1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е . р а в н ы х / я а , л Ьи />с. В результате получается р азл о ж ен и е (1 7 ). Э то р а зл о ж е н и е е д и н ственное, так как, если бы мы имели д ва р а з л о ж е н и я :d == /и я/гЬ —f—р сd = m ' a -f- л 'Ь - f - /? 'с ,мы из них получили быО — C/7Z — m ') a -f- ( л — л ') b -f- </? — р ' ) сЧерт. 8.Черт.
9.и если бы хоть одна из разностей m — / я ', п — л ', р — р ' не р а в н я л а с ьнулю, то векторы а , b и с оказались бы ком планарны м и, ч то п р о т и в о речит предположению. П оэтому т ! — т , п ' = л , р ' == р , т. е. р а з л о жение (17) единственно.Разберем несколько прим еров на слож ение и р а зл о ж е н и е в е к т о р о в .З а д а ч а I . Какому условию долж ны у д о вл етв о р ять тр и в е к т о р а а , Ь , с ,чтобы из них можно было о б р азо вать треугол ьн и к.Из черт.
9 видно, что искомым условиемявляется a - f b -J- с = О, так как то гд а итолько тогда ломаная линия В С А В зам кнетсяи образуется треугольник.З а д а ч а 2. Д оказать, что можно п острои тьтреугольник, стороны которого равны и п а раллельны медианам данного Д A B C (ч ер т.1 0 ).Обозначим середины сторон В С , С А и •С%т сА В соответственно через А ' , В ' и С7 . В ы разимЧерт. 10.векторы, представляющие медианы тр еу го л ьника, т. в. А А \ ВВ? и С С через а , b и с .
Н айдем н а п р и м е р A A ' iА А ' = А В + В А ' = С+ ~JSl14С екто рна яа лгебра\Ибо—>,_*1В А ' = -j- ВС — у а.Циклической перестановкой (т. е. заменой а на b, b на с и С на а)получаемВВ' = а 4 - yСС' = Ь + у .Проверяем условие задачи 1 , что из векторов А А ', В В ', СС', можносоставить треугольник; для чего составляемД '+ Й ' + СГ = с+ f+ а +Ь - + Ь + - f = ! (а + Ь+ с) = О.Условие задачи 1 выполняется; следовательно из А А ', В В' и СОдействительно можно составить треугольник.Прежде чем переходить к дальнейшим примерам, мы введем нескольконеобходимых нам понятий.Положение какой-нибудь точки пространства Я может быть опреде■■^лено вектором ОР, начальной точкой которого служит некоторая, опре■■Щделенным образом выбранная точка О, а концом — точка Я ; вектор ОРмы будем называть радиусом-вектором точки Р относительноточки О и будем обозначать обычно буквой г.
Про точку Р,заданную радиусом-вектором г, мы будем говорить, д ля сокращения речи, что дана точка Я (г).Задача 3. Найти радиус-вектор г середины С отрезка А В, знаяточки А (г,) и В (г2).Вычисляемг = О С = О А + Л С = ОА 4 - у А В = О А - f+(ОВ — 0 4 ) = гх+— r i) = = "2 '(Г1_Ь Г9)-(18)Задача 4. Доказать, что если диагонали четырехугольника делят другдруга пополам, то четырехугольник есть параллелограмм.В самом деле, если радиусы-векторы четырех последовательных вершин четырехугольника ABCD суть г 15 г 2, г3, г4, то середина диагонали АС будет иметь радиус-векторг' = у(Г 1+ Гз)’а середина диагонали BD будет иметь радиус-векторг’ ='2(Га + r J ,Слож ение,вы читаниеира зло ж ен и евекто ро в15но так как диагонали делят друг друга пополам, то эти точки совпадают, откуда4 - ( г 1 + гз) = 4 - ( г2 + Г*)илиг, =Гот. е.
