1625913100-d6cad281f2175809016f408a26428a91 (532420), страница 4
Текст из файла (страница 4)
е. точки Р н Р/ тождественны, что итребовалось доказать.Задача 10. Найти радиус-вектор точки пересечения биссектрис A ABC,радиусы-векторы вершин которого суть А (гх), В (г2), С (г,), а противолежащие этим вершинам стороны суть а, Ь, с.Ответ:а г ,+ Л г 9 + гг8.а+ Ь+ с*Задача 11. Доказать, что следующим построением можно найти любую целую часть (половину, треть, четверть и т.
д.) отрезка АВ.Проведем (черт. 14) прямую CD, параллельную АВ, внешнюю точку Осоединим с точками А и В прямыми, которые пусть пересекут CDв точках С и D.2*20В екторнаяалгебраПроведем диагонали получившейся трапеции AD и ВС и соединимточку их пересеченияс О прямой ОК^, «которая пусть пересечет АВв точке £ 2, тогда АЬй =АВ) соединим далее Z.2 с С, найдем точкупересечения f(B прямых A D и L3C, проведем прямую OKs, тогда в пересечении последней с АВ найдем точку L3, такую, что A LS — -—-A Bи т. д.Для доказательства возьмем точку О за начало радиусов-векторов ибудем обозначать радиус-вектор какой-либо точки Р через Гр.Прежде всего из подобия треугольниковOCDи ОАВ заключаем, чтоОгл = /гс»гв = /г л»(32)где / есть совершенно определенное число —*коэффициент подобия.
Впрочем, формулы(32) можно вывести и не прибегая к теоремео подобии треугольников; прежде всего в силуколлинеарности с одной стороны тА и г с ,с//\пс другой стороны CD и А В и, наконец,тв и тп, имеем/ —LSL— N.\Ц *»-У■1гл = 1 г (Р A B ^ l.C D , rB = l2rD,но так какЧерт. 14.■гв = г а + АВ, гд = гс - Ь С АтоrAАВ = ITq —J- lxCD =откуда и вытекаетTjj =11 — I, Izq~\~ 1%CDt*>т. e. теорема о подобии треугольников и одновременно вторая формула (32).Теперь пишем уравнения прямых A D и ВС:. (Xг = : ттA —j—1— .—m г,tri)ч rD = m rA J I------в>1г := Р тв ~h 0 — Р) тс = Р твГ гА ;для точки пересечения этих прямых Кч должно бытьтп11— ртп■Р,С лож ение,вы читаниеира зл о ж ен и евекторов21откуда и можем найти т, р и г » :m==J + \>Р = ТЗ-[>гг , = 7 1 { Г Т ^ + г^Точка Z,2 является точкой пересечения прямых ОК\ и АВ. Но уравнение прямой О/С3 естьГ “ ^rKt ““Ь Гв)>1и чтобы точка этой прямой лежала бы на прямой АВ, необходимо идостаточно, чтобы сумма коэффициентов при гА и гв равнялась 1 (заИ ,а 6 ) :Х2,, ^/+г+ i1г•откудат1 ь~ ~ 2 (ТДГв)»так что, действительно, £,а является серединой АВ.Теперь мы покажем, что от точки Ln можно притти к точкеМы предполагаем, чтоa i„= \ab,так что радиус-вектор точки Ln естьГгLn=( я — 1 ) ^ + ГБ-------------------------------.ПУравнение прямой CLn есть(я— 1) г.
-I- r„r = qrLnJr { l — g )rc = q - --------1— адля точки пересечения Кп+Х прямых AD и CLn должно бытья — 1 , 1— ат= ч —+ —■■1— т аI. п ’откуда_тя_I -j- Я ’ ^яягА+ гв1 - \ - П ’ Г дя + 1 вI -}- ЯТочка Ln , x является точкой пересечения прямой ОКп±хX22В екторнаяа лгебрас прямой А В , так что должно бытьXоткудалг. + г.£*Ч-1а это показывает, что Ln^П -\-\*делит А В в отношении 1 : п, так jitoA L n+i ~что и требовалось доказать.З адача 12. Найти соотношение между шестью отрезками A M , M B ,ВК, КС, CL, L A , которое должно выполняться для того, чтобы трипрямых АК , BL, СМ, соединяющихвершины треугольника A B C с противоположными сторонами, пересекались быв одной точке Р (черт.
