1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Точка М (г) движется с постоянной скоростью v; в начальный момент она находилась в точке М 0 (г0); узнать, в какой моментона встретит плоскость, заданную уравнением(г, а) = <х.Очевидно, точка М пробегает прямуюr = r 0 -f- \ t ,и надо определить момент t, отвечающий пересечению этой прямойс плоскостью; вставляем выражение для г в уравнение плоскости(r0-!-v f, а) = а,(г,,, a)-J-(v, а) * = а,откуда, __а — (г0, а ) __ ®— (ахх оЧ- ауУо ~Ь а<?о)“vxax-\-v yay-\-v tat(v, a)Задача 38. Найти уравнение плоскости, проходящей через серединуотрезка, соединяющего две точки Ж 1(Г1) и М 3(г.^), и перпендикулярнойк этому отрезку.' '.аОтвет,(г, Г, — Г2) =12Задача 39. Найти уравнение сферы радиуса а с центром в началекоординат, а также уравнение касательной плоскости к сфере в точкесферы Mj (гх).Уравнение сферы, как геометрического места точек, удаленных отначала координат на расстояние а, имеет очевидно следующий вид:(г, г) = а \или в координатной форме:** - f j ' 2 -f- г 9 = а 9.Касательная плоскость проходит через точку M i ( r x) и перпендикулярна к вектору rv следовательно, ее уравнение можно написать в тз*ком виде;(г, гх) — (г„ г,) = а 9С калярное и л ииливнутреннее,п ро и зв ед ен и едвухв е к т о ро в45,x x i -Ь УУ\ -Ь z z \ == а •Задача 40.
Рассмотрим сферу радиуса а с центром в начале координат. Две точки, лежащие на одном луче, проходящем через началокоординат и находящиеся на таких расстояниях /? и R ' от последнего,что произведение f t R '= а 2, называются гармоническими. Доказать следующее свойство гармонических точек: отношение расстояний любойточки сферы до двух гармонических точек есть величина постоянная.В самом деле, если радиус-вектор одной гармонической точки Ресть Ха, причем |а[ = а, то радиус-вектор другой гармонической точки Qбудет-г—а. Возьмем теперь произвольную точку М{т) на сфере, так что(г, г) = а2.Составим выражения для М Р2 и MQ2:М Р *= (г — Ха, г — Xа) — (г, г) — 2Х(а, r)-j-X2(a, а) == а2— 2Х(a, г) -f- Х2а2,MQ* — ( г ---- ~ a , г — 1 a j = (г, г) — 2-|-(а, г) - f (а, а) *—----------------а* — 2^-(а, г) + -^-а2.Очевидно, М Р3 я=> XW Qa, так что М Р = XMQ, что и требовалось доказать.Задача 41.
Какой угол составляют между собой два вектора:a = i - f - j — 4k и b = I — 2j - f - 2 k?О т в е т . 135е.Задача 42. Какой угол составляют между собой два вектора а и Ь,если известно, что вектор a -f- З Ь перпендикулярен вектору 7а — 5Ь,а вектор а — 4Ь перпендикулярен вектору 7а — 2Ь?О т в е т . 60°.Задача 43. Пусть г есть радиус-вектор точки в плоскости. Какая кривая выражается уравнением (г, г — 2а) = 0? Какое свойство этой кривойвытекает непосредственно из только что написанного уравнения кривой?О т в е т . Окружность; вписанный в окружность угол, опирающийсяна диаметр, есть прямой.Задача 44.
Доказать, что если А, В, С — вершины треугольника,Р — точка пересечения его медиан, а О — какая-либо точка, то имеетместо тождествоАВ2 4 . В О + СA2 - f 90Р 2 = 3 (ОА2- f ОВ2 - f ОС3).Задача 45. Доказать, что если А, В, С — вершины треугольника,А ', В', С' середины противоположных сторон (черт.
