1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 5
Текст из файла (страница 5)
е. еслиа = Ь,(16)тоа , = Ьх,ау = Ь9,а, — Ьш.(17)Это — непосредственное следствие единственности разложения векторапо трем некомпланарным направлениям.Координаты геометрической суммы нескольких векторов равны алгебраическим суммам координат слагаемых векторов, т. е. еслиb = а х -j- а 2 +-f~ а„,(18)тоЬя — a i*~H a 2 * + • • • 4 * а я®> bv *s* aiy+ azv -\r+ * * + . .
.+ * * ■Щ а пг/> 1 nq>Г.П ро екц и яв ек то ранак а к о е -л и б он а п ра в л е н и е27Для доказательства надо применить теорему о проекции геометрической суммы к осям х, у , г.В частности, еслиС= а — Ь,(20)тос, — я» — Ьв,св = ау — brct =r*a, — Ь,.(21)Наконец, умножение на скаляр столь же просто выражается в координатах вектората = т (аяiat k ) = m a j + m a j + та, k.(2 2 )6 . Мы рассматривали прямоугольные проекции и прямоугольные компоненты вектора а.Но с равным успехом мы могли бы ввести три единичных некомпланарных вектора i, j, к, образующих косоугольную систему координат.Разложим вектор а по этим ортам:a = a j - f - a j + a ,k ,(23)тогда мы можем назвать ая, ау, аг — к о с о у г о л ь н ы м и к о м п о н е н тт а м и вектора а. Но в общем случае косоугольные составляющие небудут определяться формулами ( 1 2 ), так как для определения, например, ах нужно через концы вектора а провести плоскости, параллельныедвум другим осям у и z и найти отсекаемый ими на оси х отрезок;последний будет зависеть не только от угла между а и плоскостью yz,но еще и от угла между осью х и плоскостью y z .
Отметим, что теорема о проекции геометрической суммы векторов и ее следствие — соотношения (19) справедливы и для общего случая косоугольных координат.7. Выведенные в этом параграфе формулы и теоремы имеют большиеприложения, например, в статике.Равнодействующая нескольких сил F lf F2, . . . , F n, действующих наматериальную точку, выражается геометрической суммой их:R - ^ + F .- t- .
• - + F . .Проекция равнодействующей на какое-либо направление равна суммепроекций на то же направление всех действующих сил:Я» = ^11.-}“ ^2а~Ь * * ’Если проекции силы F, на оси х, у , z обозначить через Х {, Y{,Z it то проекции равнодействующей будутя .= * ,+ ---- h-*.. R , = y ,+ •••+>'„ /?,=Z,+---- VZj28В екто р н ая алгеврлВеличина и направление равнодействующей определяются по формулам (13) и (14) (только для прямоугольной системы координат):--Rxcos (R, * ) = - £ ,/?„cos(R ,j/) = -^ -,/?,c o s (R ,z ) = -^ -.Если точка, находящаяся под действием системы сил, находитсяв покое, то R = О, и обратно, если R = 0 и точка в начальный моментпокоилась, она и дальше будет находиться в состоянии покоя.Векторное равенство R = 0 равносильно трем алгебраическим:*ш = Х х+ ,+ ^ п = о,/?у= п + ..
| + У„ = О,. . • - f z„ = otВ задачах статики на равновесие системы сил, пересекающихся в однойточке, не может быть более трех неизвестных, так как условий равновесия, как мы только что видели, три. Эти неизвестные всегда можноопределить, спроектировав уравнение R = 0 на оси координат х, у , z,т. е. написав уравнения (24). Но часто удается проектировать уравнениеR = 0 на такое направление, чтобы все неизвестные, кроме одной, пропали, тогда сразу получается эта неизвестная.Примеры на этот параграф мы дадим в конце следующего параграфа.§ 4.
Преобразование координат. Преобразование составляющихвектора при переходе от одной системы координат к другой.1.Зная компоненты вектора а по осям х, у , Z, мы можем вычислитьего компонент по любому направлению и. Возьмем для этого проекциина направление и обеих частей равенства ( 1 1 ) предыдущего параграфа ивоспользуемся теоремой о проекции геометрической суммы; в результатеполучимаи = ах cos (и?*) Ц ау cos (i Су) - f at cos (vCz).(1)Таким образом компонент вектора а по любому направлению можетбыть выражен через компоненты по осям прямоугольной системы, притом, как видно из формулы ( 1 ), линейным образом.
Это свойство характерно для векторов и должно было бы быть положено в основу определения вектора, если бы мы исходили из аналитического определениявектора при помощи его координат.П ре о бра зо в а н и е29координатВ формуле (1) подставим вместо аи, ах, ау,а в их выражения по формулам ( 1 ) и ( 1 2 ) § 3 и сократим на а\ обозначая через <р угол междунаправлениями векторов а и и, найдемcos <р = cos (a, u) = cos (а, х) cos (и, х) -f- cos (а , у ) cos (и,у ) -}cos (a, z) cos (и, z).(2 )Получили формулу аналитической геометрии, дающую косинус угла ©между двумя направлениями а и и.2.Допустим, что мы знаем компоненты вектора в некоторой координатной системе O xyz (черт.