15).Беря вне плоскости треугольникапроизвольную точку О, назовем черезr ii г?» г8 радиусы-векторы вершин треугольника A B C относительно точки О,через R же назовем радиус-вектор точкипересечения Р трех прямых: А К , BL,СМ. Разлагая R по трем некомпланарным векторам г иг8, будем иметьR = ®ir i + ®2Га •+■ ®зГа»причем, согласно задаче 7о. -J- о9 4 - о» = 1„Черт. 15.i tат-8»Так как точка К лежит на прямой А Р ,то для радиуса-вектора хк этой точки, будем, согласно задаче 6, иметьr r = = ^ R + ( l — k ) t x = (fo j - f - 1 —+ *«8Г3»а так как точка К лежит в то же время на прямой ВС, то мы должныеще иметь согласно той же задачеЛах- ( - 1 — k — 0;ka2-\- £а3= 1 ,причем оба эти соотношения приводят к одному и тому же результату111 — «1®2~"Н ®зИтак®8Г2~Ь®»Г8 .®а 4 " ®823С лож ение, вы ч итан и е и р азлож ен и е векторовсравнивая это с формулой (23), заключаем, чтов к _ нК С ~ «а ’аналогично получимC L _а,A M __ «зТ А ~ ^ ’ ~М В ~И ^‘Перемножая полученные три равенства, найдем требуемое условиеВ К ■CL • AMК С -L A - MBилиВ К • CL • A M = КС • LA • M B.(33)Это условие является очевидно и достаточным условием пересеченияпрямых АК, BL, СМ, так как е.сли обозначить через Р точку пересечения прямых А К и BL, то прямая СР должна, согласно предыдущему,пересечь АВ в такой точке М ! для которойAM 'КС • LAМ 'В ~ B K -C L *Но если выполняется условие (33), то мы имеемAMКС • LA*= g f s ~CL И>следовательно точки М ' и М должны совпасть.Задача 13.
Доказать компланарность векторов п с — pb, pa. — тс,mb — па.Задача 14. Найти центр тяжести системы трех материальных точекМх (г j), Мг(т.2), М3(г8), в которых сосредоточены массы т х, т г, т3,зная, что центр тяжести двух масс лежит на линии, соединяющей этимассы, и делит ее в отношении, обратно-пропорциональном массам.Центр тяжести точек М х и М 2, который мы обозначим через М ' (г')»определяется по формуле (23):х, __ mxr,-f-m 2r 2тх + т2Поэтому центр тяжести системы трех точек будет_ [ml -j~ т%) у' -f- m3r 3 __(m j Ид) -J—Wgт^т^—{- /я3г3Wj ~I"I-Задача 15.
Пусть Л ', В', С' середины сторон Д A BC (черт.а О — какая-либо точка; доказать равенство(34)1 0),О А '-\-О В '-\-О С ' = О А -\-О В -\-О С .Задача 16. Хорды АРВ и CPD круга с центром О пересекаютсяв точке Р под прямым углом. Доказать равенство:Р А -[-Р В -\-Р С + РО = 2РГ).24В екторнаяалгебра§ 3. Проекция вектора на какое-либо направление. Координатывектора. Правая и левая системы координат. А налитическоевыражение равенства, сложения и вычитания векторов.1.
Выберем какое-нибудь определенное направление, характеризуемоеединичным вектором и. Рассмотрим какой-нибудь вектор а (черт. 16).Проекцией аи вектора а на направление и называется длина отрезка А'В', отсекаемого на какойнибудь прямой, параллельной и,плоскостями, перпендикулярнымик и и проходящими через концы Аи В вектора я, взятая со знакомплюс или минус, смотря по тому,имеет ли А'В' то же направление,Черт. 16.что и, или как раз противоположное.Проекцию вектора а на направление и мы будем обозначать аи.Проводя через точку А до пересечения с плоскостью, перпендикулярнойк и и проходящей через В, прямую АВ", параллельную и очевидноравную А'В', из прямоугольного треугольника АВВ" найдем, вводяугол <р между векторами а и и:аи ~ аЕ сли <рCOS?•(1)не превышает-^-, это следует сразу из рассмотрения прямоугольного треугольника АВВ" и того обстоятельства, что в этом случаеА В' направлен одинаково с и.
