (аТ'Ь), cj_a, с_]_Ь, вращение от а к bвокруг с таково же, как вращение от оси х к оси у вокруг оси z(определение).2) Ь, а] = — [а, Ь].3) а, Ь] = 0, если а = 0 или b = 0 или а || Ь.4) а, а] = 0.5)2 а" 2*>, = 22Г=1 8=1Г= 1 8—1 Jb J-7.Прежде чем иллюстрировать теорию примерами, мы остановимсяеще на одном свойстве векторного произведения.В сущности представление векторного произведения вектором чистоусловно; гораздо естественнее было бы изображать его площадкой, например, параллелограммом, построенным на векторах а и Ь, имеющимопределенное направление обхода в зависимости от порядка сомножителей. Однако для целей векторного анализа гораздо удобнее оперироватьс вектором, представляющим эту площадку и являющимся как бы ее дополнением в нашем трехмерном пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
