1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Составляявыражение а —8 -J- а— -}-а - 2 по формулам (8) и приравнивая его а 2х -{-аг , мы сразу получили бы все соотношения (6).Задача 17. Найти координаты точки пересечения медиан треугольника, вершины которого заданы координатами (xv у г, z j , ' (х2, у 2, ^ 2 )»(х3, у 3, z 3).По формуле (29) § 2 имеем для радиуса-вектора рассматриваемойточкиг_+5+• ----------Г1Г2*3зследовательно)■<14>Z1V__ *1 4 ^ * 2 + *83’ У3*Z2 «Г- Z33'1л с\* 'Задача 18. Найти координаты центра тяжести системы трех материальных точек М и М 2, М 3, в которых сосредоточены массы mv т2, т3.По формуле (34) § 2:« Л + таГа-Ь/ИзГв(16)mi + т2+ тъ'отсюда, проектируя на оси х, у, z, находим:m1x l-{-m 2x 2-—-fmsx s1----— —^ 2= __ =_-— -----—т 1- { - т 2 - \ - т 3__тлу л -j- тщ,у2-\^/п3у .’у_^1+- _ m.\Z\ —j- m2z2 —}- m3z3m x-\-m 2-\- m3’''Задача 19.
Рассмотрим Д ABC (черт. 21) и выведем некоторыеформулы прямолинейной тригонометрии.Спроектируем ломаную линию АСВ и ее замыкающую на А В, потеореме о сумме проекций мы получим:у/acosB -\-bcosA = c,¥\аЧерт‘ 21*/1«ас(18)циклической перестановкой получим отсюда еще две формулы:Qb cos С -(- с cos В = ас cos A -f- a cos C — b.Спроектируем теперь ту же ломаную линию и ее замыкающую наперпендикуляр DC к АВ.Проекция замыкающей на перпендикулярное направление будет О,проекция АС есть b sin А, проекция СВ есть — a sin В, следовательно£sin А = a sin 5 ,П рео бра зо в а н и еточно также найдем33координатдве другие ф орм улыс sin Л = b sin Сa sin С = с sin А,в результате получаем теорему синусов:sin Asin Вsin С(19)Задача 20.
Впишем в круг единичного радиуса (черт. 22) правильный п-угольник Р 0Р , . . ,Рп л и пусть сторона Р0Р 1 составляет с осьюО Х угол <э0, каждая следующаясторона будет составлять с осью2кО Х угол на — больше, чем прел>дыдущая, так что Р ХР 2 будет2тх -----^составлять угол о0 -|, Р 2Р 34 st■*<?0 -f- — , наконец, Р,» - i rр o2 (л — 1)тсугол <р0лСпроектируем теперь замкнутуюломаную линию P . P j . . .
Pn_ iPQна ось X; так как все стороны ее равны между собой, то получимтригонометрическое тождество:2 (л —1 ) и вcos? o + cos( ? o + - ^ j + cos( ? o + — j + • * * + c o s | ?онапример, при ©0 = О будетуголш ш,11—j—COS-----2те IH C O S -------- 1Ь1Л1Л—j—COS2(п — 1)п1=0,ПРИ ?0 = -7Г. 2чел ‘- 4-ttл 1s i n ----- \- sin ----- \--f- sin2 ( л — 1)«0.Задача 21. Тяжелая точка веса Р находится в равновесии на гладкойнаклонной плоскости под действием двух сил Qj и Q 3 (черт. 23); величина каждой из этих сил равна — Р , сила Q x горизонтальна, сила Q 3направлена вдоль наклонной плоскости вверх. Требуетсяугол л наклона плоскости к горизонту.Н, Е. К о ч я в.
— Векторное нечисленноопределитьВ екторн ая34алгебраЕсли мы введем в рассмотрение еще реакцию плоскости R, направление которой перпендикулярно к наклонной плоскости, четыре силы Р,Qi> Qa и R будут находиться в равновесии, так чтоР -j- Q i r j- Q a + R *= 0.(20)Величина реакции R нам неизвестна, она насне интересует, поэтому уравнение (20) надо проектировать на такое направление, чтобы проекция R пропала, т. е. нужно проектировать на направление силыQ.j. Так как угол между Q x и Q , есть о, между Ри Q 2 есть 9 0 °-J-e , то проекциейбудет служитьЧерт.