Если же ® превышает— , то (черт. 17)АВ’ = a cos (тт— <р),(2 )г1но в этом случае АВ" направлен противоположно и, поэтому\В7= — a c o s (тс— a cos о .?)( 3)Следовательно, всегда проекция векторана какую-либо ось равна произведениюдлины вектора на косинус угла между вектором и осью.Мы можем рассматривать проекцию вектора а на направление и каквектор; тогда мы будем обозначать этот вектор через а„; очевидно,a u==a„u = acos© u.(4)2.Теорема. Проекция геометрической суммы векторов накакое-либо направление и равна алгебраической сумме проекцийслагаемых векторов на то же направление:( а 1 + а 3 + -■• + ап )И= а1и + аги + . . .
+ апи.(5)П ро екц и яна к а к о е - л и б овекто ра25н а п ра в л е н и еДостаточно, очевидно, доказать теорему для суммы двух векторов,т. е. изС= а + Ьвывести(6)+ К-(7)Докажем предварительно, что если на оси имеются три точки аи а2,а3, то всегдай 2 йз 4 " (НЩ =0,(8 )если брать отрезки а ,, со знаком плюсили минус, смотря по тому, совпадает линаправление alaj с направлением оси илиему противоположно (черт. 18). В самомделе, одна из точек аи а.2, а3 лежит междудвумя другими; пусть например Од лежитмежду аг и а 2, тогда“I-— ^.^2»или перенося все в правую часть и замечая, что а 2 а 3 = — ааа2, айах= — а га 3, найдем уравнение ( 8 ).Аналогично рассматриваются случаи нахождения ах йли а2 междудвумя другими точками.Так как (черт.
18)аи == а^а>2, Ьи ——си = и^сс^,то в силу (8 )a u + f>u— cu =0,(10)лева ячто и требовалось доказать.3.В § 2 мы видели, что всякий вектор dможно разложить по трем некомпланарным векторам а, b и с. Возьмем за векторы а, Ь, свзаимно перпендикулярные единичные векторы,направленные по трем осям прямолинейной прямоугольной системы координат O X Y Z (черт.
19).Эти единичные векторы называются основнымивекторами или ортами и обозначаются i, j, k.Назовем проекции вектора а по направлениямi, j, к или, что то же, по осям х, у, z череза*> ау> в (> тогда при разложении вектора апо векторам i, j, к мы получима = а * 4~ а* +■ а « = e j - \- o Ja .k .системапрабаясистемаЧерт. 19.,11)В том, что коэффициентом при i является ах, можно еще убедиться,составляя проекции обеих частей равенства ( 1 1 ) на ось х, пользуясьтеоремой о проекции геометрической суммы и принимав во внимание,что проекции j и к на ось х, очевидно, равны 0 .26В екторнаяалгебраПроекции а ,, д„, а9 называются п р я м о у г о л ь н ы м и к о о р д и н а т а м и или с о с т а в л я ю щ и м и , или с л а г а ю щ и м и , или к о м п о н е н *т а м и вектора а. Они однозначно определяются по формуле (1) в видеая — a cos (а, х), аи — а cos (а, у), at = a cos (a, z).(1 2 )Обратно, если мы зададим вектор а его составляющими а.„ а , а0то мы полностью определим его.
В самом деле, его длина получается,как диагональ прямоугольного параллелепипеда, по теореме Пифагора:a= V4+ < £ +*!"•'(13)Направление же вектора а получится из формулы (12):Лу&хХЧй|cos (а, х) — ~ , cos (а ,у ) = - ± , c o s ( a , z ) = — .Возвышаяв силу (13)(14)триравенства (14) в квадрат и складывая, получимлллcos2 ( а , х ) -J-cos 2 (а , у) -{-cos 2 (a, z ) = \ t(15)соотношение, справедливое для всякого вектора а.4. Отметим, что различают два рода прямоугольных прямолинейныхкоординатных систем, а именно: правую (английскую) и левую (французскую) систему. В левой системе (черт. 19) вращение от оси х кратчайшим образом к оси у вокруг оси z происходит по часовой стрелке(в правой против часовой стрелки); если мы одновременно с вращениемот оси х к оси у будем перемещаться вдоль оси г, то получим движение винта с левой нарезкой, при левой системе, и соответственно винтас правой нарезкой (пробочника), при правой системе.
Наконец можноуказать еще правило правой и левой руки. Направим большой, указательный и средний пальцы соответственно по осям х, у и Z, тогдаправая рука укажет соотношение осей в правой системе, а левая в левой.Мы будем в дальнейшем пользоваться как правой, так и левой системами.5. Если ива вектора равны между собой, то их координаты равнымежду собой и обратно, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
