1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

АВ = а),второе перемещение переведет рассматривае­мую точку из положения В в положение С,такое, что ВС = Ь. В результате точка перей­дет из Л в С. Перемещение АС определяетвектор С, который естественно назвать суммой векторов а и Ь. Отсюдавытекает следующее определение:Чтобы получить вектор с, представляющий геометрическуюсумму двух векторов а и Ь, надо от произвольной точки А про­странства отложить вектор а, к концу его приложить началовектора b и соединить точку А с концом С вектора Ь, тогда АСпо величине и направлению представляет с.Для обозначения операции сложения векторов пользуются обыкновен­ным знаком алгебраического сложения:c = = a + b.(1)Векторы а и b называются с л а г а е м ы м ив е к т о р а м и , вектор с — г е о м е т р и ч е ­с к о й с у м м о й или р е з у л ь т и р у ю щ и мвектором.Из черт.

3 видно, что сумма двух, в е к ­т о р о в а и b является диагональю паралле­лограмма, построенного на слагаемых век­торах а и Ь. Отсюда сразу вытекает формула(2)выражающая коммутативность (т. е. переместительность) геоме­трического сложения: геометрическая сумма не меняется отперестановки слагаемых.С лож ение,вы чи та н и еи ра зл о ж ен и ев ек то ро в9Мы останавливаемся на этом простом свойстве геометрической суммыпотому что некоторые операции векторного исчисления таким свойствомне обладают.Чтобы образовать сумму трех векторов а, b и с, мы складываемсначала а с b и к результирующему вектору прибавляем с, оконча­тельно получаем (черт. 4) вектор A D ’, из чертежа очевидно, что тот жесамый результат получится, если к а прибавить сумму b — С, такимобразом имеем формулу:(а "Ь Ь) -(- с = a -j- (b -{- с) = a -f- b -J- с, (3)выражающую ассоциативность (сочетатель ность) геометрического слож ения : в гео­метрической сумме скобки можно рас­крывать и вводить как в обыкновеннойалгебре.Для сложения трех и более векторов полу­чается таким образом правило многоугольникавекторов: надо последовательно отложитьв любом порядке векторы а ,, а?,.

. .,а„, сов­Черт. 4.мещая начало каждого следующего с кон­цом предыдущего, и образовать замыкающую линию полученнойломаной линии, ведя ее от начала первого вектора к концупоследнего. Из коммутативности и ассоциативности сложения вытекает,что мы можем складывать векторы в любом порядке, в частности можемзаменять любое количество их соответствующим результирующим век­тором.Отметим особо правило сложения трех векторов, не лежащих в однойплоскости: геометрическая сумма таких трех векторов изображаетсядиагональю параллелепипеда, построенного на данных трех векторах, как►на ребрах. Так например, на черт.

8 вектор OD равен геометрическойсумме векторов OK, OL и ОМ.2.Перейдем к вычитанию векторов. Рассмотрим тот частный случайсложения двух векторов а и Ь, когда результирующий вектор сведетсяв точку, т. е. обратится в нуль (черт. 5):а + Ь — 0.(4)Очевидно в этом случае вектор b равен по ве­личине, но противоположен по направлению век­тору а. Бели бы с уравнением (4) можно былопоступать по правилам обычной алгебры, то мы легко вывели бы, чтоЬ =*= — а.(5)В соответствии с этим под вектором — а мы будем пониматьвектор, противоположный а, т.

е. равный по величине, но про­тивоположный по направлению вектору а.Вычитание, как действие, обратное сложению, определяется следую*10В екторнаяа лгебращим образом: вектор х = а — b называется разностью векторов а и Ь,если сумма х и b дает а :х-}-Ь = а.(6)Прибавляя к обеим частям этого уравнения вектор — Ь, мы получим:а — b = x = a -f-( — b).(7)Таким образом, чтобы вычесть из вектора а вектор Ь, надоприбавить к вектору а вектор — Ь, противоположный вектору Ь.Иначе можно получить вектор а — b следующим образом: отложив обавектора а и b от общего начала О, проведемв3£>вектор из конца В вектора b к концу Авектора а (черт.6), это ибудет а — Ь.В самом деле: В А = ВО -f- ОА = — Ь- ) - а .Таким образом в параллелограмме, по­строенном на а и b (черт.

6 ), одна диагональпредставляет сумму векторов а и Ь, другая —3-чих разность.3.Нужно отметить, чтЧерт. 6 .лограмма для геометрического сложения век­торов ограничивает область направленныхвеличин, которые мы можем назвать векторами. Например, вращениетвердого тела около некоторой оси на конечный угол может быть пред­ставлено направленным отрезком, но это не будет вектор, ибо два по­следовательных вращения около разных осей складываются (как доказы­вается в кинематике) не по правилу параллелограмма, а по более слож­ному закону. Это объясняется тем, что направленная величина, предста­вляющая поворот твердого тела на конечный угол около некоторой оси,является тензором, т.