23.-п- Р cos а, проекцией Р будет Р cos (9 0 °-j- а) =е = — P s i n a , наконец, проекцией Q a б удет-^-Р :Р cos a -J- -к- Р — Р sin а = 0,откудаI 1—-----sin а = 0,■1у cos а -|—илиcos а -f- 1 — 2 sin а =* 0;но.11„а_ ,оаcos а = 2 cos9 — , sin <х= 2 sin — c os — ,следовательноа_а (а2 cos2 —----- 4 sin -^ -c o s — = 2 c o s — ( c o s — — 2 sin - 2 - 1 = 0 *4ЫAоткуда, сокращая на cos|т а к как а < 9 0 ° , то c o s -^ - не может равняться нулю 1,cos-----2 sin ~= 0.igT = 4~* а = 5 з °7 ' 4 8 "Задача 22.
Точка Ж (г) притягивается неподвижными точкамиЖ г (г j ) ,. . v, М п (гп) с массами m vпричем силы притяжения пропорциональны расстоянием до этих точек и массам их. Найти результирующую силу и положение равновесия точки М.Сила притяжения точки М точкою M v равна очевидно km x (гх — г),где k — коэфициент пропорциональности, ибо этот вектор направлен отП рео бра зо в а н и е к о о рд и н а т36М к Afj и пропорционален расстоянию M M V Точно также найдутсяи другие силы. Поэтому результирующая сила будетR = Am1(r1— r ) - f £ma (ra— r ) + • • • + Ш Я(rft— г).Преобразуем это выражениеR = A(m1r , + m 2r a + . • • -{-mnrn) ^ k ( m 1-\- ♦ ♦ • + m n) t.Введем центр тяжести масс mv щ , .
. . , тп, обозначив его радиус*вектор через р:т хгх - f m2r8 + • • ♦ +Щ Л'Щ Л * * * * ~\ггпп*тогдаR = k (тх-f*. /я»)(р— О»т. е. результирующая сила есть сила притяжения точки М к центрутяжести масс тх , . . /гс„,в котором сосредоточена масса т^-\- ...-\-гп п.Отсюда сразу вытекает, что точка М будет в равновесии, еслиР = Г,т. е. если точка М находится в центре тяжести массЩ, Щ ,..., т„.Если мы введем прямоугольные координаты х, у, 2, то для положения равновесия точки М получим:ЩХх+ \H I*|•1ЦЯ• • *:|1Я х +i•+rn„y„• • • 4 ~m n’r _ ^ i H - : : : 4 -m nznщ + * — Y mnВ общем случае для проекций результирующей силы получим:X = k ( m lx 1+ .
• • + m nx j —• • • - f тп) хY = k{m xyx-\- • • - + m ny n) — A(mx4- • • • + т »)УZ = k (m l z 1-\- • • • + m nzn) — A:(/«i+ • • • + /я „ ) г .Задача 23. К вершине Опрямоугольного параллелепипедаOABCDEFG приложены три силы,изображаемыевекторамиОВ,ОЕ, OG, найти величину инаправление равнодействующей R(черт. 24).Черт. 24.I»36В е к т о рн а яОчевидно,OD =R = OB -j- ОЕ -f- OG,а л г е бр аобозначимО А — а,ОС =* Ь,тогдаС,0 5 = a-f- b0Е = а4 -с0 0 = Ъ + с,откудаR = = a-J-b -f-a-f-c + b -f-c = 2 (a -f-b -f-c ) = 20F,т. е.
искомая равнодействующая изображается удвоенной диагональюпараллелепипеда OF.Задача 24. На точку действуют три силы, проекции которых напрямоугольные оси равны: X i = 1, Y1= 2, Z l = 3; Х 2 ==— 2, Y2 = 3,Z 2 = — 4; X 3 = 3, Y9= — 4, Z 3 = 5; найти величину и направлениеравнодействующей.О т в е т .
/ ? = ] / 21, cos (R, х ) — - — , cos (R ,у ) <= - ■__ _ cos(R, z ) =■»4К 21К 21" " ]/2 Т *Задача 25. Пусть в Д ABC угол Л прямой и пусть A D естьвысота, опущенная на биссектрису ВС. Доказать, что равнодействующейдвух сил, приложенных к точке А, из которых одна направлена по А В11и равна -т-д-,а другая направлена по АС и равна -гтг»является сила1AdЛСI направленная по AD.Задача 26. Пусть ABCDEF есть правильный шестиугольник.