10) и О — какая-либоточка, то имеет место тождествоА В *-\-В О + С А 2-\-Ь[(ОА')*-\-(ОВ')*-\-(ОСу\=*\[ОА* + ОЬ*+ОС*\.46В екторнаяа лгебра§ 6. Векторное или внешнее произведение двух векторов. Изображение площадей векторами. Вектор замкнутой поверхности.Свойства векторного произведения. Полярные и аксиальныевекторы. Приложения к статике и кинематике.1.В предыдущем параграфе мы рассмотрели скалярное умножение двухвекторов. Теперь мы рассмотрим векторное умножение двух векторов,в результате которого получается новый вектор. К необходимости рассматривать такую операцию приводят требования геометрического и физического характера.Например, вспомним определение момента относительно начала координат О силы F, приложенной к точке Р, характеризуемой радиусом-вектором г; это есть вектор, равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах г и F, и направленный по перпендикуляру к этой площади. Вектор, таким образом составленный изг и F, и называется векторным произведением г и F.
Дадим более точное определение.Векторным или внешним произведением двух векторов а и bназывается вектор, по величине равный площади параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, перпендикулярныйплоскости эт их векторов и направленный в такую сторону,чтобы вращение от а к b на кратчайшем пути вокруг полученного вектора происходило в ту же сторону,\Щкак вращение от оси х к оси у вокруг оси г.j.Если выбрать левую систему координат, то нужновращать ось х вокруг оси г по часовой стрелке, чтобысовместить ее с осью у. Поэтому векторное произве/ Г.'■ьдениевекторов а и b нужно направлять в такую сто§'«О -Орону, чтобы глядя оттуда, видеть вектор а слева от Ь,СЗт. е.
переход от а к b видеть совершающимся по часо£ оавой стрелке (черт. 27). Если же пользоваться правойЧ ер т. 27.системой координат, в которой вращение от оси х коси у на кратчайшем пути вокруг оси z происходитпротив часовой стрелки, то векторное произведение векторов а и bпридется направить в противополох:ную сторону, как показывает черт. 27.Мы будем обозначать векторное произведение а и b символо짫о оо>C= [a, b],(1)аз других обозначений наиболее употребительны [ab], а X Ь.Длина вектора с по определению равнаc = ab sin (а, Ь).(2)Отсюда сразу же можно вывести, что при параллельности а и Ь,векторное произведение а на b равно нулю:[а, Ь] = 0(а || Ь);в частности всегда[а, а] =» 0.( 3)(4)В екторноеиливнеш нееп ро и зв ед ен и едвухв е к т о ро в47Напротив, если а перпендикулярно Ь, тос =» ab.(5)2. От перестановки сомножителей векторное произведениеменяет свой знак.[Ь, а]=[а, Ь],(6)ибо величина параллелограмма и его плоскость не меняются, направление же произведения мы должны изменить на прямопротивоположное.Таким образом векторное произведение некоммутативно.Далее, векторное произведение а с с о ц и а т и в н о по отношениюк скалярному множителю, т.
е. скалярный множитель можно выноситьиз-под знака векторного произведения:[от а, Ь] = m [а, Ь],(7)при положительном т эта формула очевидна, ибо она выражает, чтопри увеличении одной стороны параллелограмма в т раз, площадь параллелограмма тоже увеличится в т раз. Чтобы убедиться в справедливости формулы (7) для случая отрицательного т , достаточно обратитьвнимание на то, что при изменении знака одного из множителей величина векторного произведения остается неизменной, направление же этогопроизведения меняется на прямо противоположное.Теперь мы докажем д и с т р и б у т и в н о с т ь в е к т о р н о г о п р о и з в е д е н и я , т.
е. формулу:[a, b-}-c] = [a, b]-j-[a, с].(8)Для доказательства разложим векторы b и с на две составляющих,параллельно и перпендикулярно вектору а:b = m a-f-b ' (b 'J_ a ),с = л а -j - с ' (c 'J _ a ),1/тогда b —{—С тоже разложится на две составляющих:bс = {т -j- я) a -j- (b* -{- с^) (b' -f- с' 1 а).(10)Заметим теперь, что[а, Ь1 = [а, Ь'],(11)ибо площадь параллелограмма, построенногона а и Ь, равна площади прямоугольника,построенного на а и Ь ' (черт. 28).Точно также[а, с) = [а, с'], [а, Ь+ с] = [а, Ь' + с']. (12)Черт мно нетрудно показать, что[а, Ь' -{- с7] == [a, b']-f-[a, с'](13)ибо, если выбрать, например, левую систему координат и если вектор а,перпендикулярный к черт. 29, выполненному в плоскости векторов W48В ек т орн а яа лгебраи с ', направлен от чертежа вперед к нам, то векторное произведение[а, Ь'] будет представляться отрезком длины ab', повернутым на 90°по часовой стрелке.