2 0 ); возьмем другую координатнуюсистему O xyz , определенную тремя взаимно перпендикулярными ортамиi, j, к; компоненты вектора по новым осям^будут иметь уже другие значения а - г а—, а—.Спрашивается, как выражаются новые компоненты вектора а через старые?Ответ дается формулой (1).Чтобы упростить писание формул, мывведем таблицу косинусов девяти углов, составленных новыми осями со старыми:Черт. 20.XXУZ«1«2°з(3>УPi?2РзZЪъТаТак, например а 4 = cos (х, х), а 2 = cos (х,у), (3, = cos {х ,у ) и т. д.Эти косинусы представляют координаты новых ортов по старым осям;в самом деле,4 =I- COS ( * , X ) = « j,i v = l .
c o s ( ^ y ) = p„Л =*2i Ь х = я=i, — 1 . cos (x, 2 ) =Tf i , j t = l 2, k.=(4)TfeОтметим, что между девятью косинусами таблицы (3) существуетшесть зависимостей, так что только три косинуса независимы междусобой (последнее обстоятельство отвечает тому, что ориентация одногокоординатного триэдра относительно другого может быть задана тремя30В ек т о рн а яа лгебрапараметрами, например тремя углами Эйлера).
В самом деле, по формуле (2) можем написать следующие 6 соотношений:1 а с COS(X, х) « = cos* ( х , х) -j-C O S 2 (х>у) - f - cos2 (х, z) =a * - j- p * -j- к * =1“]+Й+т32= 1■J+Й+т!-1.0 * cos (у, z) = cos (у, х) cos (z , х) -j- cos (у, у) cos (z , у) -f-(5)- f cos (у, z) cos (z, z) — a2a8 -j- p2p3 -f- ТЛз = 0tt3a i 4~ PsPi+TsTi = 0°ia2 ~b PiPa 4~ T1T2 = °-Если мы будем рассматривать систему O xyz как старую, а системуOxyz, как новую, то получим шесть совершенно аналогичных соотношений:3 , 2 , г.“l + ®2 + “s “ 1Й + Й4- Й = 1+4- t 5 = i(6)PiTi 4~ PaTa 4" РзТз = 0Tiai+ ?2«a 4 “ Тзаз = 0*i Pi 4 “ “aPa 4 “ авР# — °-Напишем теперь новые компоненты вектора а.
По формуле (1)й ~ — атcos (х, х) 4 - a cos (лт, у) -j- ажсоs (х , 2 ).ах=(7)®i 4" ау Pi4“ а, \а у = ах “а 4" а у Ра 4- a*1f?( 8)а 7 = а х я« 4 - ^ Р , 4 - в Л зОбратно, а ж, л , а в выразятся через а - , а —, а у по следующим формулам;а * — а х “i 4- а V ®а 4~ а Тау ~ а * Pi 4"у Pa 4- a J Ps(9)аш^ а * Ti 4~ a"y ^a 4* aJ T3 ,Как частный случай, отсюда можно получить преобразование координат при переходе от одной системы координат к другой, имеющей то женачало, системе координат.Возьмем точку М и соединим общее начало обоих координатныхтриэдров О с точкой М.Прео бра зо в а н и е31координатПолученный радиус-вектор г точки М будет иметь в старой координатной системе координаты х, у , г, & в новой координатной системекоординаты х, у , г.
По формулам (8) и (9) будем иметь:* = «1 * 4 -Р |.У + ТГ1г .г= «8*+ Рз,У-Из£,X = агх -j- а2у -f- а3£,У =Р| X + Р2.У~I- р8г>«“ Ti^-NeJ-НД3.Когда мы задаем вектор его составляющими в какой-нибудь системе, то мы тем самым подразумеваем, что его составляющие в любойдругой системе будут определяться по формулам (8) преобразованиякомпонентов вектора. Но можно задавать вектор еще другим способом,а именно указать некоторый способ вычисления его составляющих в любой координатной системе.
В последнем случае надо еще проверить,выполняются ли формулы (8), когда мы от одной системы координатпереходим к любой другой.В качестве примера положим, что компоненты радиус-вектора г — х,у, z суть некоторые функции параметра t\ определим составляющиенового вектора v формулами:dxdydz"•—Ж’ *»—л- *■-т„(11)для всякой координатной системы. Проверим, что это действительновектор_ dxdx ,dy .dz*dtdt1 dtdtdt=( 12)(a,, pitдиференцировать не надо, так как это суть постоянные косинусы углов между неподвижной осью х и неподвижными же осями х ,у, z), аналогичные формулы получатся для других составляющих. Действительно v есть вектор.Отметим еще несколько следствий из выведенных формул.В § 3 была выведена формула (13), дающая длину вектора через егокомпонентыa a = a * - |- a * - f - 0 * ;(13)выражение слева не зависит от того, в какой координатной системе вычисляются компоненты вектора ая, а у, af, поэтому выражение а * - {сохраняет свое значение при всех переходах от одной прямо-32В екторн аяа л г ебраугольной координатной системы к другой; в этом случае говорят оби н в а р и а н т н о с т и л * - f - а*для всех таких переходов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