Найтиравнодействующую сил АВ, AC, AD , А Е , AF, приложенных к точке Л.О т в е т . 3AD.§ 5. Скалярное или внутреннее произведение двух векторов.Его свойства. »1.В § 2 дано было определение геометрической суммы двух векторов и было показано, какие соображения геометрического и физическогохарактера привели к установлению этого понятия. Оказывается, что еслимы хотим соответствующим образом ввести понятие произведения двузвекторов, то мы должны определить два различных действия умножения:умножение скалярное и умножение векторное.Остановимся сначала на скалярном произведении двух векторов.Вспомним простейшее определение работы А, производимой постоян*ной силою F на прямолинейном перемещении s при условии, что силасоставляет с перемещением постоянный угол аA ***Fs cos а.О)С калярноеилив нутреннееп р о и зв е д е н и е двухв ек то ро в37Выражения, построенные аналогично выражению (1), встречаютсяочень часто в математике и физике.
Поэтому представляется целесообразным ввести операцию составления из двух заданных векторов а иb выражения, аналогичного (1). Введем поэтому следующее определение:Скалярным или внутренним произведением двух векторов аи b называется произведение длин обоих векторов, умноженноена косинус у гла между обоими векторами.Мы будем обозначать скалярное произведение векторов а и b символом (а, Ь); итак(a, b) = ab cos (а, Ь).(2)Среди других обозначений скалярного произведения отметим, как наиболее употребляемые, еще такие:ab и а • Ь.В результате скалярного умножения получается скаляр, что и объясняет название скалярного произведения.
Так, в вышеуказанном примере у нас получилось выражение для работы — скалярной величины,в виде скалярного произведения вектора силы F и вектора перемещения S.Скалярное произведение векторов а и b положительно, если этивекторы составляют между собой острый угол, и отрицательно, еслиугол между а и b — тупой. В частности (а, Ь) §= 0, если b перпендикулярно а (так как тогда cos (a, b) = cos — = 0). Если а и b имеют/водинаковое направление,тоcos (a, b) = cos 0 = 1, (а, Ь) — аЬ,произведению длин обоих векторов (отсюда ясно наименование всейоперации умножением). В частности (а, а ) = а-\ если а как раз противоположно Ь, то cos (а, b) = — 1 и (а, Ь) = — ab.2.По самому о п р е д е л е н и ю с к а л я р н о е п р о и з в е д е н и ек о м м у т а т и в н о , т. е.
не меняется от перестановки множителей:(а, Ь) = (Ь, а).(3)Группируя в формуле (2) разными способами множители, составляющие(а, Ь), мы получим:(a, b) = acos(a, b) • Ь = а6 • Ь, 1„(а, Ь) = b cos (а, Ь) • а = Ьи • а, \т. е. скалярное произведение двух векторов равно произведениюдлины одного из векторов на проекцию другого вектора на направление первого.Отсюда сразу выводится д и с т р и б у т и в н о с т ьизведение:(a, b -J- с) = (а, Ь) -f- (а, с),скалярного про(5)38В екторнаяа л г ебрат.
е. мы имеем право перемножать почленно, как в обыкновенной алгебре.В самом деле, по теореме о проекции геометрической суммы, имеем(Ь -j- с)а — Ьа 4" £«»(6)умножая обе части этого уравнения на а, получим формулу (5), что итребовалось доказать.Таким образом мы имеем право раскрывать скобки, как в обыкновенном умножении, например:(a 4 -b , c 4 -d ) = (a, c )4 -(b , с )4 -(а , d )4 -(b , d).(7)Очевидно далее, что скалярный множитель можно выносить из-подзнака скалярного произведения(та, яЬ) = тп (а, Ь),(8)т. е. скалярное произведение а с с о ц и а т и в н о по отношению к скалярному множителю.Составляя скалярное произведение основных ортов, получим(1, i) = (j, j) = (k, k) = 1, (i, j) = 0, k) = (k, i) = 0.(9)При помощи этих формул легко найти выражение (а, Ь) через координаты:(a, b) = ( a j - f - a j 4 “ a .k, bx\-\-b y]-{-btV ) = a xbx (\, i)4~j ) 4 - « A ( i .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