Таким образом, весь параллелограмм, построенныйна Ь' и с ', поворачивается на 90° и ’удлиняется в отношении а, а таккак при этом диагональ продолжает оставаться геометрической суммойсторон параллелограмма, то и получается соотношение (13). В силу равенств (11) и (12)это соотношение равносильно (8).3.Приведем другое доказательство формулы(8), для чего покажем сначала, как можнопри помощи векторов изображать не тольконаправленные отрезки, но и направленные площади. Такая площадь только что встретиласьнам в виде параллелограмма, построенного на век*торах а и Ь, причем был существенен порядок,в котором следовали векторы а и Ь.
Откладывая сначала вектор а, а потом Ь, мы получаемопределенное направление контура параллелограмма (черт. 27); этот параллелограмм мыизобразили вектором с.Мы будем всякую площадку S, на конЧерт. 29.туре которой задано направление обхода,изображать вектором , длина которогоравна площади площадки, а направлениесовпадает с направлением положительнойнормали к площадке.При этом положительной нормалью к площадке называется перпендикуляр, восставленный к площадке и направленный в ту сторону, откуда обход по контуру кажется соьершающимся по часовой стрелке,если выбрана левая система координат, и против часовой стрелки, если выбрана правая система.
Иначе этоможно высказать следующим образом: будем ввинчиватьв площадку винт, вращая его в направлении, обходаконтура, тогда он будет перемещаться и поступательнов направлении положительной нормали к площадке, еслитолько пользоваться при левой системе координат винтом с левой нарезкой, а в правой системе винтомс правой нарезкой или буравчиком.Мы будем обозначать вектор, изображающий площадку S, через S или Sit, понимая под п — единичЧерт. 30.ный вектор, направленный по положительной нормали(черт. 30).Дальше мы несколько остановимся на свойствах векторов такого рода.Докажем теперь следующую теорему: проекция площади, S, изображаемой вектором S, на какую-либо плоскость Р, можетбыть изображена вектором, являющимся проекцией вектора Sна перпендикуляр к плоскости Р.Пусть плоскости S и Р составляют между собой угол а (черт.
31);обозначим линию их пересечения через КК'.В екто рн о е или внеш нее п р о и зв ед ен и е д вух векто р о в49Рассмотрим прямоугольник ABCD, две стороны которого АВ и CDпараллельны прямой КК, а две другие стороны AD и ВС перпендикулярны КК'. Это г прямоугольник спроектируется в прямоугольник А'В'С'D',две стороны которого А 'В' — CJD ' будут равны АВ = CD, две жедругие стороны, очевидно, уменьшатся, а именно:А 'С / — В 'Cf = AD cos а — ВС cos «.Поэтому площадь dS четыреугольника ABCD спроектируется в площадь dS' — d S cos а. А отсюда следует, что проекция S ' всей площадиS равна S ' — S cos а, так как площадь »S можно составить из большогочисла прямоугольников вида ABCD со сторонами, параллельными и перпендикулярными к КК', каждый из которых будет при проектировании уменьшатьсяв отношении cos «.Спроектируем с другой стороны векторS (на черт.
31 принята левая система координат) на перпендикуляр к плоскости Р.Гак как угол между перпендикулярамик плоскостям S и Р равен углу междусамими плоскостями, т. е. а, то проекцияS на перпендикуляр к плоскости Р равна.Scosa, т. е. величине площади S'. С другой стороны, из чертежа видно, что проекция S на перпендикуляр к Р , рассматриваемая, как вектор, является положительной нормалью для S'. ПоэтомуS ' может быть представлена проекцией S на нормаль к Р, что и требовалось доказать.Возьмем теперь какую-нибудь многогранную поверхность S, на контуре которой задано определенное направление обхода.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