вектор А В — г 2 — г 1? равен и параллелен вектору DC — Г3 а следовательно ABC D есть параллелограмм.Задача 5. Выяснить геометрическое значение уравненияг*,09)1 г = а 4 - пЬ,где а и b заданные векторы, п — переменный параметр, г — переменныйвектор.Найдем геометрическое место конца Я радиуса-вектора г (черт. 1 1 ); если конец радиусавектора а есть точка А, то А Р = г — а = ; я Ьбудет коллинеарен с Ь, следовательно А Р параллелен Ь; поэтому искомое геометрическое местоесть прямая, проходящая через точку А и паралЧерт.
11.лельная Ь. Уравнение (19) есть векторное уравнение этой прямой.Задача 6. Показать, что необходимое и достаточное условие того,чтобы три точки А (а), В (Ь) и Р (г), где(20)г = та -f- пЪлежали на одной прямой, состоит в том, чтобы(21)т - \ - п — \.Исключение представляет случай коллинеарности векторов а и Ь,когда при всяких т и п точки А, В и Р лежат на одной прямой.В самом деле пусть точки А, В и Рлежат на одной прямой (черт. 1 2 ), тогдавекторы А Р = г — а и АВ = b — алинеарны, следовательно,кол-г — а = я ( Ь — а),(22)откудаг =а -у- п(Ь —а) = (1 — п) a-J- « Ь ,Черт. 12.так что в силу единственности разложения вектора г по векторам а и b(в случае их неколлинеарности) мы должны иметьт — 1 — rt, т -\- п = 1.16ВекторнаяалгебраОбратно, пусть о т - |- л = 1, тогдаг — а = /ла -}- лЬ — а =» /па -j- лЬ — (тл) а — л (Ь — а),следовательног — а коллинеарен с А В —■ b — а, т. е.
А В и А ?параллельны, а так как эти векторы отложены от одной точки А, тоА , В и Р лежат на одной прямой.Таким образом уравнение (20) при условии (21) можно рассматривать, как векторное уравнение прямой, проходящей через две заданныеточки А (а) и В (Ь). Полезно выяснить значение коэффициентов т и п .Из формулы (22) видно, что л равно отношению длин А Р и А В , взятому со знаком плюс, если точки В и Р лежат по одну сторону точкиА , и со знаком минус, если эти точки лежат по разные стороны А .Точно так же т равно отношению длин В Р и В А , взятому с надлежащим знаком. Как простое приложение этого замечания, найдем радиусвектор точки Р , делящей А В в заданном отношении х : у .
По условию ^АРРВху ГоткудаАРАВАРхА Р + Р В ~ х * \ - у ~ П'следовательнох+ у(2 3 )'З а д а ч а 7. Показать, что необходимое и достаточное условие того,чтобы четыре точки A (a), 5 ( b ) , С (с) и Р ( г ) , гдег = т а -f- лЬ + р с ,(24)лежали в одной плоскости, состоит в том, чтобыт - \- п - \~ р — 1.(25)Исключение составляет случай компланарности векторов а, b и с,когда при всяких т , л и р вектор г будет им компланарен, так чтопри всяких /и, л и р точки А , В, С и Р будут лежать в одной плоскости.В самом деле, чтобы доказать необходимость условия (25), предположим, что точки А , В , С и Р лежат в одной плоскости. Тогда векторыА Р = г — а, А В * ~ Ъ — а, /4С = с — а будут компланарны, следовательног — а = л ( Ь — л ) - \ - р (с — а )’**г = а ( 1 — л — р ) - f -лЬ -\-р с ,’Слож ение,вы читаниеира зл о ж е н и е17векто ро втак что в силу единственности разложения вектора по векторам а, Ь, с(в случае их некомпланарности) мы должны иметьп г=1— п — р , т -\- пр=1.Обратно, пусть т - \- п - \- р — 1, тогдаг — а = та -f-nb -\-рс — а = т а-{-пЬ -\-рс — (т - f п -\-р) а —= л (Ь — а) -\-р (с — а),следовательно вектор А Р компланарен векторам А В и АС, так чтоА, В, С и Р лежат в одной плоскости.Таким образом уравнение (24) при условии (25) можно рассматривать, как векторное уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А (а), В (Ь) и С (с).Задача 8.
