1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 7
Текст из файла (страница 7)
k ) 4 - a ybx ( l \)-\-a yby {), j ) - f ayb,Q, k ) 4 4 - aA (k , i) 4 - « Л p j) + a A (k, k) = axbx -\- ayby 4 - a Д . (10)Так как выражение (а, b) не зависит от координатной системы, товыражение axbx-\- ayby-\- atbt инвариантно по отношению ко всемпрямоугольным прямолинейным координатным системам, т. е.я® Ьх 4 " ahby 4“^ 7 = ах bx -\-ayby -\- azbt.(11)Эту инвариантность можно проверить непосредственно по формулам (8) и (6) § 4.Из формулы (10) легко вывести, далее, условие перпендикулярностидвух векторов, заданных своими составляющими, а именно:йА +аА + аА= °(а_[_Ь).(12)При помощи символа скалярного произведения можно легко представить ряд важных величин.
Составим, например, скалярное произведение вектора а на орт i(а, \) = ая,получилась проекция ректора а на направление орта 1,(13)С каляр н о е или вн утрен н ее п р о и звед ен и е дву х в ек то р о р39IЕсли вектор а сам есть единичный вектор, то скалярное произведение (a, i) дает косинус угла между направлением вектора а и осью х.Так например, выбирая за вектор а орт j (черт. 20), мы найдем, что(1, j) = cos (я , у) — «2.
Таким образом все девять косинусов таблицы § 4могут быть представлены скалярными произведениями соответствующихортов.Далее, при помощи скалярных произведений, очень просто вывестиформулы перехода от одной координатной системы к другой, например:= (а> *) = |j j f+ «А» 0 = aJS> 0 4-+ a t (J. 0 + a t (k, T) = a jxx + a y^ - f a ji*( 14)Аналогично выводятся все остальные формулы преобразования составляющих вектора § 4.Составим таблицу важнейших свойств скалярного произведения:1) (а, Ь) = ab cos (а, Ь) (определение),2 ) (а, b) = (b, а),3) (а, Ь) = 0, если а = 0 или Ь = 0, или а J_b,4) (а, b) = z+z db, если а и b коллинеарны, в частности (а, а) = а 2,тптп5) (£«,.
j=i2 b<)=SS(a» b><=i j=i6) (/па, пЬ) — тп (а, Ь),7) (a, b) — axbx-\-a yby-\-a tbt.Разберем несколько примеров.Задача 27. Дан прямолинейный треугольник ABC (черт. 21). Вывести основную формулу прямолинейной тригонометриис2 = а 2Ь* — 2ab cos С.(15)Для доказательства достаточно помножить обе части тождестваС = а-}- Ьскалярно сами на себя ; с2 = (a -j- b, а -{- Ь) — (а, а) 4 “ 2 (а, Ь) 4* (Ь, Ь) ==— a?-\-2ab cos (а, Ь)4~£9, но а, b = 180°— С, следовательно cos (а, Ь) ==== cos (180° — Q = — cos С,откудас2 = а2 — 2ab cos С 4что и требовалось доказать.Задича 28. Выведем несколько соотношений между сторонами и диагоналями параллелограмма.v Пусть стороны параллелограмма ОАВС (черт. 6) представляют векторы а и Ь, так что ОА = В С = а, АС — ОВ = Ъ, тогда диагоналиего представят векторы а 4 Ь = = О С и а — Ъ = ВА,40В екторнаяа л г ебраСоставим тождества(a-f-b, a -f - Ь) = л2- |- 2 (a, b )-f-№ 1(а — b, а — Ь) = а*— 2 (а, Ь )4“ ^9* /,.gvСкладывая их, получим:(а 4~ Ь)а 4~ (а — Ь)2= 2 (а3 4~ Ь'2),(17)т.
е. сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратовего сторон.Еычитая нижнее тождество (16) из верхнего, найдем:(а 4” Ь)2— (а — Ь)2 = 4 (а, Ь),(18)г. е. скалярное произведение из сторон параллелограмма равно четвертиразности квадратов диагоналей. Отметим, между прочим, что из этогорезультата можно сразу вывести выражение (а, Ь) через составляющиевекторов а и Ь:(а 4- Ь)21 (ав 4- Ьх)* | (а9 4- Щ 4- («. 4~ b j Щ+ 2ахЬл ++ bl + al + 2ау ьу 4- ь\ 4- а14 - 1а„ъг 4- ь\ ,(а - Ь)* = <в. - Ьху + (ау - Ьу? + {ав - Ъ ? = а'ш- \а х Ъх + Ь\ +4- агу — 2ayby-\- b\ -j- a* -^2ae£s-f- b\,4 (а, Ь) == (а 4 - Ь)2— (а — Ь)2 = 4 (ae be + a j 94 - аяЬв),откуда(а, Ь) = ах дх -\- ауЬу 4 - ааЬя.Составим, наконец,И(а4-Ь, а — Ь) = (а, а) — (Ь, b) = а2— №,(19)следовательно, скалярное произведение диагоналей параллелограмма равноразности квадратов сторон, поэтому диагонали параллелограмма тогдаи только тогда взаимно перпендикулярны, когда а — Ь, т.
е. когда параллелограмм есть ромб.Задача 29. Доказать, что работа равнодействующей R несколькихсил Fj, F2, . . . , Fw, приложенных к одной и той же точке, на перемещении s этой точки, равна алгебраической сумме работ составляющихсил.В самом деле, умножая скалярно на s обе части равенстваR = Fl + F , + .
. . + F „получим(R, s) = (Fx, s) 4 “(F2, s) 4~ • •• 4" (F»ii s)»T, e. работа равнодействую щ ей равна сумме ра^от составляю щ их.(20)С калярноеилив нутреннееп ро и зв ед ен и едвухв екторо в41Задела 30. Вывести формулу для косинуса суммы двух углов.Возьмем в плоскости х у (черт. 25) два единичных вектора а и Ь,составляющих с осью х соответственно углы а и — (3 (отсчитываем углыот оси х к оси у ) и составим (а, Ь).
С одной стороны это есть косинус угла между векторами, т. е. cos (a-f-{3)> С другойстороны это есть axba\ a yby \ - ajbt \ ноуах = cos a, ау = sin a, at = 0 \Ьх = cos£, by = — sinp, bt — 0 , Jследовательноcos (a -f- p) = cos a cos (3— sin a sin p.Задача 31. Векторы а и b заданы косоугольнымисоставляющими ах, ау, at и bx, b , bt ; найти аналитическое выражение для (а, Ь).Ответ вытекает из формулы (10), в которой надо подставить вместо(1, j) его значение cos (х, у), далее (j, k) = cos (yTz), (к, i) = cos ( i f * )(а, b) = axbx -j- ayby -{- ajbt -|- (axby -j- aybx) cos (л:, у) -j+ (a A + « A ) cos (xTz) -{- (ay b,-{-asby) cos (yT z ) ;(23)в частности длина вектора а, заданного своимикосоугольными координатами ах, ау, ае, выражается следующей формулой:^ — ah + а\4~ а1 + ^ах ау cos (х >у ) 4~+ 2 ауаг cos (у, г) 4 - 2 atax cos (z, х).
(24) лЗадача 32.Доказать,чтовекторх = b (а,с) — а (Ь, С) перпендикулярен вектору с.Задача 33. Доказать, что три высоты треугольника пересекаютсяв одной точке.Обозначим точку пересечения высот, опущенных из вершин А и В,через О (черт. 26). Введем векторы ОА — Х, ОВ — у, O C — Z, тогда,как видно из чертежа:а = z — у,b = х — z, с = у — х.Условие перпендикулярности ОА к ВС и ОВ к АС дает:(х, а) = (х, z — у) = (х, z) — (х, у) = 0(У. Ь) = (у, х — z) = (y, х) — (у, z) = 0.Складывая эти два равенства, найдем(х, z) — (у, z) = (x — у, z)— (с, Z)=»0,42В екторн аяа л г ебраа следовательно ОС перпендикулярен к АВ, так что О лежит и на вы*соте опущенной из точки С.Другое доказательство основывается на решении задачи 12.