е. величиной более сложного характера, нежеливектор. Напротив бесконечно малые вращения могут быть представленывекторами, ибо для них правило параллелограмма справедливо, так жекак для сил, скоростей и т. д. Таким образом, точнее было бы опре­делить вектор как величину, характеризующуюся своим числен­ным значением, своим направлением в пространстве и подчи­няющуюся правилу геометрического сложения.Действием, обратным геометрическому сложению, является, помимогеометрического вычитания, еще геометрическое разлож ение, состоя­щее в том, что данный вектор заменяют равной ему суммойнескольких векторов. Геометрически это сводится к построению ло­маной линии, имеющей данный вектор замыкающей стороной. Очевиднозадача в таком виде имеет неопределенный характер и надо наложитьна геометрические слагаемые ряд условий, чтобы сделать задачу опре­деленной.Важнейшие случаи разложения мы сейчас и рассмотрим, но пред­варительно остановимся на вопросе об умножении вектора на скаляр.4.Пусть мы имеем вектор а, умножить его на целое положительноечисло т — значит сложить между собою т векторов, равных а; в ре-С лож ение,вы читаниеи ра зл о ж ен и ев екто ро в11зультате, очевидно, получится вектор Ь, имеющий то же направление,что и а, но по длине в /га раз больший:b = т а = am,Ь = та.(8)Отсюда можно вывести, что при всяком полож ительном т мыдолжны принимать за вектор /па вектор длины та.

имеющийто же направление, кто и а.Раньше мы уже определили умножение вектора а на— 1; это естьвектор, противоположный а; поэтому при умнож ении а на отрица­тельное число т, мы получаем вектор длины | /га | а, параллель­ный а, но имеющий противоположное направление.Из этих определений непосредственно вытекает справедливость сле­дующих формул:(/га -j- п) а = та.

-j- па/га (гаа) = (/яга) а = га (та).(9)(10)Если умножить двг1 вектора а и b на /га и потом сложить, то полу­чится результат, одинаковый с тем, который мы получили бы, если бысначала сложили а и Ь, а потом умножили на /га:т а-\-т Ъ — т (а-\-Ъ ).(11)В этом выражается дистрибутивный (распределительный ) законумнож ения вектора на скаляр: скобки можно раскрывать, какв обыкновенной алгебре. Для доказательства достаточно представитьсебе геометрический смысл ур-ния ( 1 1 ), которое выражает, что если мыизменим на черт.

2 стороны Д A BC в отношении /га, то из полученныхвекторов составится новый треугольник, подобный данному.Формула (11), очевидно, справедлива и для нескольких векторов:/па, + /гаа, + . . . - f m an = m{ax -j- a^ - f ■■• + a„>(12)5. Только что рассмотренные нами векторы а и b :Ь = /гаа(13)параллельны между собой; т а к и е в е к т о р ы н а з ы в а ю т с я т а к ж еколлинеарными.Обратно, всякий вектор b может быть выражен через коллинеарныйвектор а по формуле (13), где /га — скалярный множитель, представляю­щий отношение длин векторов b и а, взятое со знаком плюс илиминус, смотря по тому, имеют ли векторы а и b одинаковое направле­ние или как раз противоположное.Особенно важен частный случай, когда один из коллинеарных векто­ров имеет длину, равную единице.

Такие векторы называются е д и н и ч ­н ы м и в е к т о р а м и или о р т а м и . Орт вектора а часто обозначаютчерез а ,, указывая значком 1 , что вектор a t есть единичный. Тогда длявсякого вектора а будем иметь:a = a a t.(14)12В екторнаяалгебраВ формуле (14) разделены два элемента, характеризующие вектор:его длина а и его направление а].6. Если векторы а и b не колли неарны, то векторс = т ъ -\-пЬ*(15)параллелен плоскости, определяемой векторами а и Ь, ибо геометриче­ская сумма векторов, лежащих в одной плоскости, лежит в той жеплоскости.В этом случае говорят, что в е к т о р ы а, b и с к о м п л а н а р н ы ,т. е. п а р а л л е л ь н ы о д н о й п л о с к о с т и .Обратно, всякий вектор с, компланар­ен_ Dный двум не коллинеарным векторам а иДJnbb, может быть представлен формулой (15)./ \/Для доказательства отложим все три век/с\/тора а, b и с от общего начала О (черт.

7)/\/Ьи проведем через конец С вектора с пря________у3А мые CD и СЕ, параллельные векторам атаОи Ь; тогда с представится как геометри­ческая сумма двух векторов, коллинеарныхЧерт. 7.соответственно векторам а и Ь, т. е.равных та. и пЪ. В результате получаетсяразложение (15). Это разложение единственное, так как если бы мы имелидва разложения:С = /и а + /г Ьс = т'а -|- п'Ь,то, вычитая нижнее равенство из верхнего, мы получили быО= (/п — т ') а - } - ( « — п') Ь,(16)откуда непременнот — tri = 0,п — п ' =«* О,т. е. т = т', n= *ri. В самом деле, если бы, например, т — т ' ф О,то, решая уравнение (16) относительно а, мы нашли бып — п' .т—та = -------------- - Ь,т. е.

а был бы коллинеарен с Ь, что противоречит предположению.Итак разложение (15) единственно.7. Если три вектора а, b и с не компланарны, то всякий вектор dможет быть представлен в формеd —т & п Ъ р с ,(17)т. е. разложен на три составляющие, параллельные соответственно векто­рам а, b и с.Для доказательства отложим все четыре вектора а, Ь, с, d от общегоначала О (черт. 8 ) и проведем через конец D вектора d плоскости, (С л о ж ени й , вы читание и р а з л о ж е н и евекторо в13параллельные граням трехгранного угла, о б р а зо в а н н о го в е к т о р а м и а , Ь и с ;тогда d представится как сумма трех векторов (н а п р и м е р О /С, O L , О М ) ,коллинеарных соответственно векторам а , Ь и с , т.

Характеристики

Список файлов книги