Пусть радиусы-векторы вершин Д A BC суть г 1Р Г2 и г3.Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке инайти радиус-вектор этой точки.Обозначим середины сторон ВС, СА, А В через А \ В', С'. Радиусвектор А ' будет, по задаче 3, равенг' = у ( г 2Н - Гд),поэтому уравнение медианы А А ', как уравнение прямой, прохо^щ ейчерез точки А и А ', будет по задаче 6mтг.(г 2 ~ Ь гз)*Точно так же найдем уравнение медианы ВВ'\г = лг24 -1 ■п(«*1-h Г3).Чтобы найти точку пересечения медиан А А ' и ВВ', надо приравнятьоба выражения (26) и (27), так как для этой точки оба вычислениядолжны давать одно и то же выражение; итактг,1■т1(г, + г3) = лг2—п .(1*1+ Г8)*(28)Мы удовлетворим этому уравнению, если приравняем коэффициентыпри гг, г2 и г3 в обеих частях равенства (28):т—1—п1—т2п;1—m21—п2Г)откудаБ Ж эХ Ж рТ Е К АП а в л о д а р е но г от —п—эрное исчиедеяиIин с гц \у т а3’I tv 'v>» ’•Г-гэту**1«гь?- ^ 218В ек т о рн а яалгебратак что искомая точка пересечения D медиан А А ' и ВВ' имеет следующий радиус-вектор:*Г — у С ^ +Га +Г в ).(2 9 )Если бы мы стали определять точку пересечения медиан ВВ' и ССГ,мы полумили бы, по симметрии полученного выражения (29), тот жесамый результат, так что третья медиана проходит через ту же точку D.Задача 9.
Доказать, что биссектрисы треугольника пересекаютсяв одной точке.Проведем биссектрисы А А ' и ВВ' углов с вершинами А и В иобозначим точку пересечения этих биссектрис через Р (черт. 13).Обозначим орты векторов а, Ь и саа.b1bСг = — . Если мы на сторонах А В и АСсоответственно через а, = — , Ь, = — ис1отложим единичные векторы А К — С\ иAL = — bj, и построим на них параллело*g грамм, то диагональ его и будет, очевидно,биссектрисой угла А.
Поэтому векторАР, направленный по этой биссектрисе,*с <— b—, служащим диагобудет коллинеарен с вектором сг — Ьх =налью параллелограма AKML, поэтомусЛ Р = ^ ( с 1 — Ъ,) = д : ^ у —где х — неопределенный пока параметр.Циклической перестановкой (т. е. заменой а на Ь, Ъ на с, с на а,х на у) получим аналогичное уравнение для вектора ВР:Чтобы найти х и у , заметим, чтоА Р — АВ -J- ВР,* ( т - 4 ) = с + * ( - 5—г)‘(30)Мы не можем в этом уравнении приравнять по отдельности коэффициенты при а, Ь, С, так как эти векторы компланарны, а именноa - J - b - f - с = 0.(31)Исключим поэтому а; из ур-ния (31) мы найдема = — b — с,Слож ение,вы читаниеира зл о ж ен и е19в е к т о ро вподставляем это выражение в уравнение (30):* [г~ т)-*+•»'( —s" г)■теперь мы можем приравнять по отдельности коэффициенты при b и с,ибо разложение по двум не коллинеарным векторам b и с должно бытьединственно:X __у_2Ьа ', _У __У _а с *LсРешая яти уравнения, находимаса+ Ь+с *Ьса—(—Ь —(- сУи следовательноb e — cbа -\-Ь -\-сса — асВР-.1 а + 6 -f-c *АР>Если бы мы стали искать точку Рг пересечения биссектрис ВВ' иСС', то нашли бы результат, который можно получить из предыдущегоциклической перестановкой букв:£2рУСР'®а - ( - Ь-\-саЬ — Ьла -\-Ь -{-с *откуда видно, что B P — ВР', т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