Легковидеть, что в рассматриваемом случаеA M = b cos А', M B = a cos В; В К = с cos В.K C = b co sC , C L = a co sC , LA = с cos Аи следовательно условие пересечения трех высотВ К • CL • A M — К С -L A - MBвыполнено.Задача 34. Если радиусы-векторы вершин треугольника ABC сутьГц га, г3, то найти радиус-вектор г точки пересечения высот этого треугольника.Согласно решению задачи 12 мы имеемГ=-f- Sgla -f- а8Г„где а1} а2, а8 должны определяться из равенстваа - . В К .
“tC L . ®вАМ .Но в нашем случае имеем, напримерВ К — Сcos В', К С — b cos С,поэтомуа«ааФ_с cos Вb cos С ’но по теореме синусовbsin Сsin В *следовательноа8 __ tg С«а tgBи аналогично«,чtgЛ. «a_ t g 5 ..,*С ’Кig A ’ в1 + а* + в» - 1*откуда легко полнитьtg.Ae i“tgB______,igA + \$ B + t g C ’"tg ^ + t g 5 + t g C ;- _tecС к аля р н о е или вн утрен н е!п р ои зв еден и е дв ухвекторов43и, следовательно, для точки пересечения высот треугольника получаемвыражениеfi tg Л - j- г , t g f l - f г , tg С""5 + tgCЗадача 35.
Найти уравнение плоскости, перпендикулярной к задан*ному вектору а и проходящей через данную точку М х (г,).Возьмем любую точку М (г) плоскости, тогда, при перпендикулярности плоскости и вектора а, вектор М ХМ = г — г, будет перпендикулярен к вектору а и обратно, если вектор М ХМ перпендикулярен к а,то точка М лежит в плоскости; выразим это условие перпендикулярности векторно:(г— г„ а) = 0; (г, а ) — (гх, а) = 0,т. е.(г, а) = (г1э а),представляет уравнение искомой плоскости.
Вводя координаты х и у х, z xточки М х и составляющие ая, а , а , вектора а, найдем аналитическоеуравнение плоскостиат( х — х х) + ау ( у — у х) - f а . ( г — г,) = О,илиа*х -f- ауу -f а,г — аях х- \- а уу х - f a,zx.Задача 36. Найти расстояние от точки М х (гх) до плоскости(г» а) = ».(25)Плоскость (25) перпендикулярна к а; в самом деле, пусть две точкиЛ Р(г') и А Г ( О лежат в плоскости, тогда(г', а) = а, (г', а) = а,следовательно (г' — г", а) = 0, т.
е. М 'М " перпендикулярно к а, так чтовсякая прямая плоскости перпендикулярна к а, что может быть толькопри условии перпендикулярности плоскости и вектора а.Легко написать уравнение перпендикуляра, опущенного из точкиМ х (гх) на плоскость (25) :г = гха X,(26)где X— переменный параметр, пробегающий все значения. Найдем точкупересечения этого перпендикуляра с плоскостью, для чего надо совместнорешить уравнения (25) и (26).Подставляя выражение для г из ур-ния (26) в (25), найдем:(гг + аХ, а) = а44В екторн аяа лгебраСамый перпендикуляр представляется вектором Ха, длина же его,п .|а — (г-|, а)|N—Х а= ?]------= ---------------- Т 7~ г------ ----------------- *а^4+4+^(27)В частности расстояние d0 от начала координат до плоскости (25)выражается формулой:1*1(28;0 Ж Ш'Задача 37.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
